Оскар Борисович Фельцман родился 18 февраля 1921 года в Одессе в семье известного хирурга, одного из лучших ортопедов города Бориса Осиповича Фельцмана, который профессионально играл на фортепиано, получив в молодости хорошее музыкальное образование. Мать - Циля Абрамовна Фельцман.
С самого раннего детства музыка увлекла будущего композитора, не пропускавшего с родителями ни один из концертов выступавших и гастролировавших в Одессе музыкантов, среди которых было немало вокалистов, пианистов, скрипачей, виолончелистов, имевших мировую славу.

В 5 лет Оскар начал заниматься игрой на скрипке с известным педагогом Столярским, но уже после двух недель занятий интуитивно почувствовал необходимость совершенствования музыкального мастерства в игре на фортепиано, совершенство которой максимально соответствовало зарождающемуся композиторскому дару.
Игре на рояле он учился у выдающегося профессора - Берты Михайловны Рейнбальд, у которой занимались Эмиль Гилельс, Татьяна Гольдфарб и другие превосходные пианисты.
Уже через год родилась и первая фортепианная пьеса Оскара Фельцмана - «Осень». Способность сочинять уже в 6 лет опиралась на успехи в фортепьянной игре и владении музыкальной грамотой, умением писать клавиры.
В 1939 году О.Фельцман окончил знаменитую школу имени П.С.Столярского с занесением на Золотую доску почёта и поступил на композиторский факультет Московской консерватории в класс В.Я.Шебалина. На вступительном экзамене была отлично принята его «Сонатина» для фортепиано. Успехи в учёбе были отмечены Сталинской стипендией. Продолжилось и сочинение музыки, большой успех снискала виолончельная соната, впервые исполненная в Малом зале консерватории выдающимся музыкантом профессором Козолуповым (виолончель) и самим автором (рояль).
С началом войны Фельцман был эвакуирован в Новосибирск, где в свои 20 лет стал ответственным секретарём Сибирского Союза композиторов. В заседаниях Союза участвовали выдающиеся композиторы Георгий Свиридов и Владимир Щербачев. В члены Союза композиторов СССР принимали Кирилла Молчанова. Там же были Мравинский, Соллертинский, оркестр Ленинградской филармонии, джаз Утёсова.
В Новосибирске Фельцман писал музыку для филармонии, Ленинградского Александринского театра, Еврейского театра Белоруссии. Была и творческая командировка в Сталинск, где находился тогда Московский театр оперетты, для которого молодой композитор написал оперетту по пьесе В.Катаева «Синий платочек», к сожалению, как часто тогда бывало, пьеса была необоснованно разгромлена в газете «Правда» и музыка Фельцмана не встретилась с широкой публикой. Однако знакомство с Московским театром оперетты сыграло важную роль в творческом поиске композитора и существенно повлияло на трудный выбор в пользу «лёгкого жанра».
В 1941 году в Новосибирске Оскар Фельцман женился на студентке дирижёрско-хорового факультета Московской консерватории Евгении Петровне Кайдановской, сибирячке. В Москву они с женой вернулись в 1945 году. Временно поселились у родственников в Кривоарбатском переулке. По возвращению в Москву продолжилось сочинение серьёзной музыки, состоялось вступление в Союз композиторов, но не была забыта и оперетта на сценах театров страны появились его музыкальные комедии Фельцмана, среди которых наибольший успех выпал на оперетту «Чужая ночь».
В 1948 году в Московском театре оперетты состоялась премьера музыкальной комедии «Воздушный замок». В 1952 году состоялись ещё две премьеры - в Театре оперетты - «Суворочка» и в Театре Станиславского и Немировича-Данченко - «Шумит Средиземное море». Кроме оперетт Фельцман начал писать музыку к цирковым номерам, эстрадным представлениям, постановкам для детей театра Натальи Сац.
В 1952 году Оскар Фельцман в лучших традициях классической музыки сочинил Концерт для скрипки с оркестром в трех частях. Тогда же последовало обращение к песням, первой из которых стала «Теплоход» на стихи В.Драгунского и Л.Давыдович. Исполнил её знаменитый Леонид Утёсов.
Песни Фельцмана быстро нашли своих благодарных исполнителей и восторженных слушателей. Большую популярность обрели «Ландыши», написанные на стихи Ольги Фадеевой и впервые исполненной Геленой Великановой. Песню напевала вся страна, именно это и не устроило партийных функционеров, которые под надуманными причинами «нарушения норм социалистической чистоты и мудрости» учинили подлинный разгром композитору в центральной прессе и других СМИ. Гонения длились 23 года, а люди продолжали любить и петь эту песню, любят и поют её до сих пор и не только на её родине, но и во многих странах мира.
Глубокий и разнообразный песенный талант Оскара Борисовича позволил ему пережить несправедливость. Его творчество не могло быть невостребованным и признание в нём лидера отечественной культуры состоялось и среди простых людей, и в руководящих кругах страны. Так, на городской партконференции с восторгом была принята песня «Комсомольцы двадцатого года».
В период первых успехов страны в освоении космоса появилась песня «Я верю, друзья» ставшая любимой песней не только космонавтов, но и всей страны. Композитор подружился с нашими первыми космонавтами - Юрием Гагариным, Андрианом Николаевым, Павлом Поповичем.
В 1967 году на радио организовали передачу «С добрым утром!». Фельцман написал для неё песню-заставку, которая каждое воскресенье возвещала, что «воскресенье - день веселья». В дальнейшем многие замечательные песни композитора впервые звучали в этой передаче.
В своём песенном творчестве Оскар Фельцман сотрудничает с самыми лучшими поэтами страны, среди которых Р.Рождественский, Р.Гамзатов, Л.Ошанин, А.Вознесенский, М.Матусовский, Е.Долматовский, М.Лисянский, В.Харитонов, И.Шаферан, М.Танич, И.Кохановский, В.Орлов, М.Рябинин, Н.Олев и др.
Песни Фельцмана украсили репертуар Л.Утёсова, М.Бернеса, В.Трошина, И.Кобзона, М.Магомаева, Э.Пьехи, Э.Хиля, В.Толкуновой, Ю.Гуляева, Г.Отса, Л.Лещенко, И.Бржевской, О.Анофриева, М.Пахоменко, Л.Серебренникова и других замечательных исполнителей.
В 1973 году Оскар Фельцман снова обратился к оперетте, создав музыку к спектаклям «Тётка Чарлея» «Старые дома» и «Пусть гитара играет». В середине 1980-х годов Фельцман организовал для своих авторских концертов инструментальный ансамбль «Огни Москвы» с солисткой Ириной Аллегровой, который после двух лет успешных выступлений передал Давиду Тухманову.
В 1987 году был написан вокальный цикл «Песни былого». Исполнил этот цикл Иосиф Кобзон.
В конце 1990-х годов Фельцман написал 12 песен на стихи Юрия Гарина. Тематика этих песен современная. Композитор исполнял их в Одессе на авторском концерте в дни празднования 200-летия города. Они звучали в Нью-Йорке и на эстрадах других городов мира. Некоторые из них замечательно поют Алла Йошпе и Стахан Рахимов, Клара Новикова. Оскар Борисович также написал около часа музыки для скрипки и рояля. Часть этих сочинений прозвучала тоже в Одессе в исполнении знаменитой скрипачки, профессора Венской консерватории Доры Шварцберг.
В мае 1995 года Оскар Борисович оказался в городе Ноябрьске на праздновании юбилея Победы. Так появились пять песен об этом чудесном городе. С Ноябрьском связано и появление балета «Булочка» (либретто А. Агамирова).
На этом хореографическая тема в творчестве Оскара Фельцмана не закончилась. В 2000 году для «Русского балета» Вячеслава Гордеева композитором был написан балет по мотивам новеллы Проспера Мериме «Венера Ильская» (либретто В.Гордеева и О.Фельцмана).
В последние годы композитором создан целый ряд камерных произведений, в том числе «Десять романсов на стихи Инны Лиснянской», «Цикл романсов на стихи Марины Цветаевой», «Цикл песен на стихи Х.Бялика».
18 февраля 2001 года в Центральном концертном зале «Россия» состоялся юбилейный концерт композитора. К своему 80-летию Оскар Борисович написал много новой музыки, и в этот вечер состоялись премьеры многих его произведений.
О.Б. Фельцман - Народный артист России, кавалер орденов Дружбы народов и «За заслуги перед Отечеством» IV степени, многократный лауреат международных, всесоюзных и всероссийских песенных фестивалей.
Больших творческих успехов добился и сын композитора - Владимир Оскарович Фельцман, ставший одним из самых заметных музыкантов современности - пианистом, дирижёром, композитором.
3 февраля 2013 года Оскар Борисович скончался в ЦКБ имени Семашко.