В этой заметке мы рассмотрим решение одного типа иррациональных неравенств с радикалами. Если быть точнее рассмотрим известные мне решения неравенства типа , где f(x) и g(x) - многочлены не выше второй степени.

В качестве примера рассмотрим неравенство, заимствованное из книги И. И. Мельникова, И. Н. Сергеева "Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах" (стр. 89). Скачать эту книгу можно отсюда: https://yadi.sk/d/G1wJWAxFeNqgG.

Решите неравенство
Решение I. Найдем сначала ОДЗ данного неравенства, то есть решим неравенство -х² + 6х - 5 ≥ 0.

Для этого найдем корни квадратного трехчлена -х² + 6х - 5. Эти корни мы получим после решения уравнения
-х² + 6х - 5 = 0,
х² - 6х + 5 = 0,
D = 36 - 20 = 16 = 4²,
x₁ = (6 + 4)/2 = 5,
x₂ = (6 - 4)/2 = 1,
-(x - 5)(x - 1)≥ 0,
(x - 5)(x - 1)≤ 0.

Решением последнего неравенства будет отрезок [1; 5].
Возводить заданное неравенство в квадрат можно только в случае, когда правая и левая ее части неотрицательны. Поэтому на найденном ОДЗ приходится разбирать два случая.
и
Рассмотрим первый случай, включая туда и ОДЗ.

Решим неравенство 5x² – 38x + 69 < 0.
5x² – 38x + 69 = 0, D = 1444 – 1380 = 64,
x = (38 ± 8)/10, x₁ = 3, x₂ = 4,6;
5(x - 3)(x – 4,6) < 0,
Так как х ≤ 4, то x – 4,6 < 0 и х – 3 > 0, x > 3. Поэтому х ∈ (3; 4].
теперь второй случай также включая в него ОДЗ.

При 8 - 2х < 0 неравенство будет выполняться при всех х из ОДЗ. Поэтому будем иметь



(3; 4] U (4; 5] =(3; 5].

Ответ: (3; 5].

Вот такое решение, конечно по стилю, приводится в указанном выше пособии.

Сейчас я покажу другое решение этого же неравенства.

Решение II.

Не повторяясь отмечу, что ОДЗ данного неравенства - отрезок [1; 5].

Вместо данного неравенства я сначала отмечу, что корнем соответствующего уравнения



будет единственное число 3 (см. предыдущее решение). Само это число 3, как и число 1, конечно, не является решением данного неравенства. Число же 5, наоборот, является решением данного неравенства.

Число 3 разбивает ОДЗ на два промежутка



На каждом из этих промежутков данное неравенство либо выполняется, либо не выполняется.

Чтобы выяснить это возьмем два числа из этих промежутков: 2 и 4.

При х = 2 данное неравенство не выполняется (проверьте самостоятельно), значит оно не выполняется и на всем промежутке [1; 3].

При х = 4 наше неравенство выполняется, значит оно выполняется и на всем промежутке (3; 5].

Ответ: (3; 5].

Решение II реализовано при помощи так называемого метода интервалов.

Однако ни Решение I, ни Решение II мне не нравятся. Однако это только мое субъективное мнение. И все же мне по душе третье решение данного неравенства.

Решение III.

Это решение - графическое. Для этого надо построить графики двух функций и y = 8 - 2x.

Однако заметим, что

Последняя система задает верхнюю полуокружность с центром в точке (3; 0) и радиусом 2.

После построения в системе координат получим


Не трудно убедиться в том, что точка (3; 2) лежит как на прямой, так и на полуокружности.

Для решения нашей задачи нам нужно найти те значения переменной х, при которых часть полуокружности расположена строго выше части прямой. Это условие выполняется только при х ∈ (3; 5].

Ответ: (3; 5].

Это решение, на мой взгляд, самое лучшее из всех трех решений, которые я привел в этой заметке.

Примечание. Последнее решение не только наглядное, но и позволяет составлять аналогичные задачи учителю и учащимся. Парадокс не задача, не ее текст, а найденное решение реализует технологию развивающего обучения.

В завершение я хотел бы предостеречь моих читателей от типичного заблуждения относительно этих трех решений.

Многие ученики считают, что им нужно освоить, например, только прием из третьего решения, так как оно им нравится. Также есть учителя (и их не мало), которые считают, что им нужно рассказывать своим ученикам только третье решение, так как оно самое изящное, а о двух других решениях не стоит даже вспоминать.

Скажу сразу, что неправы все, как ученики так и учителя. Для того, чтобы стать профессионалом своего дела надо знать все решения данной задачи, даже если некоторые из них не являются рациональными в данном случае. Может случиться так, что прием третьего решение будет трудно реализовать в то время как приемы первого или второго решений останутся единственными из возможных.

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 15 - Рисунок-ключ к решению текстовой задачи
Часть 16 - Угол между двумя плоскостями. Задание 16(С2)
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения