Двадцатеричная система счета

Майя использовали в математике двадцатеричную систему счисления. Почему именно 20 стало основой их счета — установить уже невозможно. Но на помощь приходит простая логика.

Она подсказывает, что для древних майя сам человек стал идеальной математической моделью, которую они и взяли за единицу счета. Действительно, что может быть естественней и проще числа пальцев на руках и ногах?

Между прочим, такому объяснению есть подтверждение. Слово «виналь» (так на языке майя назывался двадцатидневный месяц) этимологически связан с со словами «двадцать» и «человек». По-видимому, говоря «один человек», древние майя механически представляли себе число 20 (если, конечно, в это время речь шла о каких-то количественных единицах).

Позиционная система записи цифр

Известно, что подавляющее большинство народов мира пользуются сейчас так называемой арабской цифровой системой, созданной в Индии в V веке н.э. В соответствии с этой системой цифры стоят друг за другом от первого порядка к последующим, а именно: единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. (вместо неуклюжей присоединительной системы у римлян).

Древние майя тоже пришли к использованию позиционного принципа. Однако, в отличие от европейцев, им не у кого было заимствовать этот принцип. Они сами додумались до него, причем почти на тысячу лет раньше!

Только запись цифр они вели не горизонтально (в строчку), а вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр.

Введение в расчеты знака для нуля

Нумерация майя базировалась на трех символах. Точка обозначала единицу, линия — пятерку и стилизованно представленная улитка использовалась для обозначения нуля или номера 20.

Таким образом, цифры от 1 до 4 обозначались точками, цифра 5 — линией, число 6 — линией с точкой, число 18 — тремя линиями и тремя точками над ними и так далее.

Примечательно, что знак для нуля майя ввели в расчеты на много столетий раньше, чем это сделали европейцы. Изобретение этого знака в столь отдаленные времена поднимает математический гений майя на поразительные вершины. Это означало величайший прогресс в области абстрактного мышления.

Какие же вычисления производили майя? Из сообщений испанцев мы знаем, что арифметические расчеты производили купцы. Но, прежде всего, математические действия с применением многозначных чисел связаны с астрономическими вычислениями, которые лежали в основе календаря.

Так, начав с конкретного (один человек — двадцать пальцев), древние майя поднялись на вершину абстрактного мышления, создав двадцатеричную систему счета и оперируя с бесконечно большими величинами!

Интересно отметить, что майя были знакомы с ними не только теоретически. Вспомним, например, стелы из священного города Копана, сплошь украшенные датами. На одной из них жрецы записали начальную дату летоисчисления рода человеческого — 5041738 год до нашей эры!

Об изображении чисел 20 и 21

Проведём аналогию с десятичной системой счисления, в которой цифра 10, являясь началом второго десятка, это ноль + 1.
В двадцатеричной системе майя: улитка (ноль) + точка (1) получается 20 (начало второй «двадцатки»).

В нашей системе счисления значения разрядов увеличиваются справа налево. У майя числа записывались в виде вертикальной колонки и возрастание разрядов происходило снизу вверх. Таким образом, самая нижняя позиция имела разрядность единиц, следующая имела разрядность двадцаток, затем шел разряд 400 (20 х 20) и так далее.

Понятно, что, например, запись числа 20 должна иметь символ нуля в разряде единиц и точку, обозначающую единицу, — в разряде двадцаток. Соответственно цифра 21 будет иметь точку в разряде единиц и точку в разряде двадцаток.

Ниже приведён пример записи некоторых цифровых знаков у майя. (Все знаки от 0 до 19 — в первом «Уроке математики»). Число 20 (так же, как у нас 10) будет уже не цифрой, а двузначным числом (см. рис. вверху).

Об изображении многозначных чисел

Так как майянский счёт двадцатеричен, основан на кратных числа 20, то он представляется следующими разрядами:

В диаграмме ниже проиллюстрирован принцип вертикальной записи многозначных чисел (на примере числа 562677). Другие примеры записи многозначных чисел — на верхнем рисунке.

Поняв принцип записи многозначных чисел у древних майя, нетрудно записать любое число, в том числе и 6561. Оно будет иметь 1 (точку) в разряде единиц, 8 в разряде двадцаток (8 х 20 =160) и 16 в разряде 400 (16 х 400 = 6400).

Арифметические операции

В майянской системе счисления с лёгкостью можно выполнять арифметические операции типа сложения или вычитания:

Для более сложной арифметики просто нужно помнить, что Вы переносите разряд, когда достигаете 20, как показано ниже:

Существует предположение, что такая система счисления позволяет производить умножение и деление, однако ни в одном из источников не упоминается, что майя были знакомы с такими математическими действиями.

Из сообщений епископа Ланды мы знаем, что арифметические действия использовались купцами, при этом в качестве счётного материала были бобы какао, зёрна маиса или что-то подобное.
Но прежде всего двадцатеричная система счисления предназначалась для календарных расчетов.

КАЛЕНДАРНЫЙ КРУГ

Календарь майя построен по принципу календарных кругов, а календарный круг — по принципу вложенности друг в друга определенных интервалов времени

Если мы воспринимаем время как прямую линию, на которой можем обозначить прошлое, настоящее и будущее, то майя видели время как серию бесконечных циклов. По их представлениям, время совершает круг, пока не повторится, начиная с цикла небольшой продолжительности, до цикла «бесконечной» длительности.

