Как известно, за каждым понятием закрепляется надлежащий ему термин. Обратное же не всегда верно, то есть один и тот же термин может соответствовать нескольким понятиям. От таких явлений в практике преподавания следует избегать, но исключить их полностью нельзя. Об одной из таких ситуаций рассказывается в этой заметке.

Рассмотрим пример из учебника алгебры для восьмого класса общеобразовательных школ авторов Б. Баймуханова и др.

В теме "Определение квадратного уравнения. Решение квадратного уравнения" разграничиваются понятия "корень уравнения" и "решение квадратного уравнения". Однако весьма часто термин "решение квадратного уравнения" отождествляется с понятием "корень уравнения" и при этом допускается использование обоих терминов в этом смысле.

Нужно ли об этом знать ученику - учебник умалчивает. А ученику надо бы об этом знать, так как в будущем он будет вынужден работать и с другими учебными пособиями, в которых термин "решение квадратного уравнения" трактуется как корень уравнения. Например, в пособиях для подготовки к аттестации в форме ЕНТ.

В этом же учебнике термин "решение квадратного уравнения" соответствует процессу поиска корней уравнения. Такая трактовка вполне допустима, хотя и редко используется в учебных пособиях. Однако термин "решение квадратного уравнения" можно понимать и как совокупность (множество) всех корней (решений) уравнения. Об этом также ничего не говорится в рассматриваемом пособии.

Таким образом, здесь наблюдается нежелательное для практики преподавания явление - обозначение одним и тем же термином нескольких близких, но все же различных понятий. Какой же выход из создавшейся ситуации? Искусственно закрепить термин "решение уравнения" за один и только одним из перечисленных выше понятий не возможно, так как это не будет соответствовать научным традициям (нарушение так называемого принципа научности). Поэтому следует провести соответствующую беседу с учащимися и в контексте разговора научить их сознательно определяться, о каком из понятий идет речь, когда используется термин "решение уравнения".

В пособии Шаныбекова А. Н. (Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. - Алматы: Атамура, 2005) на стр. 48 приводится такое определение:
Определение 3. Если для функции y = f(x) существует число Т ≠ 0 такое, что для любого значения аргумента х выполнено равенство f(х + Т) = f(х), то число Т называется периодом функции f(x), а сама функция называется периодической.

Вообще то в математике принято другое определение периодической функции.
Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число Т ≠ 0 такое, что:
1) для любого числа х из области определения этой функции числа (х + Т) и (х - Т) также принадлежат ее области определения;
2) при всех х из области определения этой функции f(х + Т) = f(х).

Согласитесь, что это разные определения. Так, например, функция f(x) = {(√x)²}является периодический в смысле первого определения. Действительно, для Т = 1 и всех значений х из области определения функции ([0; +∞)) выполняется равенство f((x + 1) = {x + 1} = {x}= f(x), т. е. f(х + Т) = f(х).

В то же время функция f(x) = {(√x)²} не является периодической с периодом Т = 1 по второму определению, так как для х = 0 число х - Т = -1 не входит в область определения данной функции.

Известно, что определение не может быть верным или неверным - это не теорема - и оно не доказывается. Но в то же время в учебнике Шаныбекова А. Н. утверждается, что "Если число Т является периодом функции y = f(x), то числа ±2Т, ±ЗТ, ±4Т,... также являются периодами этой функции".

Это неверное утверждение. Действительно, для той же функции f(x) = {(√x)²}, которая является периодической с периодом Т = 1 число -1 уже не является ее периодом, так как равенство f(0 - 1) = f(0) не выполняется в силу того, что выражение f(0 - 1) не имеет смысла.

Значит, в рассуждениях автора школьного учебника имеется ошибка. Тем не менее, в казахстанском учебнике доказывается тот факт, что если число Т ≠ 0 - период функции f (х), то и число -Т тоже период этой функции.

Для этого рассматривается цепочка равенств f (х - Т) = f((х - Т) + Т) = f(x). Однако ясно, что эти равенства можно писать, лишь предполагая, что её первый член - символ f(х - Т) - имеет смысл, т. е. что число (х - Т) принадлежит области определения функции f(x). Между тем из определения периодичности функции, предлагаемого в школьном учебнике не вытекает, что если х принадлежит области определения функции f(x), то и (х - Т) принадлежит области определения этой функции.

Таким образом, проведенное в учебнике доказательство свойства периодических функций некорректно, ибо не следует букве принятого в этом же учебнике определения.

Как же быть школьному учителю в данной ситуации? Да очень просто, быть честным. Рассказать учащимся о том, что мы поведали выше и дать целесообразное определение периодической функции (оно также изложено выше).

В школьном учебнике (Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательной школы/ Ю. М. Макарычев и др. - 2-е издание - Алматы: Просвещение-Казахстан на странице 20 предлагается следующее упражнение:

67. Найдите значение выражения |х|/x при х = -8; 1; 7; 128. Чему равно значение выражения |х|/x если: а) х > 0; б) х < 0?


Очевидно, что это задание предназначено для более глубокого усвоения понятия "модуль числа". Значение этого выражения в зависимости от значения переменной х будет равно -1 (при х < 0)или 1 (при х> 0).


