Идеальные магические квадраты (ИМК) - это наиболее сложные математические головоломки. В таких квадратах магические суммы наблюдаются по всем ломаным диагоналям, а сами МК являются ассоциативными.
Георгий Александров оказался первым, кто разработал общие схемы построения ИМК любого допустимого порядка n. Это удалось сделать благодаря открытию им трех числовых последовательностей, названных Цепями Александрова. Они обозначаются: ЦА-1, ЦА-2, ЦА-3.
Зная цепи Александрова, легко составить два латинских квадрата i и j, объединив которые по формуле n*(i-1)+j, получим ИМК. Оказалось, что идеальный магический квадрат построить легче, чем обычный магический квадрат!
Ниже приведу схемы и таблицы.
Если порядок n - нечетное число, кратное трем, то цепь Александрова строится так:



Ряд Р начинается всегда с чисел 3, 6, 2. Потом идут шесть чисел: 5,7,4,8,12,9. Далее - к последним шести числам в том же порядке прибавляется 6. Схема такая:




Последние две строки этой таблицы относятся только к латинскому квадрату (порядок n = 15+30k - это особый случай).

Вот два примера:




Строим латинские квадраты:







Объединение этих двух латинских квадратов по указанной выше формуле дает идеальный магический квадрат 21х21:




Проверим лиловую ячейку. Имеем: i=17, j=15. Тогда 21*(17-1)+15 = 351.


Особую группу составляют ИМК порядка n=15+30k. Их латинские квадраты рассмотрим на примере n=15 :





Идеальный магический квадрат 15х15:






Пусть n = 8. Строим два латинских квадрата:







Идеальный магический квадрат 8х8 :







Построим латинские квадраты для n = 12 :







Идеальный магический квадрат 12х12 :




Для нечетных n , но не кратных трем, латинские квадраты самые простые:







Идеальный магический квадрат 7х7 такой:





Пусть читатель меня простит за столь насыщенную статью. Но такой результат получен впервые за 4500 лет существования магических квадратов. А это, согласитесь, знаковое событие! Подробно с работами Александрова можно ознакомиться в Википедии (статья "Магический квадрат")

29 июля 2008 г.

Теорема Пифагора это: X^2 + Y^2 = Z^2. Известны все решения знаменитого уравнения в целых числах.
Но данная теорема - лишь частный случай диафантова (то есть целочисленного) уравнения X^2 + Y^2 = Z^n , где n = 1, 2, 3, 4, ...
Для того, чтобы найти все решения последней зависимости, был придуман видоизмененный треугольник Паскаля.
С точки зрения алгебры, получается результат в виде бинома (u-v*i)^n, где i - комплексное число. В параметр X входят слагаемые без i , параметр Y составлен только из комплексных слагаемых, но знак i не учитывается.
Наука движется вперед, в болоте тонут заблужденья.

Дьявольский магический квадрат (ДМК) - это такой магический квадрат, у которого сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, в каждой ломаной диагонали (в том числе и в главных) равна магической константе. Для минимально возможного дьявольского квадрата 4х4 эта канстанта равна 34. Самый простой способ построения двух ДМК осуществляется графическим способом, как показано на приведенных ниже рисунках. Наверняка такой подход можно распространить и на более высокие порядки магических квадратов. Столь удивительное наблюдение принадлежит одному из представителей клуба однофамильцев Г.Александрову.

Леонард Эйлер предложил и частично решил целочисленное уравнение, которое показано на рисунке. Позже частные результаты получили такие выдающиеся математики, как Рамануджан, Д.Лемер, В.Б.Лабковский, Л.Морделл. Лишь два года назад Г.Александрову удалось найти почти общую формулу, генерирующую около 74 процентов от практически всех решений. Четыре алгебраические связи также приведены на рисунке.
Ура, господа!
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

