Александр Борисович Годунов родился 28 ноября 1949 на Сахалине. В 1958 году он поступил в Рижское хореографическое училище, которое окончил в 1967 году по классу педагогов Ю. Капралиса и А. Экиса. С 1967 по 1971 год Годунов танцевал в Государственном хореографическом ансамбле "Классический балет" ("Молодой балет"), которым в те годы руководил Игорь Моисеев. В ансамбле работали выдающиеся педагоги - заместителем художественного руководителя и ответственным педагогом-репетитором была Суламифь Мессерер, мужской класс давал Асаф Мессерер. Подготовив первую программу и показав ее в мае 1968 года в Смоленске, ансамбль стал гастролировать по стране, затем начались длительные зарубежные гастроли. В ансамбле работали молодые танцовщики, ставшие затем звездами балета: Тийт Хярм - будущий премьер театра "Эстония", Вилен Галстян, в дальнейшем ведущий танцовщик Армении, Дмитрий Брянцев, добившийся известности как балетмейстер.

Александр Годунов участвовал в триптихе "Поэзия чувств" И.Моисеева на музыку Мендельсона, "Мимолетностях" К.Голейзовского на музыку С. Прокофьева

.