Как известно, задачи типа С4 экзамена ЕГЭ не очень трудные. Однако при их решении учащихся поджидают не математические, а логические, а если быть еще точнее психологические стереотипы, которые невольно наталкивают их на совершение ошибок. Отметим, что такие ошибки совершают большинство выпускников средних школ, так как они не привыкли решать такого типа задач, да и в школьных учебниках геометрии такие задачи практически отсутствуют.

Поэтому сборники для подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ по математике в этом плане представляют собой бесценный методический материал для плодотворной работы школьного учителя. Как бы ни развивалась эволюция ЕГЭ, по моему мнению, эти материалы будут всегда сохранять свою педагогическую актуальность.

Однако вернемся к "нашим баранам" и рассмотрим пример одной из таких задач, которая может стать камнем преткновения на ЕГЭ по математике для учащихся.

C4 Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.

В каждой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей равен полу разности оснований, а средняя линя - полусумме оснований.

Пусть а и b - основания данной трапеции, тогда

Решив эту систему получаем а = 25, b = 10. Значит, LM = 25, KN = 10.

Так как стороны LM и KN треугольников ALM и AKN параллельны, то эти треугольники подобны. При этом коэффициент подобия равен 25/10 = 2,5.

AL = 2,5AK,
AK + KL = 2,5AK,
AK + 8 = 2,5AK,
1,5AK = 8,
AK= 16/3. Значит, AL = AK + KL = 16/3 + 8 = 40/3.

AM = 2,5AN,
AN + NM = 2,5AN,
AN + 17 = 2,5AN,
1,5AN = 17,
AN = 34/3. AM = AM + NM = 34/3 + 17 = 85/3.

Так как AL² = LM² + AM², то треугольник ALM - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности находится по формуле r = (a + b - c)/2. Поэтому r = (40/3 + 25 - 85/3)/2 = 5.

Казалось бы задача решена и пора на ней ставить точку. Однако здесь многих ожидает ловушка.

Дело в том, что чертеж может быть другим.

В этом случае нужно вычислить радиус окружности, вписанной в меньший треугольник.

Так как треугольники ALM и AKN подобны и коэффициент подобия равен 2,5, то радиус окружности, вписанной в меньший треугольник будет равен 5/2,5 = 2.

Ответ: 5 или 2.

Сегодня я хочу поделиться своим опытом о том, как можно создать электронную книгу в формате PDF. Программ для чтения электронных книг в этом формате очень много. Они, наверно есть, у многих пользователей.

Существуют также книги в формате djvu. Этот формат создан исключительно на использовании изображений и поэтому не всегда удобен – из такой книги не скопируешь текст, если вдруг это понадобилось. Обычно djvu используют при создании отсканированных книг. Но у формата PDF возможностей значительно больше.

Каждый формат по своему хорош. Многие электронные книги сегодня созданы при помощи этих форматов.

Я посмотрел десятки небольших программ для конвертирования word-файлов в PDF-файлы. Ни одна из них мне не подошла.

Мне хотелось, чтобы в созданном мною PDF файле было оглавление, которое расположено слева от основного текста и внутри текста были бы как внешние ссылки на нужные мне сайты, так и внутренние (перекрестные) ссылки в самом тексте.

В Сети Интернет я нашел прекрасный online сервис, который удовлетворяет всем этим требованиям - http://document.online-convert.com/convert-to-pdf.

Сначала я приготовил файл текстовом редакторе Word. Сразу скажу, что вышеуказанный сервис не допускает применения редактор формул, встроенного в программу Word. Поэтому нужные мне картинки с математическими формулами я заранее приготовил. О том как я можно делать я рассказывал в заметке "Wolfram|Alpha и картинки с математическими формулами" (http://www.liveinternet.ru/users/kifar/post224111521/) и вставлял их в текст свой будущей электронной книги по мере необходимости.

Полученный таким образом текст я отправил на обработку в сервис http://document.online-convert.com/convert-to-pdf и на выходе от него получил свой PDF файл.

Но не все было так гладко. Картинки с математическими формулами были неровно вставлены в текст. Пришлось найти в Интернете еще одну прекрасную программу "Foxit PDF Editor". Мне повезло скачать ее бесплатно, да еще с русским интерфейсом (кто-то сильно постарался :).

В этой программе я выровнял расположение картинок в PDF-тексте. После этого все получилось так как я хотел. Убедиться в этом можно скачав мой не большой опус "Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями", в котором приведены около десяти задач с ответами и решениями. Скачать можно отсюда: http://egeent.ucoz.ru/load/0-0-0-35-20 .

Читая книгу посвященную методике преподавания математики (Г.П. Бевз. Методика розв'язування алгебраїчних задач у 6-8 класах) я встретил простую задачу, которая имеет несколько интересных и полезных в методическом отношении (для логического развития учащихся) решений. Вот условие этой задачи в моем вольном переводе с украинского языка.

Сумма цифр двузначного числа рана 15. Если это число умножить на 7 и от произведения отнять двузначное число, записанное теми же цифрами что и данное, но в обратном порядке, то получим 387. Найти двузначное число.

Первое, что я сделал - нашел свое, как мне кажется, самое простое решений этой задачи, доступное даже учащимся младших классов. Вот эта задача и ее несколько решений.

Решение 1.

Так как сумма цифр двузначного числа рана 15, то возможно это число 69, 78, 87 и 96. Не так уж много кандидатов на правильный ответ. Теперь проверим каждое из этих число на выполнение условия "Если это число умножить на 7 и от произведения отнять двузначное число, записанное теми же цифрами что и данное, но в обратном порядке, то получим 387".

69 ⋅ 7 - 96 = 387. Значит, 69 - искомое число.

Однако задача может иметь и другие решения. Поэтому проверим оставшиеся числа (78, 87 и 96) на выполнение этого условия.

78 ⋅ 7 - 87 (оканчивается на 9) ≠ 387.

87 ⋅ 7 - 78 (оканчивается на 1) ≠ 387.

96 ⋅ 7 - 69 (оканчивается на 3) ≠ 387.

Значит, 69 - единственное искомое число.

Ответ: 69.

Рассмотренный мною метод решения этой задачи называется методом перебора. Он эффективен тогда, когда кандидатов для выбора среди них не так много.

Автор, указанной выше книги решает эту задачу следующими двумя способами.

Решение 2.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х. Тогда цифра его единиц будет 15 - х, поэтому искомое число равняется 10х + 15 - х; 10(15 - х) + х - число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Получаем уравнение

(10х + 15 - х) ⋅ 7 - (10(15 - х) + х) = 387.

Решив это уравнение получим х = 6 (цифра десятков). Цифра единиц: 15 - х = 9.

Ответ: 69.

Решение 3.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х, а цифру единиц - через у. Так как сумма цифр равна 15, то получаем уравнение х + у = 15. Кроме этого из условия задачи следует еще одно уравнение: (10х + у) ⋅ 7 - (10у + х) = 387, 69х - 3у = 387, 23х - у = 129.

Получаем систему уравнений

которая имеет единственное решение х = 6, у = 9.

Ответ: 69.

Вот такие решения предлагает нам автор пособия по методике преподавания алгебры. Не знаю почему, но Г.П. Бевз не указа еще одного решение рассматриваемой задачи.

Решение 4.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х, а цифру единиц - через у. Из условия задачи следует уравнение: (10х + у) ⋅ 7 - (10у + х) = 387, 69х - 3у = 387, 23х - у = 129, 23х = 129 + у.

Так как у ≥ 1 (у - первая цифра двузначного числа, поэтому у ≠ 0) и у ≤ 9, то 130 = 129 + 1 ≤ 129 + у ≤ 129 + 9 = 138.

Поэтому 130 ≤ 23х ≤ 138, 5, 652... ≤ 23х ≤ 6. Значит, х = 6.

23 ⋅ 6 = 129 + у, у = 138 - 129, у = 9.

Ответ: 69.

C6. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -12.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть на доске написано n чисел. Тогда их сумма: S = -7n. Если p - количество положительных чисел, то их сумма равна 6р; если m - количество отрицательных чисел, то их сумма равна -12m. Если z - количество нулей, то n = p + m + z и -7n = 6р - 12m.

a) Правая часть последнего равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: n = 48.

б) Из равенства -7 ⋅ 48 = 6p - 12m получаем после сокращения на 6: 2m - p = 56. Кроме того: p + m + z = 48.

Сложив полученные равенства получим 3m + z = 104. Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, то число z также даёт остаток 2 при делении на 3: z = 3k + 2 (k ≥ 0). Отсюда: 3m + 3k + 2 = 104, или m = 34 - k.

Соответственно, p = 2m - 56 = 2(34 - k) - 56 = 12 - 2k.