Такие упражнения принято называть дидактическими. Однако в этом упражнении заложены и другие возможности. Учитель(опытный или начинающий) должен, на наш взгляд, смотреть на такие упражнения в учебниках и других пособиях иными глазами, чем учащиеся. Он - педагог и поэтому обязан видеть не только дидактические, но развивающие, воспитательные возможности каждого средства обучения и упражнений и задач в частности.


После выполнения данного упражнения очень полезно предложить учащимся построить, например, график функции y = |х|/x. Выполнение последнего задания не должно вызвать у учащихся существенных трудностей, так как предшествующее задание является подготовительным этапом к нему.


Не следует также упускать возможность продемонстрировать учащимся приемы конструирования новых упражнений. В частности, задание можно изменить так: "Построить график функции y = х/|х|.


Естественным продолжением последних заданий является доказательство тождества
x/|х| = |х|/x.


Это тождество можно доказать тремя способами.


1. Так как соответствующие значения выражений x/|х| и |х|/x равны (при х ≠ 0), то последнее равенство по определению является тождеством.


2. x/|х| = |х|/x = (x² - |х|²)/(x/|х|) = (x² - x²)/(x/|х|)= 0,то искомое равенство - тождество на множестве [0; +∞).


3. Цепочка равенств x/|х| = (x|х|)/|х|² = (x|х|)/x² = |х|/x является доказательство данного тождества.


Аналогично можно из выражения |х|/x получить ему равно выражение x/|х|.


Рассмотренные нами методические приемы опираются на теорию развивающего обучения, в котором заложены весьма полезные для учителя математики технологические и методические идеи. К сожалению, эта теория пока еще не доведена до уровня доступного каждому учителю-предметнику.

В учебном пособии (Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. Изуч. Математики/Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 1996) на стр. 145 приаеден следующий иллюстративный пример.

Пример 3. Найдем, при каком значении q уравнение х² - x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 25.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда, используя условие задачи и формулы Виета, можно составить систему уравнений:

Решив эту систему уравнений способом подстановки, мы можем найти корни уравнения х₁ и х₂, а затем вычислить их произведение, равное q. Однако, учитывая то, что нас интересуют не сами корни, а только их произведение, мы можем решить задачу проще.

Возведем обе части второго уравнения в квадрат. Получим:
Заменив в этом равенстве сумму числом 25, будем иметь:

Отсюда xx₂= -12. Ответ: q= -12.

Все ли здесь правильно? Не нужна ли проверка решения задачи, т. е. решение уравнения
х² - x - 12 = 0, а затем вычисление суммы и суммы квадратов найденных корней?

Конечно, в данном случае можно выполнить эту проверку, которая подтвердит правильность авторского решения.

При этом возникает и другой вопрос: "Проверка - необходимый логический элемент или просто подстраховка от случайных вычислительных ошибок?".
Попытаемся ответить на этот вопрос косвенно - путем решения следующей аналогичной задачи.

Задача. Найти, при каком значении q уравнение х² + 5x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 11.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда
Так как , то 11 + 2х₁х₂ = 25, х₁х₂ = 7. Поэтому q = 7.
Попытаемся выполнить проверку. Уравнение х² + 5x + 7 = 0 не имеет действительных корней. Значит и наша задача не имеет решений.

Приведенный нами пример косвенно доказывает, что проверка решения данного типа задач - необходимый логический элемент ее решения. При отсутствии этой проверки решение не может быть логически правильным.

Дадим и прямое доказательство этого утверждения. Действительно, авторы цитируемого пособия писали: "Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения", то есть предполагали, что данное уравнение имеет действительные корни. Таким образом, условие Примера 3 может выполняться только при q = 7. Никто при этом не гарантировал, что при q = 7 данное уравнение имеет решение.

Таким образом, налицо математический ляп в цитируемом учебном пособии, которое предназначено для классов с углубленным изучением математики.

Тема "Метод математической индукции" то изучается в школьном курсе математики, то исключается. Однако, как правило, в так называемых "универсальных" учебниках (Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. Алматы: Атамура, 2005) она обязательно присутствует.

В этой записке я рассмотрю один из примеров автора, который посвящен раскрытию содержания термина "неполная индукция".

Рассмотрим еще один пример. Пусть задан квадратный трехчлен Р(n) = n² + n + 41, где n - натуральное число. При n, равном 1, 2, 3, 4, 5, нетрудно установить, что значения этого квадратного трехчлена - простые числа: Р(1) = 43; Р(2) = 47; Р(3) = 53; Р(4) = 61; Р(5) = 71 и т. д. Отсюда напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами. Однако, эта гипотеза является ошибочной, ибо при n = 41, Р(41) = 41² + 41 + 41 = 41 · 43 не является простым числом.

Трудно себе представить, что в девятом классе у всех учащихся "напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами" (может быть это кажется только автору учебника). Если это все это не так, то, что же делал в этой школе учитель, особенно в классе с углубленным изучением математики?

Необязательно вычислять значения данного многочлена Р(n) = n² + n + 41, при n, равном 1, 2, 3, 4, 5, чтобы сделать заключение, что значение при Р(n) будет составным при n кратном 41.

Здесь я мог бы предложить учителю, работающему с данным учебником рассмотреть следующую задачу.

Задача. Доказать, что значение многочлена Р(n) = n² + n + 41 при n = 40 является числом составным.

Доказательство. Р(40) = 40² + 40 + 41 = 40² + 40 + 40 + 1 = 40² + 2 · 40 + 1 = (40 + 1)² = 41² имеет делители 1, 41, 1681. Значит, 41² - число составное.

Но и эта задача, не является удачной иллюстрацией того, что неполная индукция может привести к ошибочным выводам.

В методических пособиях такие полезные иллюстрации есть. Приведу в качестве примера только одну из них.

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio - наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П. Ферма, проверив, что значение выражения P(n) = при n = 0, 1, 2, 3, 4 принимает значения 3, 5, 17, 257, 65 537 - простые числа, сделал по индукции предположение, что для всех n =0, 1, … числа вида P(n) простые.
Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII в. Л. Эйлер нашел, что P(5) = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 - составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Здесь мной был использован материал из учебника написанного под редакцией известного методиста-математика Н. Я. Виленкина (Алгебра для 9 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/Н.Я Виленкин, Г.С, Сурыило, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред. Н. Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1996).

Понятно, что этот пример удачен в методическом плане, так как не так легко доказать, что P(n) не является генератором простых чисел. Кроме того этот пример интересен и как экскурс в историю математики.

LI 5.09.15

Оформляющийся и все более четко прорисовывающийся сегодня подход в организации системы образования дает основание полагать, что в ближайшее время уровень образованности населения в странах постсоветсткого пространства отнюдь не повысится, и даже не будет соответствовать уровню десяти - пятнадцатилетней давности, а будет неуклонно снижаться и становиться все более легковесным. При существующих подходах - ориентации на ЕГЭ (Россия) и ЕНТ (Казахстан) о повышении уровня образования даже мечтать не приходится.

Какие знания можно проверить при ответе на 30 вопросов в течение 3-4 часов на экзамене в России и 45 минут в Казахстане? Конечно неглубокие, знание зазубренных фактов, дат, событий, но никак ни умение аналитически мыслить, правильно оформлять результаты изысканий.

Ведь при письменном экзамене, например по математике, раньше ученик получал вариант из 5-6 задач, на решение которых он тратил 4-5 часов, а на устном экзамене ему предлагалось за 45-60 минут подготовить ответ всего на три вопроса. При этом на основании решения этих заданий и, возможно, нескольких дополнительных вопросов на устном экзамене, составлялось достаточно объективное мнение не только о знаниях и навыках абитуриентов, но и их возможностях правильно и аргументировано излагать свои мысли.

Теперь же все стало так просто! Выпускнику достаточно правильно ответить на самые простые вопросы и выбрать во всех вопросах, на которые он не знает правильного ответа, один и тот же вариант по своему усмотрению, и тогда он гарантированно получит, как минимум, удовлетворительный аттестат. Простая арифметика типа "Выбирай пепси" - и никакой тебе пересдачи, осени и ответственности. Вот только не развратит ли нас и наших учеников такая простота, и не будет ли множиться безграмотность?

Если поднять материалы этих ЕНТ и ЕГЭ и сравнить по различным годам, то нетрудно обнаружить устойчивую тенденцию к снижению уровня сложности заданий. У чиновников от образования есть наготове оправдательное объяснение - идет выравнивание содержания школьного курса с тем, что выносится на итоговую проверку. Выходит и курс обучения становится все более примитивным? Да, можно объяснить это и так. Однако если вдуматься, то возникает непреодолимое желание спросить: "Кто же кого проверяет?". Министерства и департаменты образования - самоё себя? Органы, которые, к сожалению, недоброкачественно организовывают образование, сами себе ставят и оценку. Но может ли двоечник сам себе поставить двойку? Нет, конечно! Вот и снижается качественный уровень содержания тестовых материалов.

Во многих государствах такого безобразия нет. Как правило, школьное образование аттестуют независимые организации, которые не несут никакой ответственности за качество проверяемых знаний. Аксиома, но которую, при определенных условиях, удобней всего просто игнорировать. Это одна сторона тестовой медали, которую можно и нужно исправить, так как итоговая аттестация учащихся должна проводиться не силами школьных учителей, ни администрациями школ, ни отделами образования и не министерствами образования, а совершенно независимыми от них организациями. Но есть и другие рифы аттестации учащихся. Можно создать независимый орган по проверке знаний, но дело все равно с места не сдвинется. Все упирается на надежность и достоверность инструментов, посредством которых осуществляется проверка знаний и умений учащихся.

Практика работы по преподаванию математики, например, показывает, что во всех тестовых заданиях ЕГЭ и ЕНТ до 60 процентов заданий составлены так, что ответы угадываются с очевидностью, и ученику совсем не нужно выполнять все то, что "под разумевается" заданиями.

Дело не в том, что автор этих строк знает, как натаскивать учащихся на поиск правильных ответов в тестовых заданиях (это теперь знают и умеют делать все - http://school.nordkz.com/inf/ent/1/t2.doc, http://school.nordkz.com/inf/matematika/1/wt1.doc, http://school.nordkz.com/inf/matematika/3/t1.doc), а в том, что это натаскивание никакого глубокого, серьезного отношения, например, к школьному курсу математики не имеет. Уже доказано, что тестовые задания с несколькими ответами для выбора уже в принципе обязательно будут содержать в себе технологические изъяны. Эти изъяны - широкая дорога для получения заранее завышенной оценки на итоговой аттестации. Значит и отбор учащихся в вузы никогда не будет объективным.

