С6. Решите уравнение 3^m + 4ⁿ = 5^k в натуральных числах.

Решение.

Решение. Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т.е. 1. Поэтому k четное число (5 при делении на 3 дает остаток 2, 25 - остаток 1, 125 - остаток 2 и т. д.). Поэтому k = 2p и 3^m + 4ⁿ =25^p.

3^m = 25^p - 4ⁿ,
3^m = (5^p - 2ⁿ)( 5^p + 2ⁿ).

Числа 5^p - 2ⁿ и 5^p + 2ⁿ нечетные и их нечетный наибольший общий делитель является делителем их суммы 5^p - 2ⁿ + 5^p + 2ⁿ = 2 ⋅ 2ⁿ = 2^{n + 1}. Но среди делителей числа 2^{n + 1} нечетным является только 1. Значит, эти числа будут взаимно простыми.

Если 5^p - 2ⁿ ≠ 1, то произведение (5^p - 2ⁿ)( 5^p + 2ⁿ) имеет два различных простых делителя (одно является делителем 5^p - 2ⁿ, а другое - 5^p + 2ⁿ). Чего быть не может. Значит, 5^p - 2ⁿ = 1.

5^p - 2ⁿ = 1.
Если n = 1, то 5^p = 3. Решений нет.
Если n = 2, то 5^p = 5, p = 1, k = 2p = 2.
Подставляя значения n и k в исходное уравнение получаем 3² + 4ⁿ = 5², 4ⁿ = 16, n = 2.

Итак, имеем одно решение m = n = k = 2.

Еще раз вернемся к уравнению 5^p - 2ⁿ = 1,

5^p = 2ⁿ + 1.

Если n ≥ 3, то 2ⁿ + 1 при делении на 8 дает остаток 1. Значит, 5^p тоже при делении на 8 дает остаток 8 и p должно быть четным числом; p = 2t, t ∈ N.

5^2t = 2ⁿ + 1,
(5^t - 1)(5^t + 1) = 2ⁿ.

5^t + 1 = 2^z и 5^t - 1 = 2^f, где z + f = n.
Вычитая эти равенства получаем, 2 = 2^z - 2^f, где z > f.

2 = 2^f(2^{z - f} - 1).

Понятно, что если f > 1 или z - f > 1, то правая часть уравнения будет больше 2. Значит, f = 1 и z - f = 1 . Тогда z = 0, f = 1 и n = 1.

5^2t = 3. Решений нет. Значит, при n ≥ 3 данное уравнений решений не имеет. Остается единственное решение m = n = k = 2.

Ответ: m = n = k = 2 .

Это, на мой взгляд, одно из самых трудных заданий. По степени сложности его можно отнести в заданиям областной олимпиады по математике. Понятно, что с таким заданием справятся только отдельные учащиеся.

Интересно отметить, что в школьных учебниках встречается уравнение типа 3^х + 4^х = 5^х. Решением этого уравнения является х = 2. При этом не указывается в каких числах следует искать решения. Рассмотренное в этой заметке задание ЕГЭ, конечно, является обобщением этого уравнение для целых чисел.

NB. Это есть один из способов конструирования уравнений рассмотренного типа. Берем пифагорову тройку чисел и расставляем показатели степей m, n, k. Одна тройка решение гарантирована (m = n = k =3).

Есть еще один прием конструирования уравнений этого типа.

9 + 8 = 17,

9^m + 8ⁿ = 17^k.

Одно решение гарантировано (m = n = k =1), остальные придется поискать.

Задание, которое будет рассмотрено ниже обычно формулируют в следующем виде: найти все значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) имеет конечное множество решений (ровно одно, ровно два и т.д.), бесконечное множество решений (интервал, отрезок, луч, прямая, часть плоскости – область), не имеет решений.

С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4х - ∣3х - ∣х + а∣∣ = 9∣х - 3∣ имеет два корня.

Решение. Как правило, такие задания удобно решать графически. Рассмотрим функцию f(x) = 4х - ∣3х - ∣х + а∣∣ - 9∣х - 3∣. Нетрудно заметить, что для раскрытия знака модуля нужно рассмотреть два случая х < 3 и х ≥ 3.


Если х < 3, то f(x) = 13x - 27 - ∣3х - ∣х + а∣∣. Как бы не раскрывались знаки модуля в выражении ∣3х - ∣х + а∣∣ мы получим линейную функцию f(x) = kx + b, где k будет больше нуля. Действительно, k = 13 ± 3 ± 1≥ 0. Значит, график функции f(x) при х < 3 будет возрастать. Этот факт зафиксирован на рис. 1. При этом на нашем рисунке точка А расположена выше оси абсцисс (f(3) > 0) и поэтому уравнение f(x) = 0 имеет ровно один корень на промежутке (-∞; 3).