Составляем разность: p - m = (12 - 2k) - (34 - k) = -22 - k < 0, так что p < m; отрицательных чисел написано больше.

в) Из равенства p = 12 - 2k видим, что p ≤ 12.

Приведём пример с p = 12 (тогда k = 0, z = 2, m = 34).

Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа -12 и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно -12, а среднее арифметическое всех чисел: (12 ⋅ 6 + 34 ⋅ (-12))/48 = -7

Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12.

Ответ: а) 48; б) отрицательных; в) 12.

Рассмотрим типичную задачу на вычисление двузначного числа, обладающего некоторыми свойствами.

Найдите двузначное число, если цифра его десятков на 2 больше цифры его единиц, а произведение числа и суммы его цифр равна 900.

Обычно такие задачи решают при помощи двух уравнение с двумя переменными.

Обозначив цифру десятков через х , а цифру единиц через у, получим следующую систему уравнение .
Решив эту систему получаем х = 7, у = 5. Поэтому искомое число равно 75.

Приведенный выше способ решения этой задачи наиболее распространенный в методической литературе. Однако этот способ нельзя назвать самым рациональным, так как составленная систему приводит к квадратному уравнению с достаточно большими коэффициентами и его решение требует много времени. Намного быстрее решить эту задачу так.

Пусть N - искомое число, а n - сумма его цифр. Тогда N ⋅ n = 900 = 1 ⋅ 900 = 2 ⋅ 450 = 3 ⋅ 300 = 4 ⋅ 225 = 5 ⋅ 180 = 6 ⋅ 150 = 9 ⋅ 10 = 12 ⋅ 75 = 15 ⋅ 60 = 18 ⋅ 50.

Сумма цифр двузначного числа не может быть больше 18, а в данном случае она может быть равна только 12 (в этом случае искомое число 75 и 7 + 5 = 12). Поэтому искомое число равно 75.

Этот способ является арифметическим, так как в его основу положено разложение числа на множители и анализ этих множителей. Понятно, что этот способ является самым рациональным, хоты и не общим для всех задач этого типа. Однако не следует проходить и мимо таких оригинальных подходов к решению таких задач.

Рассмотренный выше арифметический способ решения нашей задачи хорош еще и тем, что он не использовал информацию о том, что цифра десятков искомого числа на 2 больше цифры его единиц. Оказывается, что и без этого условия эту задачу можно решить. такие задачи, в которых есть "лишние" условия без которых можно обойтись так и называются задачами с лишними данными.

Поэтому рассмотренный нами арифметический способ решения без лишней траты времени ввести новое для учащихся понятие.

Отметим, что есть еще и второй арифметический способ решения этой задачи, который опирается на условие что "цифра десятков на 2 больше цифры его единиц". Исходя из этого условия составим таблицу возможных значений х и у (цифры десятков и цифры единиц).



Поверяя числа 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97 на выполнение условия "произведение числа и суммы его цифр равна 900" находим искомое число - 75.

На этом примере можно еще раз убедиться в том, что методическими возможностями арифметических способов решения текстовых задач не следует пренебрегать.

Среди многочисленных школьных математических задач особо выделяются сюжетные задачи. Их также называют текстовыми.

Выделяют два основных метода решения сюжетных задач - арифметический и алгебраический.

До 70-х годов прошлого столетия основным методом решения задач в курсе математики был арифметический метод. Однако позднее за счет алгебраизации курса математики начальной и неполной средней школы из программы было практически вытеснено изучение разнообразных арифметических приемов решения текстовых задач. Самым распространенным методом решения задач стал алгебраический.

Но еще тогда А.Н. Колмогоров предостерегал от чрезмерного увлечения алгебраическим методом.

Практика показала справедливость его предупреждения.В настоящее время еще раз возникла необходимость пересмотра содержания обучения математике (в частности, арифметике). В последние годы появилась методическая литература, в которой наметилась тенденция возвращения к арифметическим способам решения задач.

Мне не хотелось бы, что все пошло по замкнутому кругу. Каждый из методов решения текстовых задач имеет свои преимущества и свои недостатки. Поэтому в школьном курсе математики следует изучать оба метода.

Пример. Сумма двух чисел равна 38. Найти эти числа, если 2/3 первого числа равны 3/5 второго.

Решение 1.