С этим согласны и те, кто работает в школах. С каждым годом приемы угадывания правильных ответов становятся все более очевидными и распространенными. Теперь уже разработку этих приемов можно с успехом поручать самим учащимся. Так же, скорей всего, обстоят дела и по другим предметам. Об этом неоднократно писалось в СМИ и на сайтах газет в Интернете
http://school.nordkz.com/.

Социальный вред, ожидаемый в ближайшем будущем от введения итоговой аттестации учащихся в форме тестирования, очевиден. Уже сегодня многие учителя вместо того, что давать глубокие и прочные знания по своим предметам, вынуждены учить своих питомцев логическим приемам обнаружения правильных ответов в тестах, и ряды таких учителей будут с каждым годом увеличиваться. При этом местные органы образования своими требованиями "готовить" учащихся к "итоговому тестированию" поощряют это извращение самого понятия "Образование". Вся система образования сегодня ориентирована на получение учащимися высоких баллов на итоговом тестировании, но не на накопление соответствующих знаний. С каждым годом повышаются баллы выпускников, а соответствуют ли эти результаты реальным знаниям, никто не проверял, да и вряд ли проверит. Ведь учащимся приятно заявить о своих высоких баллах, а органам образования о тенденции увеличения этих баллов.

После введения ЕНТ о работе школы судят по среднему баллу, а не по воспитательной работе, здоровью детей, внеклассным мероприятиям, т.е. человеческий фактор не учитывается за сухими цифрами статистики. Школы же поставленные в такие рамки вынуждены избавляться от учеников, которые не могут набрать высоких баллов. Уже с девятого класса таких учеников отчисляют или, говоря современным языком, "уходят", выдавливают, особенно из элитных учебных заведений, а ведь до этого хватало совести брать деньги с родителей этих детей за оказание так называемых дополнительных образовательных услуг. Где же результаты этих услуг? Не это ли проявление бездушного, не гуманного отношения к детям. Каким бы ни был ребенок - умницей или не очень, он самая высшая ценность в мире. А на практике, чуть ли не "Пошел вон, ты нам не нужен!".

Говорить об объективности школьных оценок уже не приходится. В аттестатах сплошные четверки и пятерки, а что в головах? Во многих школах "ненужные предметы", т. е. те, что не сдаются на ЕГЭ и ЕНТ, заменяются отработкой тестов. Следовательно, дети не получают целостного образования, а только отрывочные знания по отдельным дисциплинам. ЕНТ заставляет многих преподавателей учить не предмету, а заучиванию тестовых заданий, вопросов, готовых ответов - особенно по гуманитарным дисциплинам.

Неудачно заимствованная нами американская система тестирования уже проявила себя как несостоятельная во всем мире. Следовательно, нет смысла ее использовать, наступая на чужие грабли. США, например, уже много лет собирают "мозги" по всем странам, не имея возможности подготовить своих ученых. Все здравомыслящие педагоги и ученые, причем с мировыми именами, называют тестовую систему аттестации знаний элементарной аферой - приключением для чиновников-экспериментаторов, а ученики и педагоги, в таком случае - обыкновенные кролики.

LI 5.09.15

Многие, наверное, помнят мультфильм, в котором юный герой умудрился, решая математическую задачу, получить в ответе полтора землекопа. Понятно, что получение столь странного ответа связано с плохими знаниями ученика.
Аналогичную ситуацию я встретил на странице 62 издания предназначенного для подготовки в поступлению в вуз: Белоненко Т.В, Васильев А. Е., Васильева Н. И., Крымская Л. Д. Сборник конкурсных задач по математике. - СПб.: "Специальная литература", 1997.

4.30 (СПбТУРП), 1995). Уравнение х² + х + 4 = 0 имеет корни х₁ и х₂. Не решая его, вычислить 2/x₁ + 2/х₂.
Ответ: -0,5.

Действительно, такой ответ можно получить, если только не решать данное уравнение. А если же все-таки попробовать решить это уравнение, то нетрудно убедиться в том, что оно не имеет действительных решений (других чисел в общеобразовательной школе не изучают).

Таким образом, данная задача содержит ложное условие - существование корней данного уравнения.

Нетрудно представить себе как авторы могли получить число - 0,5 в качестве ответа к данной задаче. Наверное, они ожидали следующие вычисления:

2/x₁ + 2/х₂ = 2(x₁ + х₂)/(x₁x₂) = 2· (-1)/4 = -0.5.

Но такое решение ошибочно, так предполагает, что данное уравнение имеет решение, которого на самом деле нет.

Так что ситуация для абитуриента тупиковая - не получив ожидаемого ответа - не поступишь в вуз, а если решишь задачу, как ожидают ее авторы - допустишь математическую ошибку.

LI 5.09.15

При изучении любой математической дисциплины большинство задач и примеров можно решать различными способами. При этом происходит актуализация различных знаний и умений. Это в свою очередь способствует непроизвольному их запоминанию.

Поэтому решение одной задачи несколькими способами, даже без оценки их с точки зрения рациональности, имеет большое образовательное значение для развития мышления учащихся, чем решение многих задач, но одним и тем же способом.

Формирование у учащихся привычки решать одну и ту же задачу различными способами должно, на мой взгляд, проводиться на уроках со всеми учащимися, а не только с отдельными из них на кружковых и факультативных занятиях.

Не обязательно для этого готовить специальные задачи и упражнения. Многие обычные школьные задачи допускают несколько способов решения. Учителю математики не следует упускать соответствующего момента и конструировать их вместе с учащимися. В качестве иллюстрации этих мыслей приведу следующий пример.
Задача. Упростить выражение .

Решение 1. Как правило, учащиеся попытаются применить знания и навыки, полученные при решении предшествующих задач - формулу возведения двучлена в кадрат.
= = = 8 + 2· = 8 + 6 = 14.
Это вполне естественно и ожидаемо, так как многие предшествующие задачи решались по этой схеме. Однако данная задача имеет и другое решение.

Решение 2. Нетрудно заметить, что если оба подкоренных выражения 4 + и 4 - умножить на 2, то получим полные квадраты. Действительно, 4 ± = = . Поэтому данную задачу можно решить и так:
= = = = 14.
Понятно, что это решение в дидактическом плане предпочтительнее предыдущего, так как несет для учащихся больше знаний. Рассмотренный прием может быть применен и в дальнейшем при решении задач, не аналогичных данной задаче. Поэтому заложенные в данной задаче механизмы для развития мышления учащихся не должны упускаться учителем математики.
Решение 3. Вот еще одна идея решения этой задачи. Так как (4 + )(4 - ) = 16 - 7 = 9, то 4 - = . Тогда = = = = = 14.
Таким образом, полезность и целесообразность решения одной и той же задачи различными способами налицо. И упускать такую возможность учителю математики не следует. Соответствующий же для этого дидактический материал находится практически на каждой странице любого школьного учебника математики.

Долгое время метод перебора в школьном курсе математики относили к методам "второго сорта". Однако ученые-математики относится к методу перебора совершенно иначе. Известно много серьезных задач, которые математики не могут пока решать иначе, чем методом перебора. Поэтому необходимо уделять больше внимания этому методу и в современном школьном курсе математики.

При этом, на мой взгляд, изучение этого метода не потребует больших затрат времени на уроках, так как, как правило, при решении задач при помощи уравнений имеет смысл рассматривать и этот метод как альтернативу общепринятому методу.
Рассмотрим некоторые примеры, заимствованные из учебников математики для общеобразовательных школ.

Задача 1. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение. Очевидно, что 187 = 1·187 = 11·17. Это все представления числа 187 в виде произведения двух натуральных чисел с точностью до порядка следования множителей. При этом только произведение 11·17 полностью удовлетворяет условию задачи.

Понятно, что приведенное выше решение намного рациональнее решения при помощи составления уравнения.

Более интересными являются задачи, связанные с многозначными числами.

Задача 2. Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то в частное будет равно 6, а остаток - 2. Если же это же число разделить на произведение его цифр, то неполное частное будет 5, а остаток - 2. Найдите это двузначное число.

Решение. Понятно, что искомое число должно содержаться среди двузначных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2, то есть среди чисел: 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 80, 86, 92, 96. Из этих чисел первому условию удовлетворяет только числа: 32 и 84. При этом только 32 при делении на произведение своих цифр дает неполное частное 5, а остаток - 2.

При решении задач на нахождение многозначных чисел методом перебора важно найти то условие, которое позволяет сократить количество переборов.

Задача 3. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число на 3 меньше удвоенного первоначального числа.

Решение. Понятно, что число 7 можно представить только в виде сумму двух цифр так: 7 = 7 + 0 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4. При этом если первая цифра больше 2, то разность между удвоенным первоначальным числом и числом, которое получится, после прибавления к каждой цифре искомого число по 2 будет больше 10. Поэтому первая цифра искомого числа 1 или 2. Значит, искомое число равно 16 или 25. Так как 2·16 - 38 ? 3, а 2·25 - 47 = 3, то искомое число - 25.

Здесь мы смогли значительно сократить количество переборов благодаря тому, что заметили, что первая цифра искомого числа не может быть больше 2.

Таким образом, не следует относить метод перебора к "некрасивым" методам, которое не развивает мышление учащихся. Дело не в том, что этот метод плохой или хороший, а в учителе, который не должен упускать возможности вооружать учащихся различными методами решения задач и при этом заботиться о том, чтобы эти методы применялись обдуманно, с учетом скрытых от внешнего взора условий, которые позволяют находить рациональные решения.

LI 5.09.15

Бродя по просторам Интернета на одном из болгарских форумов (форум сайта http://estoyanov.net/,) я наткнулся на очень интересную задачу. Вот ее текст на болгарском языке.

Задача 1. Намерете координатите на центъра и дължината на радиуса на окръжността, описана около четириъгълника на рисунката, ако страната на квадратчетата е 1.

Нетрудно понять ее условие. Однако для тех, кто "в танке" вот ее перевод на русский язык.

Задача 1. Вычислите координаты центра и длину радиуса окружности, описанной около четырехугольника, если сторона клетки на рисунке равна 1.