Если х ≥ 3, то f(x) = -5x + 27 - ∣3х - ∣х + а∣∣. Здесь также при любом раскрытии модуля в выражении ∣3х - ∣х + а∣∣ мы получим линейную функцию f(x) = kx + b, где k = -5 ± 3 ± 1 < 0. Значит, график функции f(x) при х ≥ 3 будет убывать. На рис. 2 дано изображение графика функции на всей числовой прямой . При этом на нашем рисунке точка А расположена выше оси абсцисс (f(3) > 0) и поэтому уравнение f(x) = 0 имеет ровно два корня на промежутке (-∞; +∞).

Понятно, что если точка А будет ниже оси абсцисс (f(3) < 0), то на промежутке (-∞; +∞) равнение f(x) = 0 корней не имеет, если же точка А лежит на оси абсцисс (f(3) = 0), то наше уравнение будет иметь единственный корень.

Значит, для того чтобы наше уравнение имело два корня необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство f(3) > 0.
12 - ∣9 - ∣3 + a∣∣ > 0,
∣9 - ∣3 + a∣∣ < 12,
-12 < 9 - ∣3 + a∣ < 12,
-21 < -∣3 + a∣ < 3,
-3 < ∣3 + a∣ < 21,
∣3 + a∣< 21,

-21< 3 + a < 21,
-24 < a < 18.

Ответ: a ∈ (-24; 18).

Я очень долго не мог вести свой блог, так как Казахстанские власти надолго отключили своих жителей, в том числе и меня, от liveinternet.ru. Конечно, я читал дневники других пользователей в этой службе, но вести свой дневник не осмеливался. Дело в том, что на сегодняшний день отключить пользователя от любого сервиса практически невозможно, так как есть так называемые анонимайзеры. Однако доверять анонимайзеру свои пароли для ведения блога я не осмеливался.

По этому поводу опубликовал в своей рассылке статью об анонимайзерах (читайте предыдущую запись). кроме этого нашел в Интернете кучу этих анониайзеров и выбрал несколько подходящих для своего региона. Теперь вот пользуюсь ими для чтения сайтов, доступ к которым ограничен.

Сайт http://egeent.narod.ru/ давно уже закрыт администрацией narod.ru. Формальная причина - мой отказ предоставить им свои юридические данные заверенные юристами России. Истинная причина состоит в том, что я плохо отношусь к ЕГЭ России. Вижу в нем зло. Поэтому поводу много опубликовал критических материалов. Сначала меня занесли в так называемый черный список, а затем, наверное, по навету соответствующих служб, отвечающих за проведение ЕГЭ мне предложили от администрации narod.ru передать свои юридические данные. Конечно, я этого не сделал.

По этой же причине был закрыт сайт Александра Ларина на хостинге narod.ru. Этот сайт также опубликовал все просочившиеся в Интернет варианты ЕГЭ.

Теперь уже не для кого не секретны материалы ЕГЭ. Прошлое лето показало, что списывание на ЕГЭ по математике носило массовый характер. Все прошло гладко, никого не наказали. За несколько часов до начала ЕГЭ в службе "В контакте" можно было познакомиться не только с условиями вариантов ЕГЭ, но и списать решения некоторых вариантов.

Теперь я уже "ученный". Не собираюсь держать свои материалы на таких ненадежных хостингах как narod.ru. Завел сайт на egeent.ucoz.ru, egeent.byethost33.com и egeent.com.

По прежнему продолжаю вести рассылки http://content.mail.ru/pages/p_27136.html, http://subscribe.ru/catalog/job.education.egeent и группу Google http://groups.google.com/group/egeent?hl=ru.

Этот блог не собираюсь закрывать, буду регулярно публиковать свои материалы.

Серия сообщений "Мои Интернет-проекты":
Часть 1 - Я открыл группу "Сдай ЕГЭ и ЕНТ на отлично!"
Часть 2 - Новое в моих Интернет-проектах
Часть 3 - Моя рассылка

Очень часто у пользователей сети Интернет возникает проблема с доступом к популярным сайтам. Например, есть не мало сайтов, которыми могут пользоваться только жители определенной страны, для всех остальных вход запрещен: есть онлайн радио, которое доступно только из определенных стран, есть сайты — только для жителей России и СНГ. Если вы находитесь в другой стране, то эти сайты будут для вас недоступны.

Время от времени я не могу вести свой блог (Интернет-журнал) "Записки учителя математики" расположенный по адресу http://www.liveinternet.ru/users/kifar/. Другие жители Казахстана также как и я не могут в это время войти в него. В чем дело, спросите Вы. Да все просто. Оказывается, согласно решению властей блокируется доступ на ряд сетевых ресурсов, в числе которых попадают и популярные площадки для блогов: liveinternet.ru и livejournal.com.

Как это осуществляется? Да весьма просто. У каждого компьютера в Интернете есть свой адрес, так же как у вашего дома — это IP адрес, с помощью которого владелец сайта моментально определяет из какой вы страны и решает открывать вам доступ на сайт или нет. Точно также провайдер (организация, предоставляющая Вам услуги доступа к Интернету) определяет на какой сайт Вы хотите попасть и решает допустить Вас туда или нет.