Пусть первое число составляет 90 (90 делится на 2, на 3 дважды и на 5) частей. Тогда его 2/3 будут равны 60 частям. 60 : 3/5 = 100 - столько частей составляет второе число.

Сумма двух чисел равна 90 + 100 = 190 частей. Тогда первое число равно 38 : 190 * 90 = 18, а второе - 38 - 18 = 20.

Проверка. 2/3 от числа 18 равно 12, а 3/5 от числа 20 составляют тоже 12. Значит задача решена верно.

Решение 2.

Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда

Решив эту систему мы получим х = 18, а у = 20.

Конечно, эту задачу можно было бы решить при помощи только одного уравнения.

Однако мне не нравится, что в в приведенных выше решениях арифметический и алгебраический методы "разобщены".

Рассмотрим еще одно решение, в котором оба метода мирно сотрудничают (в отличии от их сторонников и противников).

Решение 3.

Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда , .

Значит, первое число составляет 9 частей, а второе - 10. Тогда на все число будет приходиться 9 + 10 = 18 частей. Поэтому первое число равно 38 : 19 * 9 = 18, а второе - 38 : 19 * 10 = 20.

Проверку я пропускаю, но она обязательный элемент решения.

Последнее решение мне нравится больше всех, так как здесь реализованы все методические преимущества обоих методов.

Отрывок из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова

Если помните, в рассказе А. П. Чехова «Репетитор» гимназист Егор Зиберов не сумел решить арифметическую задачу, а отец репетируемого им ученика, отставной губернский секретарь Удодов, довольно быстро, пощёлкав на счётах, получил правильный ответ. Не смогли бы вы также арифметически решить эту задачу? Вот она.

- “Купец купил 138 аршинов черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля? “ Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря начинает делить 540 на 138.

- Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Давайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.

“ Странно...-думает он, ероша волосы и краснея. - Как же она решается? Гм!... Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая...”
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
..............................................................................................................
-Это задача, собственно говоря алгебраическая,- говорит он. - Ее с иксом и игрэком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил... понимаете? Теперь вот надо вычесть... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте...

Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик 7 класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.

- И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.
- Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.

— Вот-с... по-нашему, по-неученому.

Как же это "по-неученому" решил эту задачу отставной губернский секретарь Удодов? Наверное, не при помощи уравнений или их систем, иначе это стало бы "по-ученому".

Наверное, сегодня мало кто это сможет сделать. Отставной губернский секретарь Удодов решал эту задачу чисто арифметическим методом. Вот как решали в те времена такие задачи.

Вот еще раз условие этой задачи.

Купец купил 138 аршинов черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?

Сначала узнаем, сколько заплатил бы купец, если бы купил все 138 аршин по 5 рублей: 138*5=690. На сколько это больше, чем он заплатил? 690-540=150.

Теперь один метр сукна по 5 рублей заменим на сукно по 3 рубля. Понятно, что затраты купца сократятся на 5 - 3 = 2 рубля. Теперь уже переплата станет 150 - 2 = 148 рублей.

Сколько же раз таких замен нужно сделать, чтобы ликвидировать переплату в 150 рублей?

Нетрудно посчитать число таких замен: 150 : 2 = 75.

Значит, в самом начале купцу надо было купить 75 метров сукна по 3 рубля и 138 - 75 = 63 метра по 5 рублей.

Вот такое простое решение. Возникает риторический вопрос: "Нужно ли учить таким методам решения задач современных школьников?". Нетрудно ответить - Да!

Чтобы закрепить в сознании читателей этой заметки рассмотренный выше арифметический метод решения этой задачи предлагаю продолжить другое (тоже арифметическое) решение этой задачи.

Сначала узнаем, сколько заплатил бы купец, если бы купил все 138 аршин по 3 рубля: 138 * 3 = 414. На сколько это меньше, чем он должен был заплатить? ...

И еще одна задача на прощание.

На дворе бегают куры и поросята, у всех вместе 20 голов и 52 ноги. Сколько всего кур и поросят?

Желаю удачи и не получить умственного переутомления!

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 12 - Центр окружности, описанной около четырехугольника
Часть 13 - Wolfram Alpha для браузера
Часть 14 - Задача из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова
Часть 15 - Рисунок-ключ к решению текстовой задачи
Часть 16 - Угол между двумя плоскостями. Задание 16(С2)
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по
крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой
пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение читайте эдесь.

Докажите, что а не может быть четвертой степенью натурального числа, если а - 5 делится на 9.

