Немного графоманских заметок на тему нестандартного анализа. Собственно, заметки не моги, а так - найденные на просторах интернета. Но информация довольно занимательная, так что выкладываю её здесь.
Отметим, что одного условия несчетности множества еще недостаточно для определения на нем протяженности (т.е. конечной меры). Например, мера множества всех иррациональных чисел, заключенных в континууме вещественных чисел [0, 1], несмотря на несчетность этого множества, равна нулю. Другое условие реализации конечной меры на множествах - их определенная упорядоченность1. Тем самым несчетность континуума, являясь ключевым понятием в логическом решении дилеммы Зенона, не обеспечивает достаточного условия метризуемости точечного множества. Сам Кантор указал пример так называемого тернарного точечного множества, мощность которого равна мощности континуума, а мера равна нулю2. Полной математической ясности в отношении достаточного условия метризуемости не достигнуто, но в качестве возможного решения в ряде работ рассматривается свойство отделимости топологического пространства.
Само понятие топологически отделимого пространства возникло в порядке обобщения концепций метризуемого пространства. Согласно определению, пространство X является отделимым (или хаусдорфовым), если для любых его точек x и y можно указать такие их окрестности, которые не имеют общих точек (не пересекаются). Свойство отделимости как бы гарантирует, что элементы пространства не “сливаются” и континуум оказывается актуально разделенным на несчетное число элементов3. Такая актуальная разделенность элементов приводит к тому, что величиной непересекающихся окрестностей в стандартной математике не может являться ни одно из чисел, за исключением нуля. В рамках же нестандартного анализа считается, что каждой точке (вещественному числу) может быть придана окрестность, характеризуемая бесконечно малыми числами e . Бесконечно малые отличаются от стандартных (вещественных) чисел тем, что подобно нулю нарушают известную аксиому Архимеда: для них не существует такого конечного числа n, для которого бы результат n-кратного сложения бесконечно малого числа превзошел бы любое наперед заданное положительное вещественное число. Так как, по определению, бесконечно малое число меньше любого положительного вещественного числа, то, очевидно, бесконечно малые окрестности стандартных чисел не будут пересекаться. Тем самым дополнение вещественных чисел бесконечно малыми числами, на первый взгляд, решает проблему отделимости, обеспечивая достаточное условие метризуемости. В действительности такой вывод оказывается чересчур поспешным. Чтобы подтвердить это мнение, достаточно вкратце проанализировать наиболее общие, первичные идеи, на которых строится направление математики, именуемое нестандартным анализом4.
Сущность нестандартного анализа заключается в расширении множества R вещественных чисел до некоторого большего множества *R “гипердействительных” чисел. Каждое конечное гипердействительное число *x представляется суммой стандартной части (вещественного числа) и бесконечно малой добавки: *x=st(*x)+f(e ), где st(*x)є xО R, f(e ) обозначает некоторую функцию или арифметическое преобразование бесконечно малой величины e . Поскольку *R включает все вещественные числа, в том числе и нуль, постольку при st(*x)=0 число *x будет бесконечно малым, а при f(e )=0 *x будет вещественным (стандартным) числом *x=x. Гипердействительные числа включают также и нестандартные бесконечно большие числа вида *x=1: e n, поскольку деление на e не запрещено в силу того, что e № 0. В этом проявляется один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа, который состоит в том, что “бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины (т.е. не как функции, стремящиеся к нулю, как учат нас современные учебники), а как величины постоянные”5. Здесь явственно просматривается прямая историческая преемственность в отношении взглядов Лейбница на природу бесконечно малых величин.
Сформированное таким образом множество *R гипердействительных чисел наделяется свойствами упорядоченного поля. Однако в отличие от множества R вещественных чисел оно является неархимедово упорядоченным благодаря существованию ненулевых бесконечно малых, нарушающих аксиому Архимеда. Подобное расширение множества R до *R сторонники нестандартного анализа считают продолжением последовательности NМ ZМ QМ R расширений множеств натуральных, целых и рациональных чисел. По их мнению, следующий шаг (RМ *R) методологически ничем не отличается от предыдущих. Однако это не так. Все элементы (кроме нуля) множеств N, Z, Q, R однородны в отношении аксиоматики, характеризующей данное множество. Иными словами, в них невозможно выделить подмножества, различающиеся по аксиоматикам. Тем самым переходы между множествами N, Z, Q и R не приводят к качественной неоднородности множества. Расширение же R до *R приводит к тому, что в единое множество гипердействительных чисел оказываются “собраны” разнокачественные множества, т.е. множества, удовлетворяющие различным аксиоматикам. Например, нестандартные числа не удовлетворяют аксиоме Архимеда. Таким образом, налицо серьезная методологическая новация, обоснование которой не может быть сведено к аналогии с процедурой расширения множеств натуральных, целых и рациональных чисел.
К сказанному можно добавить, что сам способ создания расширения множества R путем механического добавления новых чисел выглядит методологически несостоятельным. Корректные логические определения расширений чисел вообще не предполагают того, что каждое расширение числа включает предыдущие виды чисел. Например, определяя действительные числа, Б.Рассел6 подчеркивает, что те из них, которые не являются иррациональными, “соответствуют обычным рациональным тем же образом, как рациональное число n: 1 соответствует целому числу n, но они не одно и то же с рациональными числами”7. И далее: “...Расширения числа не создаются просто наличием необходимости в них: они создаются определениями”8. Дать же всем гипердействительным числам универсальное логическое определение, по-видимому, весьма проблематично уже потому, что *R объединяет подмножества, удовлетворяющие различным аксиоматикам.
Характеризуя в целом нестандартный анализ, следует отметить, что он ни в коей мере не нарушает законы классической логики. Поэтому наличие среди гипердействительных чисел актуально бесконечных неминуемо должно приводить к формально-логическим парадоксам, характерным, например, для канторовской теории множеств. Таким образом, это математическое направление хотя формально и включает новые (“нестандартные”) элементы и средства, тем не менее остается в тех же рамках, что и стандартная математика, не создавая принципиально новых возможностей для конструктивного устранения известных противоречий.
По-видимому, значение нестандартного анализа сводится к инструментальному удобству, к тому, что он позволяет приводить более “наглядные”, “очевидные” доказательства теорем, относящихся к объектам стандартной математики. Что же касается преимуществ множества *R гипердействительных чисел в описании физической реальности, то они оказываются совершенно неощутимыми. Не имеющие численного выражения бесконечно малые и бесконечно большие не обладают каким-либо материальным референтом, неизбежно попадая в разряд идеального, подобно своим прямым предшественникам – лейбницевым монадам.
Неинвариантность бесконечно малых, предполагаемая в нестандартном анализе, позволяет проводить между ними сравнение и различать бесконечное число количественно различных, но качественно одинаковых бесконечно малых величин. Например, возводя e в степень n, мы сталкиваемся с примером “дурной бесконечности”: с одной стороны, e n количественно отличается от e n- 1 в той же мере, что и e от 1 (поскольку здесь просто положено n=1), т.е. как бесконечно малое число от стандартного числа, с другой стороны, каких-либо качественных различий между e n и e n- 1 в нестандартном анализе не предполагается. Отсутствие у бесконечно малых свойства инвариантности лишает смысла и утверждение о том, что в нестандартном анализе они имеют характер постоянных. Действительно, если мы с равным основанием считаем e и e : 2 бесконечно малыми, то в чем же заключается постоянство бесконечно малой величины? Их неинвариантность приводит к тому, что в нестандартном анализе алгебраические выражения “обрастают хвостами” из бесконечно малых слагаемых, которые только загромождают вычисления, не оказывая влияния на получаемые практические результаты.
Возвращаясь теперь к вопросу об отделимости топологического пространства, связанного с *R, заметим, что переход к гипердействительным числам вовсе не гарантирует того, что любые две точки будут обладать непересекающимися окрестностями. Неинвариантность бесконечно малых формально приводит к тому, что даже в пределах бесконечно малой окрестности гипердействительного числа содержится бесконечное количество других гипердействительных чисел. Например, в окрестность числа *x с размером e n попадут все числа вида *y=*x+e m, m>n, что, очевидно, приведет к пересечению окрестностей точек *x и *y при любом n. Следовательно, переход от вещественных чисел к множеству гипердействительных чисел не дает ровным счетом никакого прогресса в отношении обеспечения достаточного условия метризуемости. Введение бесконечно малых, как это делается в нестандартном анализе, не позволяет считать континуум актуально разделенным на элементы с непустыми непересекающимися окрестностями, а это означает, что в континууме в дополнение к нуль-мерным точкам не появляется объектов с отличной от нуля мерой, которые могли бы обеспечить не равную нулю меру всего соответствующего множества.