От такого запрета есть простой выход - анонимайзер. Анонимайзер — это промежуточное звено между вашим компьютером и сайтом на который вы переходите.

Принцип работы любого веб-анонимайзера достаточно прост. Я обращаюсь сначала на один из таких сайтов, которые принято называть анонимайзерами и сообщаю ему адрес своего закрытого мне на данный момент на территории Казахстана сайта. Анонимайзер вызывает страницу моего блога (а ему это дозволенно) и возвращает мне страницу этого сайта от своего имени (а получать данные от анонимайзера мне не запрещено). Законно ли это? Я не знаю. Однако точно знаю, что не запрещено, то дозволительно. Вот так я смог получить доступ к моему блогу "Записки учителя математики" расположенный по адресу http://www.liveinternet.ru/users/kifar/ во время закрытия его на территории Казахстана. Когда запрет на посещение сервиса на котором расположен мой блог сняли я отказался от услуг анонимайзера.

Где взять анонимайзер? Ищите в Интернете! Я для себя нашел там десяток и выбрал самый лучший, который работает на моей территории быстро и не не предлагает мне спама в виде навязчивой рекламы. Вот и все принципы выбора анонимайзера.

Главная страница: http://groups.google.ru/group/egeent?hl=ru
Электронный адрес: egeent@googlegroups.com


Она посвящена в первую очередь для тех, кто готовится и готовит к
сдаче ЕГЭ и ЕНТ, а также для всех заинтересованных лиц. Здесь Вы
можете получить ссылки на полезные материалы, оставить свои ссылки,
задать вопросы, ответить на вопросы и т. п.

Серия сообщений "Мои Интернет-проекты":
Часть 1 - Я открыл группу "Сдай ЕГЭ и ЕНТ на отлично!"
Часть 2 - Новое в моих Интернет-проектах
Часть 3 - Моя рассылка

Долгое время метод перебора в школьном курсе математики относили к методам "второго сорта". Однако ученые-математики относится к методу перебора совершенно иначе. Известно много серьезных задач, которые математики не могут пока решать иначе, чем методом перебора. Поэтому необходимо уделять больше внимания этому методу и в современном школьном курсе математики.

При этом, на мой взгляд, изучение этого метода не потребует больших затрат времени на уроках, так как, как правило, при решении задач при помощи уравнений имеет смысл рассматривать и этот метод как альтернативу общепринятому методу.
Рассмотрим некоторые примеры, заимствованные из учебников математики для общеобразовательных школ.

Задача 1. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение. Очевидно, что 187 = 1·187 = 11·17. Это все представления числа 187 в виде произведения двух натуральных чисел с точностью до порядка следования множителей. При этом только произведение 11·17 полностью удовлетворяет условию задачи.

Понятно, что приведенное выше решение намного рациональнее решения при помощи составления уравнения.

Более интересными являются задачи, связанные с многозначными числами.

Задача 2. Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то в частное будет равно 6, а остаток - 2. Если же это же число разделить на произведение его цифр, то неполное частное будет 5, а остаток - 2. Найдите это двузначное число.

Решение. Понятно, что искомое число должно содержаться среди двузначных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2, то есть среди чисел: 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 80, 86, 92, 96. Из этих чисел первому условию удовлетворяет только числа: 32 и 84. При этом только 32 при делении на произведение своих цифр дает неполное частное 5, а остаток - 2.

При решении задач на нахождение многозначных чисел методом перебора важно найти то условие, которое позволяет сократить количество переборов.

Задача 3. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число на 3 меньше удвоенного первоначального числа.

Решение. Понятно, что число 7 можно представить только в виде сумму двух цифр так: 7 = 7 + 0 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4. При этом если первая цифра больше 2, то разность между удвоенным первоначальным числом и числом, которое получится, после прибавления к каждой цифре искомого число по 2 будет больше 10. Поэтому первая цифра искомого числа 1 или 2. Значит, искомое число равно 16 или 25. Так как 2·16 - 38 ? 3, а 2·25 - 47 = 3, то искомое число - 25.

Здесь мы смогли значительно сократить количество переборов благодаря тому, что заметили, что первая цифра искомого числа не может быть больше 2.

Таким образом, не следует относить метод перебора к "некрасивым" методам, которое не развивает мышление учащихся. Дело не в том, что этот метод плохой или хороший, а в учителе, который не должен упускать возможности вооружать учащихся различными методами решения задач и при этом заботиться о том, чтобы эти методы применялись обдуманно, с учетом скрытых от внешнего взора условий, которые позволяют находить рациональные решения.