Решение. Допустим противное, т.е. что а = х⁴ и а - 5 = 9у, это значит, что уравнение

х⁴ = 9у + 5. (1)
имеет хотя бы одно решение в натуральных числах.

Как известно, любое натуральное число х можно представить в виде х = 9*p+r, где 0≤ r < 9, где r и p натуральные, тогда х⁴= (9p + r)⁴= 9S + r⁴. Подставляем это значение х⁴ в уравнение (1):

9S + r⁴ = 9y + 5. (2)

Из последнего равенства имеем r⁴ - 5 = 9*(у - S), это означает, что r⁴ - 5 делится без остатка на 9.

Осталось показать, что этого не может быть, а именно переберем все числа для r = 0, 1, 2 .... , 8. Убедитесь самостоятельно в том, что в каждом из этих случаев r⁴ - 5 не делится без остатка на 9.

Значит, число а - 5 не делится на 9 ни при каких натуральных значениях а.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁ = 3 : 2. Найти угол между плоскостями АBC и BED₁.

Решение. Пусть прямая D₁E пересекает прямую AD в точке K. Тогда плоскости ABC и BED₁ будут пересекаться по прямой KB.

Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) будет перпендикулярна прямой KB (теорема о трех перпендикулярах).

Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED₁.

Поскольку AE : EA₁ = 3 : 2, получаем: .

Из подобия треугольников А₁D₁E и AKE получаем: .

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A: АВ = 2, АК = 3, ; откуда высота
.

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем: и ∠ AHE = arctg(√13/2).

Ответ: arctg(√13/2).

Задания для самостоятельного решения

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB₁ = 2, AD = AA₁ = 1. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АВС₁.

2. В прямой шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все углы равны 1. НАйдите расстояние от точки В до плоскости DEA₁.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1, AA₁ = 2. Найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

Имеются 25 коробок, массой 13 кг каждая и 19 коробок, массой по 29 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть S – модуль разности суммарной массы коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S, если
a) дополнительно требуется, чтобы в контейнерах находилось одинаковое количество коробок.
б) без дополнительного условия п.а)

Решение. Пусть в первом контейнере находится x коробок массой 13 кг и y коробок массой 29 кг. Тогда во втором контейнере будет находится соответственно по 25 - x и по 19 - y коробок.

Поэтому модуль разности суммарной массы можно записать: S=|13x + 29y - ((25 - x)⋅13 + (19 - y)⋅29)| или S=2⋅|13x + 29y - 438|.

a) Условие равенства количества коробок выражается в виде равенства x + y = (25 - x) + (19 - y), 2x + 2y = 44, x + y = 22.

Тогда выражение для модуля разности суммарной массы коробок в контейнерах запишется S=2⋅|13x + 638 - 29x - 438|=16⋅|25 - 2x|.

Поскольку S ∈ Z, то минимальное значение выражения |25 - 2x| может быть сделано равным только единице, поэтому ответ на п.а) равен 16 .Этот результат достигается при x= 12 или x=13.

б) Минимальное значение выражения S=2⋅|13x + 29y - 438| равно 0. Чтобы узнать при каких значениях х и у это значение достигается нужно решить уравнение 13x + 29y = 438 в целых числах.

13x = 438 - 29y,
(1)

Так как х - целое число, то

9 - 3y = 13k, где k - целое число.

13k + 3y = 9,
(2)

В силу того, что у тоже целое число, то k = 3t.

Из (2) следует, что у = 3 - 4 ⋅ 3k + k, y = 3 - 13k.

Из (1) получаем, что x = 33 - 2(3 - 13k) + 13 ⋅ 3t = 27 + 29t.

Итак, x = 27 + 9t, у = 3 - 13k.

Так как 0 ≤ х ≤ 9, то 0 ≤ 27 + 29t ≤ 9, -27 ≤ 29t ≤ -2, 0 ≤ x 0.

Последнее неравенство не имеет решений в целых числах. Значит, уравнение 13x + 29y = 438 не имеет решений в целых числах, для х ∈ [0; 25]. Поэтому S не может принимать значение 0. Поскольку S четное число, наименьшее значение S может быть равно 2. Для этого найдет решение уравнения 13x + 29y - 438 = ±1.

Уравнение 13x + 29y = 438 + 1, 13x + 29y = 439 имеет решение х = 7 и у = 12 (решети самостоятельно по предыдущему образцу). Значит, разность масс контейнеров будет равна 2.

