Дурак думками богат

Как известно, каждое тестовое задание ЕНТ по математике нужно решить за 1-2 минуты - это среднее расчетное время отводимое на выполнение одного задания. Из года в год составителей тестов ЕНТ по математике критикуют за то, что учащимся предлагаются задания, которые практически невозможно выполнить за это время. Однако воз и поныне там. Учителя шумят, а их никто не слушает. И так происходит ежегодно. Начальство послушает, согласится, клятвенно пообещает исправить и ... круговорот повторяется.

Таково общее положение вещей. У меня нет вообще никакого желания общаться с руководителями образования, так как все их призывы активно участвовать в обсуждении вопросов по улучшению организации образования всего навсего циничная демагогия.

Как быть в том случае, когда в тест ЕНт включаются задания, которые нельзя выполнить за 1-2 минуты? Одна из лазеек - осуществление верификации ответов.

Рассмотри следующий пример тестового задания, которое не следовало бы включать в вариант ЕНТ, так как даже средний ученик не сможет его выполнить за 1-2 минуты.



Проверим ответы последовательно на выполнение условие тестового задания.

5 ⋅ 3 = 15 - четыре ученика останутся без места; 6 ⋅ 3 = 18 - одни ученик останется без места. Ответ неверный.
5 ⋅ 4 = 20 - четыре ученика останутся без места; 6 ⋅ 4 = 24 - свободных мест не будет. Ответ неверный.
5 ⋅ 5 = 25 - четыре ученика останутся без места; 6 ⋅ 5 = 30 - одно место будет свободным. Ответ неверный.
5 ⋅ 6 = 30 - четыре ученика останутся без места; 6 ⋅ 6 = 36 - два места будут свободными. Ответ верный.

Пришлось выполнить четыре проверки. Однако эти проверки можно выполнить за 1-2 минуты.

Вот еще одно задание, которое предлагаю выполнить читателям самостоятельно.

Немного воображения и ответ найден

Найти решения тестовых заданий ЕНТ по математике иногда помогают простые наглядные представления о возможном расположении элементов искомых геометрических фигур. Такие представления помогают решать очень быстро и порой без вспомогательных вычислений. Все это помогает выполнить тестовое задание за вполне приемлемое время - 1-1,5 минут.




Нетрудно вообразить, что векторов перпендикулярных данному вектору и равных ему по длине на плоскости будет ровно два. Значит, правильные ответы В) или D). Ответ D) содержит вектор не равный по длине данному вектору. Значит, правильный ответ В).

Третий сорт - не брак

Читая последний сборник для подготовки к очередному ЕНТ по математике не перестаю удивляться тому, как много в этом опусе педагогического брака, свидетельствующего о том, какая низкая квалификация у ее составителей.

Все бы ничего. Много у нас еще выпускается, да и выпускалось и, наверное, будет выпускаться педагогический мусор, но этот сборник является лицом нашего государства. От его качества зависит то, как другие станут оценивать уровень образования в нашей стране.

Мне стыдно за свое государство, руководители которого говорят пышные фразы о том, как они заботятся об образовании подрастающего поколения и доказывают правдивость своих речений подобными вещами как содержание ЕНТ.

Приведу очередной пример.

Решите неравенство log_2x+1(5 -2x) < 1.

A) (-1; 0)        B) (2,5; +∞)       C) (-1,5; 2,5)        D) (-∞; 2,5)        E) (0; 1)

Ответы В) и D) следует сразу же отбросить, так как при достаточно больших х выражение 5 - 2х станет отрицательным, а при очень малых значениях х основание логарифма будет отрицательным.

При х = -0,5 (-0,5 входит в ответы А) и С))основание логарифма примет значение 1. Что также недопустимо. Остается единственный ответ Е).

При выполнении этого задания тестируемому приходится хоть что-то делать (выполнять подстановку значений переменной в данное выражение, вспоминать определение и свойства логарифма и т. п.). Но ведь есть в сборнике и такие задания, которые решаются буквально одним взглядом.