LI 5.09.15

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 7 - ВОПРЕКИ ЗДРАВОМУ СМЫСЛУ
Часть 8 - КАЖДОЙ ЗАДАЧЕ НЕСКОЛЬКО РЕШЕНИЙ
Часть 9 - А МОЖНО МЕТОДОМ ПЕРЕБОРА?
Часть 10 - ДЕФОРМИРОВАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ГЛУБОКИХ И ПРОЧНЫХ ЗНАНИЙ
Часть 11 - Окружность описанная около трапеции
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

При изучении любой математической дисциплины большинство задач и примеров можно решать различными способами. При этом происходит актуализация различных знаний и умений. Это в свою очередь способствует непроизвольному их запоминанию.

Поэтому решение одной задачи несколькими способами, даже без оценки их с точки зрения рациональности, имеет большое образовательное значение для развития мышления учащихся, чем решение многих задач, но одним и тем же способом.

Формирование у учащихся привычки решать одну и ту же задачу различными способами должно, на мой взгляд, проводиться на уроках со всеми учащимися, а не только с отдельными из них на кружковых и факультативных занятиях.

Не обязательно для этого готовить специальные задачи и упражнения. Многие обычные школьные задачи допускают несколько способов решения. Учителю математики не следует упускать соответствующего момента и конструировать их вместе с учащимися. В качестве иллюстрации этих мыслей приведу следующий пример.
Задача. Упростить выражение .

Решение 1. Как правило, учащиеся попытаются применить знания и навыки, полученные при решении предшествующих задач - формулу возведения двучлена в кадрат.
= = = 8 + 2· = 8 + 6 = 14.
Это вполне естественно и ожидаемо, так как многие предшествующие задачи решались по этой схеме. Однако данная задача имеет и другое решение.

Решение 2. Нетрудно заметить, что если оба подкоренных выражения 4 + и 4 - умножить на 2, то получим полные квадраты. Действительно, 4 ± = = . Поэтому данную задачу можно решить и так:
= = = = 14.
Понятно, что это решение в дидактическом плане предпочтительнее предыдущего, так как несет для учащихся больше знаний. Рассмотренный прием может быть применен и в дальнейшем при решении задач, не аналогичных данной задаче. Поэтому заложенные в данной задаче механизмы для развития мышления учащихся не должны упускаться учителем математики.
Решение 3. Вот еще одна идея решения этой задачи. Так как (4 + )(4 - ) = 16 - 7 = 9, то 4 - = . Тогда = = = = = 14.
Таким образом, полезность и целесообразность решения одной и той же задачи различными способами налицо. И упускать такую возможность учителю математики не следует. Соответствующий же для этого дидактический материал находится практически на каждой странице любого школьного учебника математики.

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 6 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?
Часть 7 - ВОПРЕКИ ЗДРАВОМУ СМЫСЛУ
Часть 8 - КАЖДОЙ ЗАДАЧЕ НЕСКОЛЬКО РЕШЕНИЙ
Часть 9 - А МОЖНО МЕТОДОМ ПЕРЕБОРА?
Часть 10 - ДЕФОРМИРОВАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ГЛУБОКИХ И ПРОЧНЫХ ЗНАНИЙ
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Многие, наверное, помнят мультфильм, в котором юный герой умудрился, решая математическую задачу, получить в ответе полтора землекопа. Понятно, что получение столь странного ответа связано с плохими знаниями ученика.
Аналогичную ситуацию я встретил на странице 62 издания предназначенного для подготовки в поступлению в вуз: Белоненко Т.В, Васильев А. Е., Васильева Н. И., Крымская Л. Д. Сборник конкурсных задач по математике. - СПб.: "Специальная литература", 1997.

4.30 (СПбТУРП), 1995). Уравнение х² + х + 4 = 0 имеет корни х₁ и х₂. Не решая его, вычислить 2/x₁ + 2/х₂.
Ответ: -0,5.

Действительно, такой ответ можно получить, если только не решать данное уравнение. А если же все-таки попробовать решить это уравнение, то нетрудно убедиться в том, что оно не имеет действительных решений (других чисел в общеобразовательной школе не изучают).

Таким образом, данная задача содержит ложное условие - существование корней данного уравнения.

Нетрудно представить себе как авторы могли получить число - 0,5 в качестве ответа к данной задаче. Наверное, они ожидали следующие вычисления:

2/x₁ + 2/х₂ = 2(x₁ + х₂)/(x₁x₂) = 2· (-1)/4 = -0.5.

Но такое решение ошибочно, так предполагает, что данное уравнение имеет решение, которого на самом деле нет.

Так что ситуация для абитуриента тупиковая - не получив ожидаемого ответа - не поступишь в вуз, а если решишь задачу, как ожидают ее авторы - допустишь математическую ошибку.