Ответ: а) 16, б) 2.

Задачи для самостоятельного решения

1. Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пунка a.

2.Имеется 17 коробок массой 37 кг и 25 коробок массой 61 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пункта a.

3.Имеется 27 коробок массой 17 кг и 19 коробок массой 61 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам.Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пункта a.

4.Имеется 25 коробок массой 31 кг и 15 коробок массой 51 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пункта a.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 5/(x + 1) = a|x - 4| имеет на промежутке [0;+∞) более двух корней.

Решение. Рассмотрим графическое решение этой задачи.

Вообще говоря, известно, что графиком функции y=5/(x+1) является гипербола. Однако нас интересует только ее правая ветвь, котороя расположена в области [0;+∞). При этом все значения функции y=5/(x+1) будут положительными.

График же функции у = a|x-4| стандартен. По условию, данное уравнение должно иметь не менее трех корней. Рассмотрим, при каком расположение графиков функций y=5/(x+1) и у = a|x - 4| на координатной плоскости это возможно.



Определим точку касания гиперболы y=5/(x+1) и графика модуля у = a|x-4| как это изображено на рисунке выше.
Прямая у = -ах + 4 будет касаться гиперболы у = 5/(x+1) только тогда, когда уравнение -а(х - 4) = 5/(x+1) имеет единственное решение. Рассмотрим решение этого уравнения.

-ах² + 4ах - ах + 4а = 5,
ах² - 3ах - ах - 4а + 5 = 0.

Последнее уравнение имеет единственное решение только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
D = 9a² + 4а(4a - 5) = 0,
25a² - 20a = 0,
a = 0 или а = 0,8.

При а = 0 уравнение -а(х - 4) = 5/(x+1) корней не имеет. а = 0,8 удовлетворяет нашему требованию (проверьте самостоятельно!). Случай а = 0,8 изображен на рисунке выше.

Правая ветвь модуля пересекает ветвь гиперболы всегда в одной точке. При a > 0,8 левая ветвь графика функции у = a|x-4| будет пересекать ветвь гиперболы в двух точках до тех пор, пока прямая у = -а(х - 4) будет пересекать ось ординат в точке ниже 5.

Прямая у = -а(х - 4) пересекает ось ординат при х = 0 и у = 4а. Значит, 4а < 5< a < 1,25.

Поэтому условию данной задачи удовлетворяют все значения а из промежутка (0,8; 1,25).

Ответ: (0,8; 1,25).

В заметке http://www.liveinternet.ru/users/kifar/post224214082/ (Область определения функции в Wolfram|Alpha) было подробно описано как находить область определения функции одной переменной на примерах решения тестовых заданий ЕНТ по математике на базе материалов 2012 года. Теперь настал черед рассмотреть вопрос об определении множества значений функции.

Как и в предыдущей статье мы обратимся к материалам тестов ЕНТ (аналог ЕГЭ в Казахстане) по математике 2010 - 2012 годов.

Для начала немного теории. Для отыскания множества значений функции Wolfram|Alpha использует запрос range, который имеет следующий формат:
 

range f(x)

где range так и переводится как множество значений или область значений; f(x) - конкретная функция, множество значений которой требуется вычислить.

Рассмотрим следующий пример по определению множества значений функции y = .

Как всегда для начала работы перейдем на главную страницу сервиса Wolfram|Alpha по адресу http://www.wolframalpha.com/ и введем запрос в виде range -x^2+8x-3 . На следующем рисунке указано как следует вводить наш запрос и получить на него ответ.

Для получения множества значений нашей функции в окне ввода запросов нажмем на заначек "=". Мы получим интересующий нас ответ

Кроме этого ответа среди результатов выполнения нашего запросы система Wolfram|Alpha изобразить множество значений нашей функции на числовой прямой, вычислит область определения нашей функции и построит график исследуемой функции в различных масштабах в декартовой системе координат.

Более полный вариант этой статьи с подробным разбором других примеров читайте здесь.

Как правило, на экзамене ЕНТ (аналог ЕГЭ в Казахстане) в каждом варианте содержится задание на вычисление области определения функции. Такие задания удобно решать при помощи сервиса Wolfram|Alpha.

Для вычисления области определения функции в Wolfram|Alpha есть правило (формат) запроса

domain f(x)
где domain буквально переводится как "область определения функции", а f(x) - это та функция, область определения которой вам необходимо вычислить. По такому формату запроса система Wolfram|Alpha выводит пользователю: область определения функции в терминах теории множеств, ее графическую иллюстрацию и схематическое изображение графика функции. Этого вполне достаточно, чтобы получить правильный ответ на соответствующее тестовое задание и сверить его с ответами для выбора.

Вот и вся небольшая теория по теме "область определения функции". А теперь перейдем к конкретной практике и рассмотрим несколько примеров на вычисление области определения функций при помощи системы Wolfram|Alpha. Отметим лишь, что все эти задания взяты мной из сборника для подготовки ЕГЭ по математике 2012 года без соответствующих пяти ответов для выбора правильного среди них.

1. Найдите область определения функции у = 1/(x² + x).

Сначала перейдем на главную страницу сервиса Wolfram|Alpha по адресу http://www.wolframalpha.com/ и введем запрос в виде domain 1/(x^2+x) . На следующем рисунке указано как следует вводить наш запрос и получить на него ответ.


После указания "получить ответ" (нажатия на кнопку "=") мы получить следующий искомый результат.


Понятно, что это простое задание можно было достаточно быстро решить устно, не прибегая к помощи Wolfram|Alpha. Его мы рассмотрели для того,чтобы объяснить технику работы по вычислению области определения и множества значений функции в системе Wolfram|Alpha.

Теперь рассмотрим решение более сложного задания.
2. Найдите область определения функции:.
"Переведем" это задание на язык понятный системе Wolfram|Alpha: domain 2+sqrt(sin(x/2)). Выполним процедуру получения ответа как и в предыдущем примере.

Этот ответ однозначно соответствует правильному ответу, который содержится в сборнике тестов, откуда был заимствован этот пример.
3. Найдите область определения функции: .

Как видно из рисунка система Wolfram|Alpha дала хотя и правильный,но не очень корректный ответ: х < -1 или 2х > 1. Это, как говорится издержки системы. Вообще, на Wolfram|Alpha надейся, но сам не плошай!

Вот пример, решение которого в системе Wolfram|Alpha никак не соответствует ответам из сборника тестов для подготовки к ЕНТ 2012 года.

4. Найдите область определения функции у =
Запись данной функции в системе Wolfram|Alpha имеет вид domain sqrt(sin(x)-sqrt(3)cos(x)). Полученное решение представлено на следующем рисунке.

Это решение не совпадает ни с одним из ответов для выбора правильного из них в соответствующем тестовом задании. Поэтому следует помнить, что система Wolfram|Alpha иногда дает и сбои.

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите область определения функции: у = .
2. Найдите область определения функции: у =
3. Найдите область определения функции:.
4. Найдите область определения функции: .
5. Найдите область определения функции: у = log₂(x + 6) + log₃(6 - x).
6. Найдите область определения функции: .

Набор математических формул в компьютерных текстовых редакторах всегда представляли, к сожалению, представляет определенные технические трудности. Существующие метотды вввода при помощи специального редактора LaTex или редактора формул в Word MS не самое лючшее решение этой проблемы.

Есть один весьма экзотический прием решения этой проблемы - сайт Wolfram|Alpha.com. Система Wolfram|Alpha в ответ на введенный код математического выражения, например, cube root (cos^4 x /( 5Log(10,x)) тут же генерирует соответствующую картинку - отображение этого выражения в обычном виде.





Эту картинку можно при помощи контекстного меню (щелкнуть по ней правой кнопкой мыши) сохранить к себе на компьютер или же сразу вставить, например, в текстовый документ Word.

Таким образом, процедура получается картинки с изображением ссответствующего математического выражения достаточно простая:

1. Ввести код математического выражения в Wolfram|Alpha
2. Скопировать полученную картинку на свой компьютер
3. Загрузить картинку со своего компьютера туда, куда вы хотите, например, вставить ее в текст.

Эта процедура, на мой взгляд, занимает немного меньше времени, чем пользоваться соотвествующими программными инструментами.

Точно также можно сохранять и любые результаты, которые выдает нам система Wolfram|Alpha. Например, мы хотим получить график функции y = x/sin(x). Для этого введем команду plot x/sin(x) и при помощи контекстного меню сохраним картинку с графиком этой функции.