Правильный ответ Е). Остальные ответы не могут быть правильными, так как содержат отрицательные значения для переменной х. При отрицательном х данное неравенство не имеет смысла.

Вот таков он, уровень выпускника средней школы Казахстана.

Лап-табу-дибу-ду-дааай ответ на тест ЕНТ

Всем известно, что как не совершенствуй паровоз, а его коэффициент полезного действия не превышает 14-15 %. Так и с тестами с несколькими ответами для выбора одного из них в качестве правильного. Как их не совершенствуй, все равно будут дырки для быстрого выбора правильного ответа среди предложенных.

Казалось бы прекрасно следующее тестовое задание.

Известно, что 3а² = 2b³. Число а увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилось число b.

А) 64        B) √4        C) 4        D) 16        E)

Все хорошо, есть исследование, вызывает интерес, увлекает и т. п. Но есть только одна Ахиллесова пята, которая сводит на нет все достоинства этого упражнения - ответы. Действительно, наличие ответов подсказывает, что только один серди них правильный. Да и он не зависит от значений а и b. Поэтому зададим, например, сначала а = 1 и подсчитаем b. Затем положим а = 2 (то есть увеличим а в два раз) и вычислим соответствующее значение b. первоначальное значение b разделим на его второе значение и получим искомый ответ.

Вот реализация этого плана.
а = 1: 3 = 2b³, b³ = 1,5; b =
a = 2 (a увеличим а в два раз): 12 = 2b³, b³ = 1,5; b = .

: = .

Вот и столь не долгожданный ответ. Наличие независящих от параметров а и b навело нас на мысль, что искомый ответ от этих параметров не зависит. А дальше дело техники.

Вот еще один шедевр того же типа для самостоятельного решения.


Если 0 < a < 1 и b > 1, то какое из перечисленных чисел самое маленькое

А) а + b        B) a : b        C) a        D) b        E) ab

Трактовка термина "Проценты" в методической литературе

Как известно, понятие процента связывается с коммерческими расчетами. В старом учебнике (А. Малинин и К. Буренин. Арифметика. 1895) пишется, что "Если кто-нибудь занимает деньги, то он платит за это лицу, которое дало эти деньги, определенное количество рублей со 100; эта плата показывает количество или таксу процентов (pro ctntum - на сто)".

В этой же книге пишется, что "слово "процент" употребляется не только при денежных расчетах, но и вообще для для выражения прибыли или убыли на каждую сотню каких-либо предметов". "из предыдущего следует, что один процент с какого-нибудь числа есть сотая часть этого числа".

Таким образом, сотая часть какого- либо числа называется одним процентом. Это одна из трактовок понятия процент. По этой трактовке отвлеченные числа нельзя выражать в процентах. Так надо говорить 10% от 100 000 рублей, или 13% всего поля и т. п. Однако просто число 45% не имеет смысла.

Но имеется и другая трактовка: сотая часть или один процент - это дробь 1/100 или 0,01. Это определение отождествляет понятие процента и дроби со знаменателем 100. По этой трактовке проценты - это не что иноке, как сотые доли, лишь особым образом записанные: 65% то же самое, что 0,65 или 65/100. Согласно этой трактовки не лишены смысла предложения типа "10% от 100 000 рублей" и "13% всего поля" и просто числа 17%, 11%, 300%.

Вторая трактовка понятия процент более широкая, она включает в себя и первую трактовку этого понятия. Современные школьные учебники придерживаются второго определения понятия процент.

В связи с этим все задачи из школьных учебников о процентах следует разделить на две группы: задачи связанные с отвлеченной трактовкой понятия процент и задачи связанные с вычислением процентов от некоторых величин. Но это уже не тема этого поста.