При строительстве морских причалов, молов, волноломов, опор маяков и так далее часто применяют огромные бетонные блоки весом до 300 тонн. Это на несколько порядков выше, чем такие же по форме элементы, входящие в состав знаменитых египетских пирамид. Основная сложность при проектировании упомянутых морских сооружений являются: обеспечение достаточных перекрытий швов между блоками (в противном случае конструкция просто развалится от ударов волн), минимально возможное число типов блоков и, наконец, минимально возможный разброс весов. Последнее означает - нельзя, чтобы в одном сооружении были блоки весом, например, 100 тонн и 20 тонн. Это доказала практика многолетней эксплуатации. Совсем недавно был сделан прорыв в оптимальную область. В институте "Союзморниипроект" разработана теория построения кладок всего из двух видов блоков одинакового веса. При этом требования по перекрытиям швов выполнены в полном соответствии со Строительными Нормами и Правилами. Ниже приведены два из нескольких десятков структур в плане. Плановые размеры секции и отдельных блоков выражены целыми числами, что позволяет для практических нужд находить тысячи реальных решений. Точно так же как из известного пифагорова соотношения 3:4:5 (для прямоуголного треугольника) можно составить тысячи конкретных решений, например, 2,43 : 3,24 : 4,05 м.
Магичность этих кладок заключается в том, что в первом случае плановые площади блоков 12 х 28 и 16 х 21 равны. Во втором варианте равны площади 12 х 20 и 16 х 15 .
***
***

Эту удивительную фотографию я нашел несколько лет назад, когда "прогуливался" по страницам интернета. Просто скопировал на всякий случай и забыл о ней. Но вот на днях обнаружил в одной из папок и стал изучать. Оказалось, что это - магический квадрат 9х9, но обладающий необычайно интересными свойствами. Во-первых, магическое число 369 получается не только при суммировании чисел в каждом столбце, каждой строке и каждой главной диагонали, но и по ломаным диагоналям. Иными словами, если данную матрицу копировать по всем сторонам, образуя бесконечный ковер чисел, то в каком бы месте мы ни вырезали элемент 9х9, он обязательно окажется магическим квадратом! Но этого мало. Если внимательно посмотреть на фотографию, то можно заметить, что любые два центрально противолежащих числа дают одну и ту же сумму 82(!).
В настоящем искусстве обязательно присутствует элемент высокой науки.

Снежинка - это не просто чудо природы. Это и объект серьезных научных исследований в области топологии и геометрии.

На выставке в Александрии ученые продемонстрировали несколько работ, связанных с различными квантовыми состояниями «квантовых кораллов». Так, например, еще раньше круговой квантовый коралл был создан «вручную» из 48 атомов железа. СТМ-изображения круговых колец внутри коралла хорошо отобразили состояния электронов, захваченных внутри. Новым словом в квантовых кораллах было моделирование с их помощью квантового хаоса. Это достижение само по себе можно охарактеризовать не только как достижение квантовой физики, но и как новое слово в искусстве, благодаря фантастическим изображениям квантовых кораллов. Доном Эйглером и его коллегами был создан квантовый коралл в виде «стадиона», в котором ученые смогли обнаружить специфические для квантового хаоса конфигурации электронных состояний, известные как «рубцы» (scarring).

Как говорят ученые, изучение и создание этих квантовых систем и их вариаций позволит значительно приблизиться к молекулярным компьютерам и устройствам на их основе. Следующим шагом ученых будет создание более сложных квантовых кораллов.

Вундеркинды - большая ценность для общества. Именно такие люди помогают обществу осуществлять прорыв в науке и искусстве. Нестандартно мысля, они способны почувствовать и сформулировать нечто, недоступное обычному разуму, возможно, потому, что они свободны от социального давления, от общепринятых прописных истин.

Не иначе как вундеркиндом можно назвать десятилетнего Андрея Хлопина из Краснодарского края, который объяснил происхождение так называемых "серебристых облаков", которые светятся по ночам. Этот феномен был загадкой для ученых 150 лет.
Мальчик догадался, что на большой высоте вся влага превращается в ледяные кристаллы. Они-то и отражают свет. За эту научную гипотезу школьника занесли в Книгу рекордов Гиннесса.

Художник Эшер писал строго научные картины. Наиболее яркий пример - "Галерея". Для того, чтобы создать этот шедевр, ему пришлось применить специальную сетку. Совершенно удивительно, как Эшер — окончив лишь среднюю школу и не имея ни малейшего представления о конформных отображениях — мог рисовать такие вещи.

Знаменитую таблицу Д.И.Менделеева можно назвать высочайшим произведением искусства, в котором сконцентированы тысячи томов научных книг сотен стран. Нечто похожее наблюдается в графической работе Г.Александрова "Идеал". В этом произведении заложен метод получения идеальных магических квадратов любого допустимого порядка. То, что не удалось сделать в 18 веке Л.Эйлеру, стало по плечу нашим современникам. (ссылки: http://gromov7043.narod.ru/chain_aleks.html и http://renuar911.narod.ru/IdealVS.jpg ).