На мой взгляд, это задача очень красивая. Ее легко решить почти устно. Вот мои ответы: (4; 2), √10.

Думаю, что такие задачи необходимо использовать на уроке после изучения темы "Описанная окружность". К сожалению, в русскоязычной литературе таких задач практических нет. А жаль!

В поисках интересных задач я нашел еще одну задачу, которую принято относить в виду задач "на клетчатой бумаге". Думаю, что их методическая ценность до сих пор занижена. Эти задачи позволяют хорошо усваивать материалы для запоминания, развивают не только моторику (что уже поздно для учащихся старших классов), но конструктивизм в поисках решений новых задач.

Вот эта задача.


Задача. Найдите центр окружности, описанной около четырехугольника на рисунке.

Решение. Эту задачу я решал так называемым "методом проб и ошибок". Просто прикинул на глаз, где может быть центр искомой окружности и определил координаты этой точки.

Конечно первая попытка привела меня к неудаче. Простейшие вычисления на применение теоремы Пифагора показали, что я ошибся. Но ничего страшного, пришлось немного поправить мою гипотезу и, искомая точка была быстро найдена: (6; 1).

Повторное применение теоремы Пифагора показали, что точка (6; 1) действительно является центром данного четырехугольника. При этом появился повод для рассказа о том, что прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется Египетским.

Эта задача хороша для закрепления темы: "Вписанные и описанные окружности". Ее, на мой взгляд, следует отнести к так намазываемым дидактическим задачам.

Вот еще несколько задач из болгарских источников

На сайте http://egeent.ucoz.ru я уже опубликовал несколько статей о применении системы Wolfram Alpha для подготовки к ЕНТ и ЕГЭ по математике. Уверен, что такие системы еще не нашили тех, кто их мог бы по достоинству оценить в качестве инструментов преподавания учебных дисциплин.

Теперь же я нашел плагины для встройки этой системы в практически любой браузер. Таким образом система Wolfram Alpha всегда у меня под рукой (в прямом и переносном смысле этого слова). Эти плагины можно найти по адресу http://www.wolframalpha.com/downloads.html?showall и буквально в один клик мыши установить на своем браузере. Коллекция плагинов и расширений Wolfram Alpha включает гаджет iGoogle и расширения для Firefox, Chrome, Safari, Internet Explorer и Opera.

После установки соответствующего плагина в правом верхнем углу браузера появляется кнопка соотвествующая логотипу системы Wolfram Alpha. После нажатия на нее появляется окно для ввода задания.

Теперь мне нетрудно посмотреть график любой функции типа cos(pi*x) / (-LN2*x), разложение многочлена 2x^5 - 19x^4 + 58x^3 - 67x^2 + 56x - 48 на множители, вычисление значения любого громоздкого арифметического выражения и т. п.

Отрывок из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова

Если помните, в рассказе А. П. Чехова «Репетитор» гимназист Егор Зиберов не сумел решить арифметическую задачу, а отец репетируемого им ученика, отставной губернский секретарь Удодов, довольно быстро, пощёлкав на счётах, получил правильный ответ. Не смогли бы вы также арифметически решить эту задачу? Вот она.

- “Купец купил 138 аршинов черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля? “ Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря начинает делить 540 на 138.

- Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Давайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.

“ Странно...-думает он, ероша волосы и краснея. - Как же она решается? Гм!... Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая...”
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
..............................................................................................................
-Это задача, собственно говоря алгебраическая,- говорит он. - Ее с иксом и игрэком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил... понимаете? Теперь вот надо вычесть... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте...

Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик 7 класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.

- И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.
- Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.

— Вот-с... по-нашему, по-неученому.

Как же это "по-неученому" решил эту задачу отставной губернский секретарь Удодов? Наверное, не при помощи уравнений или их систем, иначе это стало бы "по-ученому".

Наверное, сегодня мало кто это сможет сделать. Отставной губернский секретарь Удодов решал эту задачу чисто арифметическим методом. Вот как решали в те времена такие задачи.

Вот еще раз условие этой задачи.

Купец купил 138 аршинов черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?

Сначала узнаем, сколько заплатил бы купец, если бы купил все 138 аршин по 5 рублей: 138*5=690. На сколько это больше, чем он заплатил? 690-540=150.

Теперь один метр сукна по 5 рублей заменим на сукно по 3 рубля. Понятно, что затраты купца сократятся на 5 - 3 = 2 рубля. Теперь уже переплата станет 150 - 2 = 148 рублей.

Сколько же раз таких замен нужно сделать, чтобы ликвидировать переплату в 150 рублей?

Нетрудно посчитать число таких замен: 150 : 2 = 75.

Значит, в самом начале купцу надо было купить 75 метров сукна по 3 рубля и 138 - 75 = 63 метра по 5 рублей.

Вот такое простое решение. Возникает риторический вопрос: "Нужно ли учить таким методам решения задач современных школьников?". Нетрудно ответить - Да!

Чтобы закрепить в сознании читателей этой заметки рассмотренный выше арифметический метод решения этой задачи предлагаю продолжить другое (тоже арифметическое) решение этой задачи.

Сначала узнаем, сколько заплатил бы купец, если бы купил все 138 аршин по 3 рубля: 138 * 3 = 414. На сколько это меньше, чем он должен был заплатить? ...