LI 5.09.15

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 5 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 6 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?
Часть 7 - ВОПРЕКИ ЗДРАВОМУ СМЫСЛУ
Часть 8 - КАЖДОЙ ЗАДАЧЕ НЕСКОЛЬКО РЕШЕНИЙ
Часть 9 - А МОЖНО МЕТОДОМ ПЕРЕБОРА?
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Оформляющийся и все более четко прорисовывающийся сегодня подход в организации системы образования дает основание полагать, что в ближайшее время уровень образованности населения в странах постсоветсткого пространства отнюдь не повысится, и даже не будет соответствовать уровню десяти - пятнадцатилетней давности, а будет неуклонно снижаться и становиться все более легковесным. При существующих подходах - ориентации на ЕГЭ (Россия) и ЕНТ (Казахстан) о повышении уровня образования даже мечтать не приходится.

Какие знания можно проверить при ответе на 30 вопросов в течение 3-4 часов на экзамене в России и 45 минут в Казахстане? Конечно неглубокие, знание зазубренных фактов, дат, событий, но никак ни умение аналитически мыслить, правильно оформлять результаты изысканий.

Ведь при письменном экзамене, например по математике, раньше ученик получал вариант из 5-6 задач, на решение которых он тратил 4-5 часов, а на устном экзамене ему предлагалось за 45-60 минут подготовить ответ всего на три вопроса. При этом на основании решения этих заданий и, возможно, нескольких дополнительных вопросов на устном экзамене, составлялось достаточно объективное мнение не только о знаниях и навыках абитуриентов, но и их возможностях правильно и аргументировано излагать свои мысли.

Теперь же все стало так просто! Выпускнику достаточно правильно ответить на самые простые вопросы и выбрать во всех вопросах, на которые он не знает правильного ответа, один и тот же вариант по своему усмотрению, и тогда он гарантированно получит, как минимум, удовлетворительный аттестат. Простая арифметика типа "Выбирай пепси" - и никакой тебе пересдачи, осени и ответственности. Вот только не развратит ли нас и наших учеников такая простота, и не будет ли множиться безграмотность?

Если поднять материалы этих ЕНТ и ЕГЭ и сравнить по различным годам, то нетрудно обнаружить устойчивую тенденцию к снижению уровня сложности заданий. У чиновников от образования есть наготове оправдательное объяснение - идет выравнивание содержания школьного курса с тем, что выносится на итоговую проверку. Выходит и курс обучения становится все более примитивным? Да, можно объяснить это и так. Однако если вдуматься, то возникает непреодолимое желание спросить: "Кто же кого проверяет?". Министерства и департаменты образования - самоё себя? Органы, которые, к сожалению, недоброкачественно организовывают образование, сами себе ставят и оценку. Но может ли двоечник сам себе поставить двойку? Нет, конечно! Вот и снижается качественный уровень содержания тестовых материалов.

Во многих государствах такого безобразия нет. Как правило, школьное образование аттестуют независимые организации, которые не несут никакой ответственности за качество проверяемых знаний. Аксиома, но которую, при определенных условиях, удобней всего просто игнорировать. Это одна сторона тестовой медали, которую можно и нужно исправить, так как итоговая аттестация учащихся должна проводиться не силами школьных учителей, ни администрациями школ, ни отделами образования и не министерствами образования, а совершенно независимыми от них организациями. Но есть и другие рифы аттестации учащихся. Можно создать независимый орган по проверке знаний, но дело все равно с места не сдвинется. Все упирается на надежность и достоверность инструментов, посредством которых осуществляется проверка знаний и умений учащихся.

Практика работы по преподаванию математики, например, показывает, что во всех тестовых заданиях ЕГЭ и ЕНТ до 60 процентов заданий составлены так, что ответы угадываются с очевидностью, и ученику совсем не нужно выполнять все то, что "под разумевается" заданиями.

Дело не в том, что автор этих строк знает, как натаскивать учащихся на поиск правильных ответов в тестовых заданиях (это теперь знают и умеют делать все - http://school.nordkz.com/inf/ent/1/t2.doc, http://school.nordkz.com/inf/matematika/1/wt1.doc, http://school.nordkz.com/inf/matematika/3/t1.doc), а в том, что это натаскивание никакого глубокого, серьезного отношения, например, к школьному курсу математики не имеет. Уже доказано, что тестовые задания с несколькими ответами для выбора уже в принципе обязательно будут содержать в себе технологические изъяны. Эти изъяны - широкая дорога для получения заранее завышенной оценки на итоговой аттестации. Значит и отбор учащихся в вузы никогда не будет объективным.

С этим согласны и те, кто работает в школах. С каждым годом приемы угадывания правильных ответов становятся все более очевидными и распространенными. Теперь уже разработку этих приемов можно с успехом поручать самим учащимся. Так же, скорей всего, обстоят дела и по другим предметам. Об этом неоднократно писалось в СМИ и на сайтах газет в Интернете
http://school.nordkz.com/.