В предыдущем сообщении http://www.liveinternet.ru/users/kifar/post260769357/ я привел примеры двух тестовых заданий, которые можно предложить только дебилам, но не нормальным ученикам. В этом сообщении хочу проанализировать решения еще нескольких тестовых перлов отечественной математической и педагогической мысли, а точнее недомыслия.

Итак, как в фильме "Любовь и голуби" фигура первая и тоже лирическая, без всякой математики.

Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если основание меньше боковой стороны на 3 м.

А) 3,2 м; 3,2 м; 6,2 м;           B) 3,2 м; 7,2 м; 5,2 м;          С) 5,2 м; 5,2 м; 5,2 м;           D) 4,2 м; 4,2 м; 7,2 м;           E) 6,2 м; 6,2 м; 3,2 м;          

Не просто тестовое задание, а шедевр методической глупости. Из ответов мне больше всего мне понравился тот, который имеет номер Е). только в нем указан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 6,2 м и с основанием 3,2 м. При этом основание меньше боковой стороны ровно на 3 м. Значит, все остальные ответы неверны. Верен ответ Е). Ппоследнее предложение, конечно, эксклюзивно для "вумных" составителей этого тестового задания.

Теперь Фигура вторая — печальная, математики в которой самая малость.

Решите систему неравенств

А) (0,75; +∞)           B) (3-; 1,5);          С) (2; 5);           D) (1; - 3)            E) (-1; 0,25)          

Я сознательно не стал исправлять ошибку в ответе D) (1; - 3) на (-1; 1). Таких моментов в сборнике много. Наверное, не кому было прочитать его и исправить эти ошибки.

А где же та самая малость математики? Конечно, в ответах! Ответ А) говорит, что очень большие положительные числа являются решениями данной системы неравенств. И это действительно так. Значит только ответ А) будет единственно правильным и другого правильного ответа нет.

Вот и вся малость математики. А то, что хотели составители этого тестового задания (чтобы я решал квадратное неравенство, находил пересечение двух числовых множеств и т. п.) я оставлю им самим. Пусть так они и решают. А я умный, который в их гору не пойдет, е ее обойдет! А если серьезно, то это задание является очередным методическим браком. Конечно, я мог бы исправить эту педагогическую ошибку, но не стану этого делать. Такие задания в мою педагогическую бытность выполняли только студенты на семинарах по методике преподавания математики.

На этом завершу свой анализ педагогического безобразия. Но продолжение обязательно будет.

Купил очередной сборник тестов для подготовки к ЕНТ (Казахстан). Решил полистать, есть ли что-нибудь нового в этом году. И нашел такое, что привело меня в состояние истерического хохота. Невольно вспомнил выражение "Веселись, страна дураков, и не о чем не думай!" из произведения братьев Стругацких.

Действительно, кто только не критиковал систему аттестации ЕНТ в Казахстане. Отрицательно отзывались учителя, методисты, ученные, журналисты, депутаты парламента, а воз и поныне все там же (в болоте педагогического невежества) в течение более 20 лет. Не буду голословным приведу пример тестового задания для выпускника средней школы, который, конечно же, собирается стать представителем элиты нашей страны.

Значение выражения 541 ⋅ 1 + 459 : 1 равно

А) 542         В) 1000        С) 459         D) 990        Е) 460


Не знаю как у Вас, а меня создалось впечатление, что выпускникам средних школ Казахстана, которым предлагаются такие задания место не в рядах интеллектуальной элиты, а в другом месте. Кого же мы хотим видеть в выпускнике средней школы?

А вот еще один шедевр из этого же сборника.

Если треугольник прямоугольный, то градусная мера одного из его углов равна

А) 100^о         В) 98^о        С) 91^о         D) 90^о         Е) 101^о


Что это такое? Да весьма просто - конечная цель обучения школьников. Не подумайте, что младших школьников, а выпускников средних школ, то есть 16-17 летних юношей и девушек.

Вот и делайте после этого сами вывод о том, куда катится уровень образования в Казахстане.

