В пособии Шаныбекова А. Н. (Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. - Алматы: Атамура, 2005) на стр. 48 приводится такое определение:
Определение 3. Если для функции y = f(x) существует число Т ≠ 0 такое, что для любого значения аргумента х выполнено равенство f(х + Т) = f(х), то число Т называется периодом функции f(x), а сама функция называется периодической.

Вообще то в математике принято другое определение периодической функции.
Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число Т ≠ 0 такое, что:
1) для любого числа х из области определения этой функции числа (х + Т) и (х - Т) также принадлежат ее области определения;
2) при всех х из области определения этой функции f(х + Т) = f(х).

Согласитесь, что это разные определения. Так, например, функция f(x) = {(√x)²}является периодический в смысле первого определения. Действительно, для Т = 1 и всех значений х из области определения функции ([0; +∞)) выполняется равенство f((x + 1) = {x + 1} = {x}= f(x), т. е. f(х + Т) = f(х).

В то же время функция f(x) = {(√x)²} не является периодической с периодом Т = 1 по второму определению, так как для х = 0 число х - Т = -1 не входит в область определения данной функции.

Известно, что определение не может быть верным или неверным - это не теорема - и оно не доказывается. Но в то же время в учебнике Шаныбекова А. Н. утверждается, что "Если число Т является периодом функции y = f(x), то числа ±2Т, ±ЗТ, ±4Т,... также являются периодами этой функции".

Это неверное утверждение. Действительно, для той же функции f(x) = {(√x)²}, которая является периодической с периодом Т = 1 число -1 уже не является ее периодом, так как равенство f(0 - 1) = f(0) не выполняется в силу того, что выражение f(0 - 1) не имеет смысла.

Значит, в рассуждениях автора школьного учебника имеется ошибка. Тем не менее, в казахстанском учебнике доказывается тот факт, что если число Т ≠ 0 - период функции f (х), то и число -Т тоже период этой функции.

Для этого рассматривается цепочка равенств f (х - Т) = f((х - Т) + Т) = f(x). Однако ясно, что эти равенства можно писать, лишь предполагая, что её первый член - символ f(х - Т) - имеет смысл, т. е. что число (х - Т) принадлежит области определения функции f(x). Между тем из определения периодичности функции, предлагаемого в школьном учебнике не вытекает, что если х принадлежит области определения функции f(x), то и (х - Т) принадлежит области определения этой функции.

Таким образом, проведенное в учебнике доказательство свойства периодических функций некорректно, ибо не следует букве принятого в этом же учебнике определения.

Как же быть школьному учителю в данной ситуации? Да очень просто, быть честным. Рассказать учащимся о том, что мы поведали выше и дать целесообразное определение периодической функции (оно также изложено выше).

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения