В учебном пособии (Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. Изуч. Математики/Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 1996) на стр. 145 приаеден следующий иллюстративный пример.

Пример 3. Найдем, при каком значении q уравнение х² - x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 25.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда, используя условие задачи и формулы Виета, можно составить систему уравнений:

Решив эту систему уравнений способом подстановки, мы можем найти корни уравнения х₁ и х₂, а затем вычислить их произведение, равное q. Однако, учитывая то, что нас интересуют не сами корни, а только их произведение, мы можем решить задачу проще.

Возведем обе части второго уравнения в квадрат. Получим:
Заменив в этом равенстве сумму числом 25, будем иметь:

Отсюда xx₂= -12. Ответ: q= -12.

Все ли здесь правильно? Не нужна ли проверка решения задачи, т. е. решение уравнения
х² - x - 12 = 0, а затем вычисление суммы и суммы квадратов найденных корней?

Конечно, в данном случае можно выполнить эту проверку, которая подтвердит правильность авторского решения.

При этом возникает и другой вопрос: "Проверка - необходимый логический элемент или просто подстраховка от случайных вычислительных ошибок?".
Попытаемся ответить на этот вопрос косвенно - путем решения следующей аналогичной задачи.

Задача. Найти, при каком значении q уравнение х² + 5x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 11.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда
Так как , то 11 + 2х₁х₂ = 25, х₁х₂ = 7. Поэтому q = 7.
Попытаемся выполнить проверку. Уравнение х² + 5x + 7 = 0 не имеет действительных корней. Значит и наша задача не имеет решений.

Приведенный нами пример косвенно доказывает, что проверка решения данного типа задач - необходимый логический элемент ее решения. При отсутствии этой проверки решение не может быть логически правильным.

Дадим и прямое доказательство этого утверждения. Действительно, авторы цитируемого пособия писали: "Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения", то есть предполагали, что данное уравнение имеет действительные корни. Таким образом, условие Примера 3 может выполняться только при q = 7. Никто при этом не гарантировал, что при q = 7 данное уравнение имеет решение.

Таким образом, налицо математический ляп в цитируемом учебном пособии, которое предназначено для классов с углубленным изучением математики.

Серия сообщений "Рецензии":
Часть 1 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 2 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 3 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 5 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 6 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения