Идеальные магические квадраты (ИМК) - это наиболее сложные математические головоломки. В таких квадратах магические суммы наблюдаются по всем ломаным диагоналям, а сами МК являются ассоциативными.
Георгий Александров оказался первым, кто разработал общие схемы построения ИМК любого допустимого порядка n. Это удалось сделать благодаря открытию им трех числовых последовательностей, названных Цепями Александрова. Они обозначаются: ЦА-1, ЦА-2, ЦА-3.
Зная цепи Александрова, легко составить два латинских квадрата i и j, объединив которые по формуле n*(i-1)+j, получим ИМК. Оказалось, что идеальный магический квадрат построить легче, чем обычный магический квадрат!
Ниже приведу схемы и таблицы.
Если порядок n - нечетное число, кратное трем, то цепь Александрова строится так:



Ряд Р начинается всегда с чисел 3, 6, 2. Потом идут шесть чисел: 5,7,4,8,12,9. Далее - к последним шести числам в том же порядке прибавляется 6. Схема такая:




Последние две строки этой таблицы относятся только к латинскому квадрату (порядок n = 15+30k - это особый случай).

Вот два примера:




Строим латинские квадраты:







Объединение этих двух латинских квадратов по указанной выше формуле дает идеальный магический квадрат 21х21:




Проверим лиловую ячейку. Имеем: i=17, j=15. Тогда 21*(17-1)+15 = 351.


Особую группу составляют ИМК порядка n=15+30k. Их латинские квадраты рассмотрим на примере n=15 :





Идеальный магический квадрат 15х15:






Пусть n = 8. Строим два латинских квадрата:







Идеальный магический квадрат 8х8 :







Построим латинские квадраты для n = 12 :







Идеальный магический квадрат 12х12 :




Для нечетных n , но не кратных трем, латинские квадраты самые простые:







Идеальный магический квадрат 7х7 такой:





Пусть читатель меня простит за столь насыщенную статью. Но такой результат получен впервые за 4500 лет существования магических квадратов. А это, согласитесь, знаковое событие! Подробно с работами Александрова можно ознакомиться в Википедии (статья "Магический квадрат")

29 июля 2008 г.

Таких магических квадратов мир еще не видел! Подробно читайте в http://renuar911.narod.ru/IMQ12.html

Задачам математики классическим я рад.
Вчера пришла пора искать соотношенья:
Раскладывал фанатиком магический квадрат
В надежде на-гора простые дать решенья.

Запнулся на побасенке порядка номер шесть.
Всю ночь пришлось потеть и, как в гареме, чахнуть.
С нечётными все ясненько – там способ есть Баше,
Двойная чётность же идёт по схеме шахмат.

Лишь одинарной чётности закрыт познаний люк,
Лезь хоть ногой в петлю – не получить ответа.
Узрел в Инете, вдруг, приём с названьем «люкс»,
А мне хотелось свой открыть лучистый метод.

Вот чувствую уже - ну больше не могу!
Извилины в мозгу заклинились убого.
Тут в свете озарения, изогнутом в дугу,
Блеснула, как в пургу, былинная дорога.

Дорога в мир замен и рокировок чисел.
Покинут ров проблем и боли смыт накал.
Теперь я супермен! Хоть на руках носите!
Гоните до краёв наполненный бокал!


***************

Кто любит науку о порядке, тот знает об удивительных формулах и совокупностях чисел. Я приведу лишь три примера, вникнув в которые должны волосы встать дыбом от восхищения.

Вот формула Эйлера, связывающая две величайшие математические константы "ПИ" и "е", да еще включающая в себе мнимое число "i" :


Второй номер нашей программы - прекрасная формула, открытая еще в 1825 году (автора, к сожалению, не знаю). Здесь любое число "а" выражается через сумму трех кубов с абсолютной точностью!



Некоторые виды магических квадратов оказываются таблицей сложения! Посмотрите внимательно: число 33, например, получается как сумма 28 (красное число) и 5 (синее число). И таким простым способом заполняется любая ячейка магического квадрата. До такой классной вещи додумался в 2000 году Георгий Александров. Метод применим для всех МК нечетного порядка, то есть для 3х3, 5х5, 7х7, 9х9 и так далее.



Эту коллекцию можно и нужно пополнять. За работу, товарищи!

В нем суммы равны не только по строкам, столбцам и главным диагоналям, но и по всем ломаным диагоналям тоже. К тому же он ассоциативный, то есть сумма двух любых центрально противолежащих чисел постоянна.
.
.

Дьявольский магический квадрат (ДМК) - это такой магический квадрат, у которого сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, в каждой ломаной диагонали (в том числе и в главных) равна магической константе. Для минимально возможного дьявольского квадрата 4х4 эта канстанта равна 34. Самый простой способ построения двух ДМК осуществляется графическим способом, как показано на приведенных ниже рисунках. Наверняка такой подход можно распространить и на более высокие порядки магических квадратов. Столь удивительное наблюдение принадлежит одному из представителей клуба однофамильцев Г.Александрову.

Андрею А. всего два годика, но а уже хорошо знает все цифры - умеет их рисовать, но не более того. Наблюдая за тем, как его папа изобретает новые магические квадраты, тоже стал ему подражать. Однако максимум, чего ему удавалось сделать, это писать построчно числа по возрастанию. Всем при этом говорил, что "делает магию". Исписывал целые тетради в клеточку! И вот однажды, отец просматривал каракули смышленного сыночка и обнаружил рисунок, который буквально его ошарашил. В ступенчатой фигуре, которую Андрей закрасил желтым карандашом, оказался самый настоящий магический квадрат! Как это удалось маленькому человечку, который и двух чисел сложить не умеет? Неужели на нашей земле появился еще один Ньютон?
Ссылка: http://gromov7043.narod.ru/super.html

Эту удивительную фотографию я нашел несколько лет назад, когда "прогуливался" по страницам интернета. Просто скопировал на всякий случай и забыл о ней. Но вот на днях обнаружил в одной из папок и стал изучать. Оказалось, что это - магический квадрат 9х9, но обладающий необычайно интересными свойствами. Во-первых, магическое число 369 получается не только при суммировании чисел в каждом столбце, каждой строке и каждой главной диагонали, но и по ломаным диагоналям. Иными словами, если данную матрицу копировать по всем сторонам, образуя бесконечный ковер чисел, то в каком бы месте мы ни вырезали элемент 9х9, он обязательно окажется магическим квадратом! Но этого мало. Если внимательно посмотреть на фотографию, то можно заметить, что любые два центрально противолежащих числа дают одну и ту же сумму 82(!).
В настоящем искусстве обязательно присутствует элемент высокой науки.

Знаменитую таблицу Д.И.Менделеева можно назвать высочайшим произведением искусства, в котором сконцентированы тысячи томов научных книг сотен стран. Нечто похожее наблюдается в графической работе Г.Александрова "Идеал". В этом произведении заложен метод получения идеальных магических квадратов любого допустимого порядка. То, что не удалось сделать в 18 веке Л.Эйлеру, стало по плечу нашим современникам. (ссылки: http://gromov7043.narod.ru/chain_aleks.html и http://renuar911.narod.ru/IdealVS.jpg ).

Наука и искусство во все времена шагали бок о бок и трудно выделить среди этих дисциплин более главную. Но иногда мы можем увидеть синтез - а именно описание результатов науки средствами графического искусства. У меня есть множество подтверждающих примеров. Начну с двух интересных работ и со временем буду пополнять коллекцию. Вот копия гравюры А.Дюрера "Меланхолия", выполненная художником Дмитрием Воронцовым.