Родился 10 декабря 1859 года в восточной части Дании на полуострове Ютландия в семье богатого кораблестроителя.

В детстве посещал уроки рисования в художественном училище в Орхусе, позже переехал в Копенгаген. В 1875–1879 годах учился в датской королевской академии изящных искусств под руководством пейзажиста и портретиста Андриеса Фритца и мастера жанровой живописи Юлиуса Экснера.

Затем Мёнстед прошёл курс обучения в школе Педера Северина Кройера, а позже переехал в Париж, где занимался в мастерской одного из самых популярных живописцев его времени Адольфа Вильяма Бугро.

В 1882 году посетил Рим и остров Капри, где был покорен красотой и яркостью красок средиземноморского пейзажа.

В течение своей длительной карьеры много путешествовал, часто бывал в Швейцарии, Италии, северной Африке, а также Греции, где в течение года был гостем королевской семьи и писал их портреты.

С начала XX века и до самой смерти Мёнстед был одним из наиболее популярных и состоятельных живописцев. Особой популярностью пользовался в Германии у мюнхенской публики.