В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁ = 3 : 2. Найти угол между плоскостями АBC и BED₁.

Решение. Пусть прямая D₁E пересекает прямую AD в точке K. Тогда плоскости ABC и BED₁ будут пересекаться по прямой KB.

Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) будет перпендикулярна прямой KB (теорема о трех перпендикулярах).

Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED₁.

Поскольку AE : EA₁ = 3 : 2, получаем: .

Из подобия треугольников А₁D₁E и AKE получаем: .

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A: АВ = 2, АК = 3, ; откуда высота
.

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем: и ∠ AHE = arctg(√13/2).

Ответ: arctg(√13/2).

Задания для самостоятельного решения

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB₁ = 2, AD = AA₁ = 1. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АВС₁.

2. В прямой шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все углы равны 1. НАйдите расстояние от точки В до плоскости DEA₁.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1, AA₁ = 2. Найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.