Если кому-то мой метод показался хорошим и он собирается им пользоваться, то я не советую копировать адрес соответствующей картики и вставлять ее в блог, на сайт, рассылку и т. п. Думаю, что система Wolfram|Alpha не хранит вечно адреса однажды сгенерированных картинок. Поэтому через некоторое время вы может остаться без вашей картинки.

На сайте http://egeent.ucoz.ru я уже опубликовал несколько статей о применении системы Wolfram Alpha для подготовки к ЕНТ и ЕГЭ по математике. Уверен, что такие системы еще не нашили тех, кто их мог бы по достоинству оценить в качестве инструментов преподавания учебных дисциплин.

Теперь же я нашел плагины для встройки этой системы в практически любой браузер. Таким образом система Wolfram Alpha всегда у меня под рукой (в прямом и переносном смысле этого слова). Эти плагины можно найти по адресу http://www.wolframalpha.com/downloads.html?showall и буквально в один клик мыши установить на своем браузере. Коллекция плагинов и расширений Wolfram Alpha включает гаджет iGoogle и расширения для Firefox, Chrome, Safari, Internet Explorer и Opera.

После установки соответствующего плагина в правом верхнем углу браузера появляется кнопка соотвествующая логотипу системы Wolfram Alpha. После нажатия на нее появляется окно для ввода задания.

Теперь мне нетрудно посмотреть график любой функции типа cos(pi*x) / (-LN2*x), разложение многочлена 2x^5 - 19x^4 + 58x^3 - 67x^2 + 56x - 48 на множители, вычисление значения любого громоздкого арифметического выражения и т. п.

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 11 - Окружность описанная около трапеции
Часть 12 - Центр окружности, описанной около четырехугольника
Часть 13 - Wolfram Alpha для браузера
Часть 14 - Задача из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова
Часть 15 - Рисунок-ключ к решению текстовой задачи
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Нашел интересное решение (методом координат) следующей задачи из теста ЕГЭ 2011 года.

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пересекает его стороны в точках удаленных от вершины C на расстояние 6 и 8. Найти радиус окружности вписанной в данный угол и касающиеся окружности S.

Решение. Введем систему прямоугольных координат так, как это указано на рисунке. Пусть ВС = 8 и АС = 6. Тогда центр окружности S находится в точке О(3; 4). Радиус окружности S (половина отрезка АВ) равен 5.

Пусть окружность ω с центром О₁ вписана в данный угол и касается окружности S (Внешним или внутренним образом). Тогда точка О₁ лежит на биссектрисе угла С и имеет координаты О₁(а; a). При этом радиус окружности ω равен а.

Если окружности S и ω касаются внешним образом, то ОО₁ = 5 + а, ОО₁² = (5 + а)².

(3 - а)² + (4 - а)² = 25 + 10а + а²;
9 - 6a + a² + 16 - 8a + a² = 25 + 10а + а²;
a² - 24a = 0;
a(a - 24) = 0;
a = 24 или а = 0.

Ответ а = 0 нас не интересует.

В Казахстане некоторые деятели от образования стремятся внедрить в тесты ЕНТ так называемые логические задачи. Они считают, что эти задачи дадут возможность проверить логическое мышление будущих студентов.

Как всегда все начинается с благих намерений, а кончается ... . В этой статье рассмотрим решение одной из таких задач, а точнее одного из таких тестовых заданий с пятью ответами для выбора правильного среди них.

Вот это тестовое задание.

Завещание:

Если родится сын, ему достанется 2/3 всего состояния, жена получит 1/3 состояния;
Если родится дочь, ей достанется 1/3 всего состояния, жена получит 2/3 состояния;

Какую часть состояния получит жена,если родятся сын и дочь?

А) 3/4 B) 1/5 C) 2/7 D) 4/3 E) 4/7

Решение.

Среди ответов мне очень понравился ответ D). Согласно этого ответа жена получит 4/3 всего состояния, т. е. больше чем само состояние. Чудны дела твои господи ... !

Однако перейдем от шуток составителей этого задания к делу.

Из условия задания следует, что жена получает вдвое меньше чем сын и вдвое больше чем дочь. Значит, <доля сына>:<доля матери>:<доля дочери> = 4: 2 : 1. Поэтому в нашем случае жена получит 2 доли из 7, т. е. 2/7.

Ответ: 2/7.
Вот и вся задача на проверку логического мышления учащихся. Мне же эта задача напоминает задания из сборников логических упражнений "Решаем на досуге" типа "Математическая шкатулка", которые никакого отношения к школьному курсу математики не имеют.