Социальный вред, ожидаемый в ближайшем будущем от введения итоговой аттестации учащихся в форме тестирования, очевиден. Уже сегодня многие учителя вместо того, что давать глубокие и прочные знания по своим предметам, вынуждены учить своих питомцев логическим приемам обнаружения правильных ответов в тестах, и ряды таких учителей будут с каждым годом увеличиваться. При этом местные органы образования своими требованиями "готовить" учащихся к "итоговому тестированию" поощряют это извращение самого понятия "Образование". Вся система образования сегодня ориентирована на получение учащимися высоких баллов на итоговом тестировании, но не на накопление соответствующих знаний. С каждым годом повышаются баллы выпускников, а соответствуют ли эти результаты реальным знаниям, никто не проверял, да и вряд ли проверит. Ведь учащимся приятно заявить о своих высоких баллах, а органам образования о тенденции увеличения этих баллов.

После введения ЕНТ о работе школы судят по среднему баллу, а не по воспитательной работе, здоровью детей, внеклассным мероприятиям, т.е. человеческий фактор не учитывается за сухими цифрами статистики. Школы же поставленные в такие рамки вынуждены избавляться от учеников, которые не могут набрать высоких баллов. Уже с девятого класса таких учеников отчисляют или, говоря современным языком, "уходят", выдавливают, особенно из элитных учебных заведений, а ведь до этого хватало совести брать деньги с родителей этих детей за оказание так называемых дополнительных образовательных услуг. Где же результаты этих услуг? Не это ли проявление бездушного, не гуманного отношения к детям. Каким бы ни был ребенок - умницей или не очень, он самая высшая ценность в мире. А на практике, чуть ли не "Пошел вон, ты нам не нужен!".

Говорить об объективности школьных оценок уже не приходится. В аттестатах сплошные четверки и пятерки, а что в головах? Во многих школах "ненужные предметы", т. е. те, что не сдаются на ЕГЭ и ЕНТ, заменяются отработкой тестов. Следовательно, дети не получают целостного образования, а только отрывочные знания по отдельным дисциплинам. ЕНТ заставляет многих преподавателей учить не предмету, а заучиванию тестовых заданий, вопросов, готовых ответов - особенно по гуманитарным дисциплинам.

Неудачно заимствованная нами американская система тестирования уже проявила себя как несостоятельная во всем мире. Следовательно, нет смысла ее использовать, наступая на чужие грабли. США, например, уже много лет собирают "мозги" по всем странам, не имея возможности подготовить своих ученых. Все здравомыслящие педагоги и ученые, причем с мировыми именами, называют тестовую систему аттестации знаний элементарной аферой - приключением для чиновников-экспериментаторов, а ученики и педагоги, в таком случае - обыкновенные кролики.

LI 5.09.15

Серия сообщений "Рецензии":
Часть 1 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 2 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 3 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 5 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 6 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?
Часть 7 - ВОПРЕКИ ЗДРАВОМУ СМЫСЛУ
Часть 8 - КАЖДОЙ ЗАДАЧЕ НЕСКОЛЬКО РЕШЕНИЙ
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Тема "Метод математической индукции" то изучается в школьном курсе математики, то исключается. Однако, как правило, в так называемых "универсальных" учебниках (Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. Алматы: Атамура, 2005) она обязательно присутствует.

В этой записке я рассмотрю один из примеров автора, который посвящен раскрытию содержания термина "неполная индукция".

Рассмотрим еще один пример. Пусть задан квадратный трехчлен Р(n) = n² + n + 41, где n - натуральное число. При n, равном 1, 2, 3, 4, 5, нетрудно установить, что значения этого квадратного трехчлена - простые числа: Р(1) = 43; Р(2) = 47; Р(3) = 53; Р(4) = 61; Р(5) = 71 и т. д. Отсюда напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами. Однако, эта гипотеза является ошибочной, ибо при n = 41, Р(41) = 41² + 41 + 41 = 41 · 43 не является простым числом.

Трудно себе представить, что в девятом классе у всех учащихся "напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами" (может быть это кажется только автору учебника). Если это все это не так, то, что же делал в этой школе учитель, особенно в классе с углубленным изучением математики?

Необязательно вычислять значения данного многочлена Р(n) = n² + n + 41, при n, равном 1, 2, 3, 4, 5, чтобы сделать заключение, что значение при Р(n) будет составным при n кратном 41.

Здесь я мог бы предложить учителю, работающему с данным учебником рассмотреть следующую задачу.

Задача. Доказать, что значение многочлена Р(n) = n² + n + 41 при n = 40 является числом составным.

Доказательство. Р(40) = 40² + 40 + 41 = 40² + 40 + 40 + 1 = 40² + 2 · 40 + 1 = (40 + 1)² = 41² имеет делители 1, 41, 1681. Значит, 41² - число составное.

Но и эта задача, не является удачной иллюстрацией того, что неполная индукция может привести к ошибочным выводам.

В методических пособиях такие полезные иллюстрации есть. Приведу в качестве примера только одну из них.