Проведём сравнение. Любая дата современного григорианского календаря, которым в настоящее время пользуется подавляющее большинство населения земного шара, повторяется ровно через год, например, «1 декабря», «10 мая» и т.д.

Исключение составляет 29 февраля — оно повторяется лишь каждое четырехлетие, то есть в високосный год. Однако, если мы возьмем григорианскую дату в её полном виде, включающем не только название месяца и порядковый номер (число) дня, но и название дня недели, на который он приходится («понедельник», «вторник», «среда» и т. д.), такая дата, как показывает математический подсчет, повторится во всех этих трёх компонентах уже не через год, а через пять либо шесть лет (если бы не было високосного года, то всегда через семь лет).

«Календарный круг» подобен двум связанным механизмам, один из которых больше другого. Меньший механизм состоит из двух вложенных друг в друга колёс и представляет 260-дневный календарь «тцолкин». Секция большого колеса представляет часть 365-дневного года «хааба». Колёса поворачиваются в указанных стрелками направлениях. Любой день, рассчитанный на циклах этого вращения, повторится только через 18 980 дней.

Показанный на схеме день читается как «1 Кан 1 Поп». Так как календарные «колёса» поворачиваются в направлении стрелок, следующим будет «2 Чичкан 2 Поп», затем «3 Кими 3 Поп» и т. д.

Схема части 52-летнего «календарного круга»

Двадцатидневные месяцы начинались с нулевого числа (оно называлось «сидением» — seating) и кончались 19-м числом, при последовательной нумерации, например: «сидение месяца Поп», 1 Поп, 2 Поп, 3 Поп... вплоть до 4-го Уайэб (5-дневного месяца), а потом снова «сидение месяца Поп».

• календарный круг объединяет даты 260-дневного и 365-дневногокалендарей

• каждый из дней имел у майя соответствующую дату как по 260-дневному календарному циклу, так и по календарной системе «нечёткого года», например, «2 Ик 13 Соц» или «13 Ахау 1 Поп»или «4 Ахау 8 Кумку»...

• присутствие в дате каждого из четырех компонентов абсолютно обязательно. Если один из них отсутствует, отсутствует и сама дата

• при совмещении двух календарей складывается цикл из 18890дней, лишь по завершении которого название и цифра дня вновь совпадут, то есть специфическая двойная комбинация «4 Ахау 8 Кумку», как и любая другая дата, в календаре майя может повториться только через 52 года

• календарный круг включает три основных цикла, или периода полного обращения календарной даты:

  260-дневный цикл  —	совпадают название дня и число13-дневной недели;
  4-летний цикл       —	совпадают название и порядковый номер дня 20-дневного месяца;
  52-летний цикл     —	совпадают все четыре компонента.

• даты в формате «тцолкин/хааб» идентифицируют день в периоде 52 года. В более длительном временном интервале несколько дней будут иметь ту же самую «тцолкин/хааб» дату

• для решения этой проблемы майя использовали третью временную шкалу («длительный счет»), которая позволяла идентифицировать день как уникальный в периодеиз 1 820 000 дней (приблизительно 5125 солнечных лет, составляющих Великий Цикл, или эру майя)

• комбинация длительного счета и дат «толкин/хааб» повторяется только раз в 136 656 000 дней (приблизительно 374152 года, или 73 эры майя).

Таким образом, календарь майя — это бесконечная вложенность временных циклов (цикл в цикле в цикле в цикле...), то есть какой бы большой интервал времени ни был, его всегда можно представить несколькими более мелкими циклами. Именно этот остроумный способ — объединение взаимопересекающихся временных циклов — использовали майя для контроля и коррекции календаря, что и позволяло поддерживать его высокую точность.

Великий Цикл, или эра майя

Великий Цикл — это цикл длиной в 5125 лет, начавшийся 13 августа 3113 года до н.э. и заканчивающийся 23 декабря 2012 года н. э. Он состоит из13 подциклов, называемых Бактунами, в каждом из которых по 394 года, и включает в себя всю историю современной цивилизации.

Первый подцикл Великого цикла является Бактуном 0, второй —Бактуном 1 и так далее, до Бактуна 12. Это означает, что номер подцикла определяет количество полных бактунов, истекших к выбранной дате.

Майя считали, что наш мир циклически создается и уничтожается с периодом в 13 Бактунов, а потом наступает начало нового цикла и нового мира.

Визуальным представлением древнеиндейской концепции цикличности времени является ацтекский «Камень Солнца», который языком символов рассказывает, что каждый временной цикл достигает своего конца и возвращается к отправной точке.

Ацтекский календарный «Камень Солнца»,
наглядно отображающий цикличность мировых эпох

Памятник ацтекской скульптуры ХV века. Представляет собой базальтовый диск (диаметр 3,5 м, вес 24,5 т). Камень покрыт пиктографическими знаками-рисунками, воплощающими представления ацтеков о времени.

Мировые часы Вселенной

Хронологические периоды майя, начинаясь внутри календарного круга, выходят далеко за пределы Великого цикла.

Пиктун (= 7900 лет), 
калабтун (= 157 600 лет),                   (см. Длительный счет майя)
кинчильтун (= 3 152 000 лет), 
алавтун (= 63 040 000 лет) как бы растворяют в себе эру майя и привязаны скорее не к солнечному, а к галактическому циклу.

Возможно, что календарь майя — это Мировые Часы, которые показывают этапы существования Вселенной и представляют собой цикл в цикле в цикле в цикле в цикле... или колесо в колесе в колесе...