И еще одна задача на прощание.

На дворе бегают куры и поросята, у всех вместе 20 голов и 52 ноги. Сколько всего кур и поросят?

Желаю удачи и не получить умственного переутомления!

Среди многочисленных школьных математических задач особо выделяются сюжетные задачи. Их также называют текстовыми.

Выделяют два основных метода решения сюжетных задач - арифметический и алгебраический.

До 70-х годов прошлого столетия основным методом решения задач в курсе математики был арифметический метод. Однако позднее за счет алгебраизации курса математики начальной и неполной средней школы из программы было практически вытеснено изучение разнообразных арифметических приемов решения текстовых задач. Самым распространенным методом решения задач стал алгебраический.

Но еще тогда А.Н. Колмогоров предостерегал от чрезмерного увлечения алгебраическим методом.

Практика показала справедливость его предупреждения.В настоящее время еще раз возникла необходимость пересмотра содержания обучения математике (в частности, арифметике). В последние годы появилась методическая литература, в которой наметилась тенденция возвращения к арифметическим способам решения задач.

Мне не хотелось бы, что все пошло по замкнутому кругу. Каждый из методов решения текстовых задач имеет свои преимущества и свои недостатки. Поэтому в школьном курсе математики следует изучать оба метода.

Пример. Сумма двух чисел равна 38. Найти эти числа, если 2/3 первого числа равны 3/5 второго.

Решение 1.

Пусть первое число составляет 90 (90 делится на 2, на 3 дважды и на 5) частей. Тогда его 2/3 будут равны 60 частям. 60 : 3/5 = 100 - столько частей составляет второе число.

Сумма двух чисел равна 90 + 100 = 190 частей. Тогда первое число равно 38 : 190 * 90 = 18, а второе - 38 - 18 = 20.

Проверка. 2/3 от числа 18 равно 12, а 3/5 от числа 20 составляют тоже 12. Значит задача решена верно.

Решение 2.

Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда

Решив эту систему мы получим х = 18, а у = 20.

Конечно, эту задачу можно было бы решить при помощи только одного уравнения.

Однако мне не нравится, что в в приведенных выше решениях арифметический и алгебраический методы "разобщены".

Рассмотрим еще одно решение, в котором оба метода мирно сотрудничают (в отличии от их сторонников и противников).

Решение 3.

Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда , .

Значит, первое число составляет 9 частей, а второе - 10. Тогда на все число будет приходиться 9 + 10 = 18 частей. Поэтому первое число равно 38 : 19 * 9 = 18, а второе - 38 : 19 * 10 = 20.

Проверку я пропускаю, но она обязательный элемент решения.

Последнее решение мне нравится больше всех, так как здесь реализованы все методические преимущества обоих методов.

Рассмотрим типичную задачу на вычисление двузначного числа, обладающего некоторыми свойствами.

Найдите двузначное число, если цифра его десятков на 2 больше цифры его единиц, а произведение числа и суммы его цифр равна 900.

Обычно такие задачи решают при помощи двух уравнение с двумя переменными.

Обозначив цифру десятков через х , а цифру единиц через у, получим следующую систему уравнение .
Решив эту систему получаем х = 7, у = 5. Поэтому искомое число равно 75.

Приведенный выше способ решения этой задачи наиболее распространенный в методической литературе. Однако этот способ нельзя назвать самым рациональным, так как составленная систему приводит к квадратному уравнению с достаточно большими коэффициентами и его решение требует много времени. Намного быстрее решить эту задачу так.

Пусть N - искомое число, а n - сумма его цифр. Тогда N ⋅ n = 900 = 1 ⋅ 900 = 2 ⋅ 450 = 3 ⋅ 300 = 4 ⋅ 225 = 5 ⋅ 180 = 6 ⋅ 150 = 9 ⋅ 10 = 12 ⋅ 75 = 15 ⋅ 60 = 18 ⋅ 50.

Сумма цифр двузначного числа не может быть больше 18, а в данном случае она может быть равна только 12 (в этом случае искомое число 75 и 7 + 5 = 12). Поэтому искомое число равно 75.

Этот способ является арифметическим, так как в его основу положено разложение числа на множители и анализ этих множителей. Понятно, что этот способ является самым рациональным, хоты и не общим для всех задач этого типа. Однако не следует проходить и мимо таких оригинальных подходов к решению таких задач.

Рассмотренный выше арифметический способ решения нашей задачи хорош еще и тем, что он не использовал информацию о том, что цифра десятков искомого числа на 2 больше цифры его единиц. Оказывается, что и без этого условия эту задачу можно решить. такие задачи, в которых есть "лишние" условия без которых можно обойтись так и называются задачами с лишними данными.

Поэтому рассмотренный нами арифметический способ решения без лишней траты времени ввести новое для учащихся понятие.

Отметим, что есть еще и второй арифметический способ решения этой задачи, который опирается на условие что "цифра десятков на 2 больше цифры его единиц". Исходя из этого условия составим таблицу возможных значений х и у (цифры десятков и цифры единиц).



Поверяя числа 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97 на выполнение условия "произведение числа и суммы его цифр равна 900" находим искомое число - 75.

На этом примере можно еще раз убедиться в том, что методическими возможностями арифметических способов решения текстовых задач не следует пренебрегать.