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio - наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П. Ферма, проверив, что значение выражения P(n) = при n = 0, 1, 2, 3, 4 принимает значения 3, 5, 17, 257, 65 537 - простые числа, сделал по индукции предположение, что для всех n =0, 1, … числа вида P(n) простые.
Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII в. Л. Эйлер нашел, что P(5) = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 - составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Здесь мной был использован материал из учебника написанного под редакцией известного методиста-математика Н. Я. Виленкина (Алгебра для 9 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/Н.Я Виленкин, Г.С, Сурыило, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред. Н. Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1996).

Понятно, что этот пример удачен в методическом плане, так как не так легко доказать, что P(n) не является генератором простых чисел. Кроме того этот пример интересен и как экскурс в историю математики.

LI 5.09.15

Серия сообщений "Рецензии":
Часть 1 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 2 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 3 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 5 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 6 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?
Часть 7 - ВОПРЕКИ ЗДРАВОМУ СМЫСЛУ
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

В учебном пособии (Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. Изуч. Математики/Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 1996) на стр. 145 приаеден следующий иллюстративный пример.

Пример 3. Найдем, при каком значении q уравнение х² - x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 25.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда, используя условие задачи и формулы Виета, можно составить систему уравнений:

Решив эту систему уравнений способом подстановки, мы можем найти корни уравнения х₁ и х₂, а затем вычислить их произведение, равное q. Однако, учитывая то, что нас интересуют не сами корни, а только их произведение, мы можем решить задачу проще.

Возведем обе части второго уравнения в квадрат. Получим:
Заменив в этом равенстве сумму числом 25, будем иметь:

Отсюда xx₂= -12. Ответ: q= -12.

Все ли здесь правильно? Не нужна ли проверка решения задачи, т. е. решение уравнения
х² - x - 12 = 0, а затем вычисление суммы и суммы квадратов найденных корней?

Конечно, в данном случае можно выполнить эту проверку, которая подтвердит правильность авторского решения.

При этом возникает и другой вопрос: "Проверка - необходимый логический элемент или просто подстраховка от случайных вычислительных ошибок?".
Попытаемся ответить на этот вопрос косвенно - путем решения следующей аналогичной задачи.

Задача. Найти, при каком значении q уравнение х² + 5x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 11.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда
Так как , то 11 + 2х₁х₂ = 25, х₁х₂ = 7. Поэтому q = 7.
Попытаемся выполнить проверку. Уравнение х² + 5x + 7 = 0 не имеет действительных корней. Значит и наша задача не имеет решений.

Приведенный нами пример косвенно доказывает, что проверка решения данного типа задач - необходимый логический элемент ее решения. При отсутствии этой проверки решение не может быть логически правильным.

Дадим и прямое доказательство этого утверждения. Действительно, авторы цитируемого пособия писали: "Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения", то есть предполагали, что данное уравнение имеет действительные корни. Таким образом, условие Примера 3 может выполняться только при q = 7. Никто при этом не гарантировал, что при q = 7 данное уравнение имеет решение.

Таким образом, налицо математический ляп в цитируемом учебном пособии, которое предназначено для классов с углубленным изучением математики.

Серия сообщений "Рецензии":
Часть 1 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 2 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 3 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 5 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 6 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

В школьном учебнике (Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательной школы/ Ю. М. Макарычев и др. - 2-е издание - Алматы: Просвещение-Казахстан на странице 20 предлагается следующее упражнение:

67. Найдите значение выражения |х|/x при х = -8; 1; 7; 128. Чему равно значение выражения |х|/x если: а) х > 0; б) х < 0?


Очевидно, что это задание предназначено для более глубокого усвоения понятия "модуль числа". Значение этого выражения в зависимости от значения переменной х будет равно -1 (при х < 0)или 1 (при х> 0).


Такие упражнения принято называть дидактическими. Однако в этом упражнении заложены и другие возможности. Учитель(опытный или начинающий) должен, на наш взгляд, смотреть на такие упражнения в учебниках и других пособиях иными глазами, чем учащиеся. Он - педагог и поэтому обязан видеть не только дидактические, но развивающие, воспитательные возможности каждого средства обучения и упражнений и задач в частности.


После выполнения данного упражнения очень полезно предложить учащимся построить, например, график функции y = |х|/x. Выполнение последнего задания не должно вызвать у учащихся существенных трудностей, так как предшествующее задание является подготовительным этапом к нему.


Не следует также упускать возможность продемонстрировать учащимся приемы конструирования новых упражнений. В частности, задание можно изменить так: "Построить график функции y = х/|х|.


Естественным продолжением последних заданий является доказательство тождества
x/|х| = |х|/x.


Это тождество можно доказать тремя способами.


1. Так как соответствующие значения выражений x/|х| и |х|/x равны (при х ≠ 0), то последнее равенство по определению является тождеством.


2. x/|х| = |х|/x = (x² - |х|²)/(x/|х|) = (x² - x²)/(x/|х|)= 0,то искомое равенство - тождество на множестве [0; +∞).


3. Цепочка равенств x/|х| = (x|х|)/|х|² = (x|х|)/x² = |х|/x является доказательство данного тождества.


Аналогично можно из выражения |х|/x получить ему равно выражение x/|х|.