В открытом банке заданий ЕГЭ по математике есть два типа упражнений на тему "Конференции".

Задача 1. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

Получается, что в первые три дня будет прочитано 17 ⋅ 3 = 51 докладов. Тогда на последние два дня останется 75 - 51 = 24 доклада, по 24 : 2 = 12 докладов в день.

Профессор М. мог попасть в любой из 75 докладов равновероятно. В последний день запланировано 12 докладов, т.е. вероятность, что профессор М. будет выступать в последний день равна 12/75 = 0,16.

Проверка:
Вероятность того, что профессор М. будет выступать в первый день равна 17/75;
во второй день - 17/75;
в третий день - 17/75;
в четвертый день - 0,16;
в пятый день - 0,16.

Найдем сумму 17/75 + 17/75 + 17/75 + 0,16 + 0,16 = 17/25 + 0,32 = 0,68 + 0,32 = 1. Задача решена верно, так как суммарная вероятность должна быть равна единице.

Ответ: 0,16.

Задача 2. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Решение 1.

Любой из выступающих может оказаться первым, вторым, третьим, четвертым, пятым, шестым, седьмым, восьмым, девятым или десятым. Всего десять вариантов (по количеству выступающих). Событие "Восьмым окажется доклад ученого из России" наступает в трех случая (число ученных из Росси).

Следовательно, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Задачи для самостоятельного решения

1. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 80 докладов – первые два дня по 25 докладов, остальные в последний день конференции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланирован на последний день?

2. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов – первые три дня по 15 докладов, остальные в последний день конференции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланирован на последний день?

3. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 80 докладов – первые два дня по 35 докладов, остальные в последний день конференции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланирован на последний день?

4. На семинар приехали 4 ученых из Венгрии, 5 из Италии и 11 из Германии. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последним окажется доклад ученого из Германии.

5. На семинар приехали 5 ученых из Канады, 7 из Великобритании и 8 из США. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последним окажется доклад ученого из Великобритании.

6.На семинар приехали 13 ученых из Сингапура, 8 из Таиланда и 9 из Малайзии. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последним окажется доклад ученого из Малайзии.

N.B. При решении задачи о выборе бракованных предметов я рассказывал как в Интернете можно можно найти аналогичные задания (возможно и с решениями), рассмотренным ранее. Покажу еще один путь реализации этого поиска:

Шаг 1. Заходим на сайт http://mathege.ru - это открытый банк заданий ЕГЭ по математике.

Шаг 2. Во вкладке "Каталог по заданиям" (http://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=Pos) выбираем нужный вам тип упражнения.

Вот две задачи на эту тему, встречающиеся на ЕГЭ.

Задача 1. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Решение.

Из 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Значит событию "На экзамене школьнику достанется билет с вопросом по ботанике"благоприятствуют 11 исходов из 55.

Следовательно, 11/55 = 0,2 - вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Ответ: 0.2.

Задача 2. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение 1.

В 25 - 10 = 15. не встречается вопроса по неравенствам. Следовательно, 15/25 = 0,6 - вероятность события "На экзамене школьнику не достанется билета с вопросом по неравенствам".

Ответ: 0,6.

Решение 2.

Пусть А событие "На экзамене школьнику не достанется билета с вопросом по неравенствам", Тогда Ā - событие "На экзамене школьнику достанется билет с вопросом по неравенствам" - противоположное событию А.

Событию Ā благоприятствую 10 случаев из 25, следовательно, P(Ā) = 10/25 = 0,4. Так как P(A) + P(Ā) = 1, то P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - 0,4 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Задачи для самостоятельного решения

1. В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 20 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам.

2. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 20 из них встречается вопрос по рекам и озерам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по рекам и озерам.

3. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 9 из них встречается вопрос по круглым червям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по круглым червям.

4. В сборнике билетов по истории всего 40 билетов, в 16 из них встречается вопрос по смутному времени. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по смутному времени.

