При каких значениях параметра а уравнение х2 + 2(а - 1)х + а2 - 8а + 9 = 0 имеет два различных корня, меньших 1?
Эта задача относится к классу задач о расположении корней квадратного трехчлена с параметром относительно некоторого числа А. Возможны три случая: оба корня меньше А; один корень меньше А, а другой - больше А; оба корня больше А.
Для решения таких задач имеется три подхода. Первый подход опирается на специально разработанную теорию, которая содержит алгоритмы решения каждой из задач. Второй подход сводится к проблеме о определения знаков корней квадратного уравнения. Это делается при помощи подстановки х = t +A, в результате которой трехчлен относительно х переходит в трехчлен относительно t. Знаки корней нового уравнения очевидным образом определяют расположение корней квадратного уравнения относительно числа А. Третий подход основан только на той теории, которая изучается в общеобразовательной школе.
Решение I. Пусть х = t + 1. Тогда (t + 1)
2 + 2(а - 1)(t + 1) + а
2 - 8а + 9 = 0, t
2 + 2t + 1 + 2(a - 1)t + 2a - 2 + а
2 - 8а + 9 = 0, t
2 + 2at + а
2 - 6a + 8 = 0.
Так как корни уравнения х
1 и х
2 должны удовлетворять неравенствам х
1 = t
1 + 1< 1 и х
2 = t
2 + 1 < 1, t
1 < 0 и t
2 < 0. Поэтому наша задача может быть переформулирована так:
"При каких значениях параметра а уравнение t2 + 2аt + а2 - 6а + 8 = 0 имеет два отрицательных корня?"
Для этого необходимо и достаточно чтобы выполнялись неравенства: D > 0 (корни существуют), а
2 - 6а + 8 > 0 (оба корня одного знака), -2a < 0 (сумма корней отрицательна, значит они оба отрицательные).
D = а
2 - а
2 + 6a - 8 > 0, 6a > 8, a > 4/3.
а
2 - 6а + 8 > 0 ⇔ a ∈ (-∞; 2) ∪ (4; +∞).
-2a < 0, a > 0.
Значит, a ∈ (4/3; 2) ∪ (4; +∪).
Решение II. Теория о расположении корней квадратного трехчлена относительно некоторого числа (в нашем случае относительно числа 1) изложена в книге Г.В. Дорофеева "Квадратный трехчлен в задачах". Эту книгу можно прочитать по адресу http://lib.mexmat.ru/books/85823 или скачать тут: http://yadi.sk/d/HOUu5ZFc9Ctyh или http://www.mediafire.com/?hb256u403irue3t или http://ifolder.ru/21421132 . А если не удастся ее найти по указанным адресам, то наберите в строке поиска в ya.ru текст "скачать Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах" и вы обязательно скачаете или прочитаете эту книгу и, используя соответствующие формулы, решите нашу задачу..
Я считаю, что для решения нашей задачи, а значит, и всех аналогичных задач, не нужно знать особых подходов, достаточно владеть теорией решения квадратных уравнений излагаемой по программе общеобразовательной школы.
Решение III.
А это мое решение, которое не использует замысловатых теорий, основано на самых простых знаний школьного курса математики общеобразовательных классов.
Я бы еще предложил выяснить, при каких значениях параметра а уравнение х
2 + 2(а - 1)х + а
2 - 8а + 9 = 0 имеет два корня каждое из которых больше 1; один корень больше 1, а другой меньше 1 и оба корня принадлежат, например, промежутку (1; 4).
.
Многие тестовые задания ЕНТ по математике составлены так, что найти правильный ответ - дело пустяковое. Это можно сделать без особых затруднений. Например, подставь все ответы по очереди в данное уравнение или систему уравнений и за 1-2 минуты правильный ответ обязательно будет найден. Такие задачи даже решать не хочется, методы их решения, а точнее подбора правильного ответа очевидны.
найдите х + 2у.
.
, где (х; у) - решение системы: 
.
В этом сообщении хотел бы рассказать о одном красивом решении тестового задания ЕНТ. В сборниках для подготовки к ЕНТ, к сожалению, очень мало таких красивых задач.Такие задачи, а если быть точнее, тестовые задания с несколькими ответами для выбора одного правильного среди них позволяют развивать интуицию и исследовательские навыки учащихся. Как говорится, на безрыбье и рак рыба. Педагогический брак иногда можно превратить в его противоположность.
. Найдите х1 + х2.
. Как известно, решениями такой системы являются пары числе (х1; х2) и (х2; х1), где х1 и х2 решения квадратного уравнения t2 - 20t + 36 =0.
