Махмуд танцевал, сколько себя помнил. В 7 лет уже отплясывал на чеченских свадьбах под громкие аплодисменты взрослых. А через год напросился в кочевой цирк, который колесил по Северному Кавказу. Родители были недовольны, но сын оказался очень упрямым – к своей цели шел напролом. В цирке Махмуд научился не только разнообразным па – он стал пародировать известных личностей. 

Через два года, когда Махмуду было 10 лет, он повстречался с Любовью Орловой. Актриса приехала в Чечню, и кто-то мимоходом при встрече с ней обронил, что есть тут у них мальчик, который мало того что хорошо танцует, так и очень здорово ее пародирует. Орлова заинтересовалась. Махмуда тут же нашли и представили ей. Она попросила показать его пародию на нее. Ну, он и показал, да так, что знаменитая актриса смеялась до слез. Уезжая, она сказала мальчику, что его ждет большое будущее. Эсамбаев запомнил эти слова на всю жизнь. 

В 1939 году он стал студентом Грозненского хореографического училища. Во время войны студенты этого учебного заведения ездили на фронт, выступали перед бойцами, ранеными. В одну из таких поездок начался обстрел. Махмуд не успел укрыться и получил ранение в ногу.