5. В сборнике билетов по обществознанию всего 30 билетов, в 15 из них встречается вопрос по праву. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по праву.

6. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос о грибах.

Рассмотрим самую простую, на мой взгляд, задачу по теории вероятностей, предлагавшуюся на экзамене ЕГЭ.

Задача 1. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 10 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение.

Из каждой партии в 2000 насосов не протекающими будут 2000 – 10 = 1990 насосов. Если А - событие "Случайно выбранный для контроля насос не подтекает", то благоприятствующими для положительно исхода этого события будут 1990 из 2000 исходов.

Следовательно, P(A) = 1990/2000 = 0.995.

Ответ: 0.995.

А вот еще одна задача, решение которой практически ничем не отличается от решения предыдущей задачи. С этой задачей легко и просто справилось абсолютное большинство экзаменующихся на ЕГЭ.

Задача 2. В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу, 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение.

Из каждых 50 аккумуляторов качественных аккумуляторов 50 – 7 = 43. следовательно, если А - событие "Один купленный аккумулятор оказался исправным", то P(A) = 47/50 = 0.94.

Ответ: 0.94.

А вот задача, похожая на предыдущую только по внешним факторам, но не по существу. Эта задача вызвала у многих абитуриентов существенные затруднения и многие с ней не справились.

Задача 3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

Как известно из условия на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Значит, из 100 + 8 = 108 сумок качественными окажутся 100 сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна, следовательно, P(A) = 100/108 = 0.92595 ≈ 0.93.

Ответ: 0.93.

Задачи для самостоятельного решения

1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

2. В среднем из 1100 садовых насосов, поступивших в продажу, 11 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

3. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 15 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

4. В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу, 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

5. В среднем из 200 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

6. В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится семнадцать сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

8. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

9.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

N.B. На мой взгляд, я привел достаточно много примеров для самостоятельного решения. Однако если кому-то покажется, что их количество для него недостаточно, то советую в окне любого поисковика набрать условие любой из приведенных выше задач и нажать на клавишу "Искать". В результате Вы получите огромное количество задач, фабула которых совпадает с набранной.

Дан треугольник ABC со сторонами АВ = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне ВС взята точка М, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника АМВ.

Как правило, после чтения условия задачи следует внимательно проанализировать его. Для этого многие механически читают условие задачи по нескольку раз или пытаются пересказать его своими словами. Конечно же этакие деяния никоим образом не приведут к пониманию о чет говорится в условии задачи и что требуется найти. Как осуществлять правильный изучение условия задачи вообще покажу на примере этого конкретного тестового задания типа С4.

Числа 34, 65 и 93 - стороны данного треугольника. А существует ли такой треугольник? Сначала (см. рисунок ниже) построим отрезок ВС длиной 93 (это самая большая сторона треугольника), а затем две окружности с центрами в точках В и С и радиусами 34 и 65 соответственно. Эти окружности будут пересекаться в точке А, лежащей не на отрезке ВС, так как 34 + 65 > 93. Значит искомый треугольник существует.

Конечно, эти построения выполнять в реалии не стоит, но провести такие мыслительные эксперименты весьма полезны для понимания условия задачи.

Как узнать где находится точка М? Да весьма просто - построить окружность с центром в точке А и радиусом 20 (20 - длина АМ). Если эта окружность не пересечется с прямой ВС, то такой точки М на ВС нет и задача не имеет решения. Если эта окружность только коснется прямой ВС, то задача имеет единственное решение и если окружность пересечет ВС в двух точках, то надо искать два решения нашей задачи.

Если радиус окружности будет достаточно большим, то весь отрезок ВС будет лежать внутри соответствующего круга и наша задача не будет иметь решений.

Таким образом, количество решений задачи зависит от расстояния от точки А до прямой ВС, т. е. от высоты АН треугольник АВС.

