В этой сообщении я расскажу об относительно новом приеме решения задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат.

Как известно, две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов.
Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Пусть φ - угол между этими двумя пересекающими плоскостями, а {a₁; a₂; a₃} и {b₁; b₂; b₃} - векторы, перпендикулярные плоскостям α₁ и α₂ соответственно. Эти векторы принято называть нормальными векторами к плоскостям α₁ и α₂. Тогда

А теперь рассмотрим решение следующей задачи.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA₁ взята точка М так, что AM = 8. На ребре BB₁ взята точка K так, что B₁К=8. Найдите угол между плоскостью D₁MK и плоскостью CC₁D₁.

Выполним чертеж и введем введем систему координат так как на следующем рисунке.

Эту задачу я позаимствовал на странице http://ege-ok.ru/2012/03/19/ugol-mezhdu-ploskostyami-metod-koordinat-zadanie-s2/. Однако далее мое решение будет резко отличаться от того, которое приведено там. Дело в том, что я буду использовать явно не традиционный координатный прием.

Нам нужно найти угол φ - угол между плоскостями D₁MK и плоскостью CC₁D₁. Угол φ равен углу между нормалями к плоскостям D₁MK и CC₁D₁.

Вектор {0; 1; 0} будет нормалью к плоскости CC₁D₁. Осталось найти нормаль к плоскости D₁MK.

Пусть нормаль к плоскости D₁MK имеет координаты {x; y; z}. Эта нормаль будет перпендикулярна векторам МК и МD.

Точки М, К и D имеют координаты (0; 0; 13), (12;0; 0 ) и (0; 12; 0) соответственно. Тогда вектор МК имеет координаты {12; 0; -13}, а вектор МD - {0; 12; -13}.

Так как вектор {x; y; z} перпендикулярен векторам МК и МD, то скалярное произведения вектора {x; y; z} и вектора МК равно 0. Точно также скалярное произведения вектора {x; y; z} и вектора МD равно 0. Поэтому


Положив z = 12 получим х = 5, у = 13.

Таким образом, векторы {0; 1; 0} и {5; 13; 12} будут перпендикулярны плоскостям CC₁D₁ и D₁MK. Поэтому косинус угла между этими плоскостями мы найдем по формуле

где a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 0 и b₁ = 5; b₂ = 13; b₃ = 12.

Значит,


Поэтому φ = 45^o.

Ответ: 45^o.

"Плохое" решение Вы можете посмотреть и послушать (а лучше этого делать не стоит) на странице https://www.youtube.com/watch?v=4lqxVy2_tfE

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 14 - Задача из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова
Часть 15 - Рисунок-ключ к решению текстовой задачи
Часть 16 - Угол между двумя плоскостями. Задание 16(С2)
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения