Парадокс Хаусдорфа-Банаха-Тарского
 

Парадокс удвоения шара

Трёхмерный шар можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них два таких же шара. При этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.



Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объем которых равен объему исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объем. Суть парадокса заключается в том, что в трехмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объема, если под объемом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности, и предполагаем, что объемы двух конгруэнтных множеств совпадают. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике). Для плоского круга аналогичная теорема неверна. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено как конечно-аддитивная мера на все ограниченные множества и инвариантна относительно движений, в частности, любое множество равносоставленное кругу имеет ту же площадь. Хаусдорф показал, что подобное сделать нельзя на двумерной сфере, и, следовательно, в трёхмерном пространстве, и Парадокс Банаха — Тарского даёт этому убийственно наглядную иллюстрацию. Тем не менее, некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число кусков и составить из них квадрат равной площади.

Евангелие от Иоанна. Глава 6

Пять хлебов было поделено в строгом соответствии с парадоксом Банаха-Тарского

6.1 После сего пошел Иисус на ту сторону моря Галилейского, в окрестности Тивериады.
6.2 За Ним последовало множество народа, потому что видели чудеса, которые Он творил над больными.
6.3 Иисус взошел на гору и там сидел с учениками Своими.
6.4 Приближалась же Пасха, праздник Иудейский.
6.5 Иисус, возведя очи и увидев, что множество народа идет к Нему, говорит Филиппу: где нам купить хлебов, чтобы их накормить?
6.6 Говорил же это, испытывая его; ибо Сам знал, что хотел сделать.
6.7 Филипп отвечал Ему: им на двести динариев не довольно будет хлеба, чтобы каждому из них досталось хотя понемногу.
6.8 Один из учеников Его, Андрей, брат Симона Петра, говорит Ему:
6.9 здесь есть у одного мальчика пять хлебов ячменных и две рыбки; но что это для такого множества?
6.10 Иисус сказал: велите им возлечь. Было же на том месте много травы. Итак возлегло людей числом около пяти тысяч.
6.11 Иисус, взяв хлебы и воздав благодарение, роздал ученикам, а ученики возлежавшим, также и рыбы, сколько кто хотел.
6.12 И когда насытились, то сказал ученикам Своим: соберите оставшиеся куски, чтобы ничего не пропало.
6.13 И собрали, и наполнили двенадцать коробов кусками от пяти ячменных хлебов, оставшимися у тех, которые ели.
6.14 Тогда люди, видевшие чудо, сотворенное Иисусом, сказали: это истинно Тот Пророк, Которому должно прийти в мир.

Подробно о парадоксе

Парадокс или софизм

Википедия определяет парадокс как ситуацию, которая может существовать в реальности, но не иметь логического объяснения.

Математический парадокс можно определить как истину, причём настолько противоречащую нашему жизненному опыту, интуиции и что самое главное - здравому смыслу (мы как истина в последней инстанции), что в неё трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим все её доказательство. После чего следуют слова: «Такого не может быть никогда, потому что такого просто быть не может!». Хотя определили парадокс как истину. Т.е. такой истины быть не может.
В отличии от парадокса, софизм, это уже не истина, хотя при первом, поверхностном рассмотрении некого умозаключения выводы выглядят парадоксально. В софистических умозаключениях всегда скрыто ложное. Поэтому, всякое новое утверждение, парадоксальное на первый взгляд можно опровергнуть детально разобравшись во всей цепочке умозаключений.
Ниже приведу примеры софизмов и парадоксов, которые мне доступны и буду благодарен читателям моего дневника если дополните своими примерами. Приглашаю так же принять участие в обсуждении этих примеров с целью разобраться где парадокс, а где софизм.

Серия сообщений "Математика":

Часть 1 - Число Пи
Часть 2 - Греко-латинский квадрат
Часть 3 - Парадокс Хаусдорфа-Банаха-Тарского
Часть 4 - Системы исчисления
Часть 5 - Семь раз отмерь – один раз отрежь!
Часть 6 - Фрактальность натуральных чисел

(((((((((((Павел В. Л.

смотрите комментарии