После такого анализа условия задачи легко получить следующее решений этой задачи.

Решение I.

Точка М может распологать левее высоты АН и правее этой высота, то есть иметь два

положения М₁ и М₂ (если только М не совпадает с Н и АМ > АН).
Поэтому сначала вычислим длину высоты АН треугольника АВС.



S_ΔАВС = , где р, а, b, с - полупериметр и стороны треугольника АВС соответственно

(формула Герона). р = 0,5(34 + 65 + 93) = 96, S_ΔАВС = = 744.

Площадь треугольника АВС можно вычислить по формуле S_ΔАВС = 0,5ВС ⋅ АН. Откуда АН = 2S_ΔАВС/BC = 2 ⋅ 744/93 = 16. Так как АМ = 20, то АМ > АН и точка М имеет два различных расположения на чертеже. При этом ВН =
= 30.

Для вычисления площади треугольника АМВ (АМ₁В и АМ₂В) найдем ВМ₁ и ВМ₂.

М₁Н =
= 12, ВМ₁ = ВН - М₁ = 30 - 12 = 18. S_ΔАМ1В = 0,5BМ₁⋅AH = 144.

Так как М₂Н = М₁Н = 12, то ВМ₂ = 30 + 12 = 42. S_ΔАМ2В = 0,5BМ₂⋅AH = 336.

Ответ: 144 или 336.



При решении этой задачи очень легко упустить из виду тот момент, что точка М может лежать как правее, так и левее точки Н. Такое возможно, например, если на осуществлять серьезного и вдумчивого анализа условия задачи.

Однако есть такой метод решения этой задачи, который обязательно приведет к тому, что у точки М есть два возможных расположения на чертеже. Этот метод называется координатным методом.

Решение II.

Введем систему прямоугольных координат так, как это сделано на следующем рисунке.
Очевидно, что точка С имеет координаты (93; 0). Координаты точки А(x; y) найдем из решения системы





1156 - 186x + 8649 = 4225,
-182x = -5580,
x = 30.

Так как х² + y² = 1156, то y² = 1156 - 900, y² = 256, y₁ = 16, ₂ = -16. Так как точка А лежит в первой четверти, то y = 16. Значит, точка А имеет координаты (30; 16). При этом 16 - высота треугольника АВС.

Так как АМ = 20, то точка М лежит на окружности с центром в точке А и радиусом 20 и на прямой ВС (y = 0). Поэтому координаты точки М являются решением систему уравнений

(х - 30)² + 256 = 400, (х - 30)² = 144, х - 30 = -12 или х - 30 = 12.
х = 18 или х = 42. Значит точка М имеет координаты (18; 0) или (42; 0).

У треугольника АМВ высота равна 16, а основание может быть 18 или 42. Значит площадь треугольника АМВ равна 0,5⋅18⋅16 = 144 или 0,5⋅42⋅16 = 336.

Ответ: 144 или 336.

Ценность второго решения состоит в том, что мы на задумывались о том, что точка М может иметь два расположения. За нас "думали" уравнения.

Не следует думать, что это все возможные решения нашей задачи. Рассмотрим еще одно решений, если быть точнее только его план.>
Решение III.

Рассмотрим треугольник АМВ.

Сначала вычислим величину угла В из треугольника АВС по теореме косинусов.

Затем применим теорему косинусов для стороны АМ треугольника АМВ. АМ₂Н = ... .

Из полученного квадратного уравнения относительно АМ найдем два значения АМ.

Зная cos∠В вычислим sin∠B.

Площадь треугольника АМВ найдем по формуле S = 0,5АВ⋅АМbsin∠B.

Реализовать на практике план этого решения предоставляю читателям самостоятельно.


Задача для самостоятельного решения

Дан треугольник ABC со сторонами АВ = 17, AC = 25 и BC = 28. На стороне ВС взята точка М, причём AM = . Найдите площадь треугольника АМВ.