Читая книгу посвященную методике преподавания математики (Г.П. Бевз. Методика розв'язування алгебраїчних задач у 6-8 класах) я встретил простую задачу, которая имеет несколько интересных и полезных в методическом отношении (для логического развития учащихся) решений. Вот условие этой задачи в моем вольном переводе с украинского языка.

Сумма цифр двузначного числа рана 15. Если это число умножить на 7 и от произведения отнять двузначное число, записанное теми же цифрами что и данное, но в обратном порядке, то получим 387. Найти двузначное число.

Первое, что я сделал - нашел свое, как мне кажется, самое простое решений этой задачи, доступное даже учащимся младших классов. Вот эта задача и ее несколько решений.

Решение 1.

Так как сумма цифр двузначного числа рана 15, то возможно это число 69, 78, 87 и 96. Не так уж много кандидатов на правильный ответ. Теперь проверим каждое из этих число на выполнение условия "Если это число умножить на 7 и от произведения отнять двузначное число, записанное теми же цифрами что и данное, но в обратном порядке, то получим 387".

69 ⋅ 7 - 96 = 387. Значит, 69 - искомое число.

Однако задача может иметь и другие решения. Поэтому проверим оставшиеся числа (78, 87 и 96) на выполнение этого условия.

78 ⋅ 7 - 87 (оканчивается на 9) ≠ 387.

87 ⋅ 7 - 78 (оканчивается на 1) ≠ 387.

96 ⋅ 7 - 69 (оканчивается на 3) ≠ 387.

Значит, 69 - единственное искомое число.

Ответ: 69.

Рассмотренный мною метод решения этой задачи называется методом перебора. Он эффективен тогда, когда кандидатов для выбора среди них не так много.

Автор, указанной выше книги решает эту задачу следующими двумя способами.

Решение 2.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х. Тогда цифра его единиц будет 15 - х, поэтому искомое число равняется 10х + 15 - х; 10(15 - х) + х - число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Получаем уравнение

(10х + 15 - х) ⋅ 7 - (10(15 - х) + х) = 387.

Решив это уравнение получим х = 6 (цифра десятков). Цифра единиц: 15 - х = 9.

Ответ: 69.

Решение 3.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х, а цифру единиц - через у. Так как сумма цифр равна 15, то получаем уравнение х + у = 15. Кроме этого из условия задачи следует еще одно уравнение: (10х + у) ⋅ 7 - (10у + х) = 387, 69х - 3у = 387, 23х - у = 129.

Получаем систему уравнений

которая имеет единственное решение х = 6, у = 9.

Ответ: 69.

Вот такие решения предлагает нам автор пособия по методике преподавания алгебры. Не знаю почему, но Г.П. Бевз не указа еще одного решение рассматриваемой задачи.

Решение 4.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х, а цифру единиц - через у. Из условия задачи следует уравнение: (10х + у) ⋅ 7 - (10у + х) = 387, 69х - 3у = 387, 23х - у = 129, 23х = 129 + у.

Так как у ≥ 1 (у - первая цифра двузначного числа, поэтому у ≠ 0) и у ≤ 9, то 130 = 129 + 1 ≤ 129 + у ≤ 129 + 9 = 138.

Поэтому 130 ≤ 23х ≤ 138, 5, 652... ≤ 23х ≤ 6. Значит, х = 6.

23 ⋅ 6 = 129 + у, у = 138 - 129, у = 9.

Ответ: 69.

Трактовка термина "Проценты" в методической литературе

Как известно, понятие процента связывается с коммерческими расчетами. В старом учебнике (А. Малинин и К. Буренин. Арифметика. 1895) пишется, что "Если кто-нибудь занимает деньги, то он платит за это лицу, которое дало эти деньги, определенное количество рублей со 100; эта плата показывает количество или таксу процентов (pro ctntum - на сто)".

В этой же книге пишется, что "слово "процент" употребляется не только при денежных расчетах, но и вообще для для выражения прибыли или убыли на каждую сотню каких-либо предметов". "из предыдущего следует, что один процент с какого-нибудь числа есть сотая часть этого числа".

Таким образом, сотая часть какого- либо числа называется одним процентом. Это одна из трактовок понятия процент. По этой трактовке отвлеченные числа нельзя выражать в процентах. Так надо говорить 10% от 100 000 рублей, или 13% всего поля и т. п. Однако просто число 45% не имеет смысла.

Но имеется и другая трактовка: сотая часть или один процент - это дробь 1/100 или 0,01. Это определение отождествляет понятие процента и дроби со знаменателем 100. По этой трактовке проценты - это не что иноке, как сотые доли, лишь особым образом записанные: 65% то же самое, что 0,65 или 65/100. Согласно этой трактовки не лишены смысла предложения типа "10% от 100 000 рублей" и "13% всего поля" и просто числа 17%, 11%, 300%.

Вторая трактовка понятия процент более широкая, она включает в себя и первую трактовку этого понятия. Современные школьные учебники придерживаются второго определения понятия процент.

В связи с этим все задачи из школьных учебников о процентах следует разделить на две группы: задачи связанные с отвлеченной трактовкой понятия процент и задачи связанные с вычислением процентов от некоторых величин. Но это уже не тема этого поста.