В 1958 году поступил в Рижское хореографическое училище, которое окончил в 1967 году по классу педагогов Ю. Капралиса и А. Экиса.
С 1967 по 1971 год танцевал в Государственном хореографическом ансамбле "Классический балет" ("Молодой балет"), которым в те годы руководил Игорь Моисеев.
В труппу Большого театра принят после конкурсного экзамена в 1971 году, педагогом-репетитором стал Алексей Ермолаев, великий танцовщик и актер.


В 1972 году принял участие во Всесоюзном конкурсе артистов балета и получил Первую премию.
Примерно в течение 5 лет работы в Большом театре Александр Годунов был "невыездным". Поскольку, в то время как другие премьеры много времени проводили на гастролях, Годунов очень много танцевал на сцене Большого театра, репертуар его стал на редкость разнообразным.



В августе 1979 года, во время гастролей Большого театра, Александр Годунов остался в США. Это событие привлекло внимание всей мировой прессы, потому что в аэропорту американскими властями был задержан самолет, на котором в СССР возвращалась жена Александра Годунова — солистка Большого театра Людмила Власова. Американские власти считали, что Власову против воли вынуждают вернуться в СССР, и требовали дать ей возможность поговорить с мужем. В результате разговор все же не состоялся, и Людмила вернулась в Москву.



Годунов был принят в Американский Балетный Театр, лучший репертуарный театр США.
В 1981 году Годунов параллельно с работой в АБТ сотрудничал с балетом Алвина Эйли.
Из-за конфликта с Михаилом Барышниковым Годунов был вынужден покинуть труппу Американского театра балета в 1982 году.


В 1985 году Годунов прекратил выступать как танцовщик, но продолжал поддерживать форму, брать балетные уроки в Лос Анжелесе, в балетной Академии Давида Лишина, которой руководила прима-балерина Балета полковника де Базиля Татьяна Рябушинская

. В Голливуде Годунов подружился с работающими в США танцовщиками Большого театра Аллой Ханиашвили и Виталием Артюшкиным, которым он помогал им в работе.


В апреле 1995 года Годунов снялся в Будапеште в фильме "Зона" и впервые со времени своего отъезда в США побывал в Риге, где встретился со своей семьей: матерью, братом, племянниками.



Актёр скончался в ночь с 11 на 12 мая 1995 года.


Прах Годунова был развеян 22 мая 1995 года над Тихим океаном, его мемориал находится в Лос-Анджелесе. Памятник А.Б. Годунову установлен в Москве на Введенском кладбище (участок № 12) — кенотаф.