Причина, по которой нестандартный анализ терпит фиаско как с философско-методологической, так и с конкретно-научной точки зрения, заключается, по-видимому, в самом определении свойств бесконечно малой величины. Нестандартный анализ вводит новые числа, игнорируя то обстоятельство, что в R уже существует число, обладающее рядом признаков бесконечно малого, – нуль. Его важнейшим атрибутом является инвариантность. Нестандартный анализ оставляет это свойство нулю в “исключительное пользование”, отказывая в нем новым бесконечно малым величинам. Бесконечно малые величины в нестандартном анализе вовсе не служат достижению такой цели, как представление конечного и нулевого (бесконечно малого) в диалектическом единстве. Скорее наоборот, они возводят новый барьер между этими противоположностями, изолируя их друг от друга и абсолютизируя момент их различия. В этом смысле более предпочтительным было бы такое обобщение вещественного числа, которое воплотило бы идею единства конечного и нулевого (бесконечно малого).
Согласно П.А.Флоренскому, как его трактует Л.Г.Антипенко, “протяженный континуум можно построить лишь тогда, когда мы поймем, что точка в математике играет двойную роль, символизируя в своих предельных значениях “полноту” и “пустоту” (пробел), единицу и нуль”9. “Единица и нуль, как значения точки суть пределы; но можно использовать точку и как стремящуюся к этим пределам; тогда она понимается как дифференциал, и притом дифференциал в двояком смысле: либо как “дух возникающей величины”... в этом своем смысле он есть некая единица, и не без причины дифференциалы Лейбница были родными братьями его монад, уже знакомых единиц. Либо точка получает смысл “духа исчезнувшей величины”, точнее исчезающей, и тогда есть своего рода нуль: это – ньютоновские флюксии...”10. “Построить протяженный континуум, по Флоренскому, значит учесть оба рода бесконечно малых величин – дифференциалы Ньютона и дифференциалы Лейбница”11.
Очевидно, что эта диалектическая по духу философско-методологическая установка в нестандартном анализе остается нереализованной. Следование ей означало бы введение в теорию множеств нового объекта, который каким-то образом (например, постулативно) сочетал бы в себе минимальность и инвариантность как главные свойства нуля с количественной определенностью конечных величин. Этим требованиям, по определению, отвечает актуальный нуль множества, представляющий собой своего рода актуальную бесконечно малую величину. Название “актуальный нуль” должно подчеркивать, что введение этой величины исключает из множества обычный нуль. Нуль как образ “пустоты”, отсутствия всякого количества лишается права на самостоятельное существование. Он лишь выступает в роли идеализации актуального нуля, получаемой в результате абстрагирования от содержащегося в актуальном нуле количества.
Множество, содержащее актуальный нуль, позволяет обобщить множество вещественных чисел (см. главу 4). Все его элементы, за исключением актуального нуля, удовлетворяют аксиоме Архимеда (как и все элементы R, за исключением нуля). Определение арифметических действий на множестве с актуальным нулем позволяет непосредственно убедиться в том, что разность любых двух сколь угодно близких элементов всегда отлична от актуального нуля. Можно сделать вывод, что множество с актуальным нулем, имея мощность трансфинитного множества, способно обеспечить необходимое условие метризуемости соответствующего пространства, а наличие у его элементов протяженных непересекающихся окрестностей приводит к отделимости пространства, рассматриваемой как достаточное условие метризуемости.
Нетрудно убедиться, что перечисленные в этом разделе методологические проблемы и несообразности, возникающие при рассмотрении основ нестандартного анализа, не характерны для множества, содержащего бесконечно малую величину в форме актуального нуля.
Следует отметить, что концепция дискретно-непрерывной структуры пространства (и времени) представляется на сегодня вполне удовлетворительной с философско-методологической точки зрения и весьма перспективной в конкретно-научном отношении. Лежащие в ее основе новые представления о множестве, включающем актуально-нулевой элемент, позволяют достичь успеха в принципиальном решении проблемы метризуемости и логически обосновать основные идеи современной теории протяженности. Данная концепция привлекательна в первую очередь тем, что обеспечивает сближение логико-математической и онтологической сторон в изучении структуры реального пространства-времени.
(
http://www.philosophy.nsc.ru/PUBLICATION/old/DISSHARYPOV/03_3.HTM)