Рассмотренные нами методические приемы опираются на теорию развивающего обучения, в котором заложены весьма полезные для учителя математики технологические и методические идеи. К сожалению, эта теория пока еще не доведена до уровня доступного каждому учителю-предметнику.

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 5 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

В пособии Шаныбекова А. Н. (Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. - Алматы: Атамура, 2005) на стр. 48 приводится такое определение:
Определение 3. Если для функции y = f(x) существует число Т ≠ 0 такое, что для любого значения аргумента х выполнено равенство f(х + Т) = f(х), то число Т называется периодом функции f(x), а сама функция называется периодической.

Вообще то в математике принято другое определение периодической функции.
Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число Т ≠ 0 такое, что:
1) для любого числа х из области определения этой функции числа (х + Т) и (х - Т) также принадлежат ее области определения;
2) при всех х из области определения этой функции f(х + Т) = f(х).

Согласитесь, что это разные определения. Так, например, функция f(x) = {(√x)²}является периодический в смысле первого определения. Действительно, для Т = 1 и всех значений х из области определения функции ([0; +∞)) выполняется равенство f((x + 1) = {x + 1} = {x}= f(x), т. е. f(х + Т) = f(х).

В то же время функция f(x) = {(√x)²} не является периодической с периодом Т = 1 по второму определению, так как для х = 0 число х - Т = -1 не входит в область определения данной функции.

Известно, что определение не может быть верным или неверным - это не теорема - и оно не доказывается. Но в то же время в учебнике Шаныбекова А. Н. утверждается, что "Если число Т является периодом функции y = f(x), то числа ±2Т, ±ЗТ, ±4Т,... также являются периодами этой функции".

Это неверное утверждение. Действительно, для той же функции f(x) = {(√x)²}, которая является периодической с периодом Т = 1 число -1 уже не является ее периодом, так как равенство f(0 - 1) = f(0) не выполняется в силу того, что выражение f(0 - 1) не имеет смысла.

Значит, в рассуждениях автора школьного учебника имеется ошибка. Тем не менее, в казахстанском учебнике доказывается тот факт, что если число Т ≠ 0 - период функции f (х), то и число -Т тоже период этой функции.

Для этого рассматривается цепочка равенств f (х - Т) = f((х - Т) + Т) = f(x). Однако ясно, что эти равенства можно писать, лишь предполагая, что её первый член - символ f(х - Т) - имеет смысл, т. е. что число (х - Т) принадлежит области определения функции f(x). Между тем из определения периодичности функции, предлагаемого в школьном учебнике не вытекает, что если х принадлежит области определения функции f(x), то и (х - Т) принадлежит области определения этой функции.

Таким образом, проведенное в учебнике доказательство свойства периодических функций некорректно, ибо не следует букве принятого в этом же учебнике определения.

Как же быть школьному учителю в данной ситуации? Да очень просто, быть честным. Рассказать учащимся о том, что мы поведали выше и дать целесообразное определение периодической функции (оно также изложено выше).

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Как известно, за каждым понятием закрепляется надлежащий ему термин. Обратное же не всегда верно, то есть один и тот же термин может соответствовать нескольким понятиям. От таких явлений в практике преподавания следует избегать, но исключить их полностью нельзя. Об одной из таких ситуаций рассказывается в этой заметке.

Рассмотрим пример из учебника алгебры для восьмого класса общеобразовательных школ авторов Б. Баймуханова и др.

В теме "Определение квадратного уравнения. Решение квадратного уравнения" разграничиваются понятия "корень уравнения" и "решение квадратного уравнения". Однако весьма часто термин "решение квадратного уравнения" отождествляется с понятием "корень уравнения" и при этом допускается использование обоих терминов в этом смысле.

Нужно ли об этом знать ученику - учебник умалчивает. А ученику надо бы об этом знать, так как в будущем он будет вынужден работать и с другими учебными пособиями, в которых термин "решение квадратного уравнения" трактуется как корень уравнения. Например, в пособиях для подготовки к аттестации в форме ЕНТ.

В этом же учебнике термин "решение квадратного уравнения" соответствует процессу поиска корней уравнения. Такая трактовка вполне допустима, хотя и редко используется в учебных пособиях. Однако термин "решение квадратного уравнения" можно понимать и как совокупность (множество) всех корней (решений) уравнения. Об этом также ничего не говорится в рассматриваемом пособии.

Таким образом, здесь наблюдается нежелательное для практики преподавания явление - обозначение одним и тем же термином нескольких близких, но все же различных понятий. Какой же выход из создавшейся ситуации? Искусственно закрепить термин "решение уравнения" за один и только одним из перечисленных выше понятий не возможно, так как это не будет соответствовать научным традициям (нарушение так называемого принципа научности). Поэтому следует провести соответствующую беседу с учащимися и в контексте разговора научить их сознательно определяться, о каком из понятий идет речь, когда используется термин "решение уравнения".

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения