Как изобрели цифру,

обозначающую «ничего»?

История нуля

(Фото: bepsy, Shutterstock)

«...– А еще один университетский волшебник как-то рассказал мне, что есть такая штука, «ничего», ну, ты наверняка знаешь, так вот, ее-то клатчцы и придумали. А я его и спрашиваю: «Как так? То самое ничего?» – «Ага, – говорит. – Это и есть их большой вклад в архиметику. А именно – ноль».
– И в самом деле, похоже, не шибко умные люди то, – заметил Шнобби. – Я вот тоже, к примеру, ничего не изобрел. Этак каждый может.
– К чему я и веду, – поддержал Колон. – Я этому волшебнику говорю: есть, мол, люди, которые придумали, допустим, четыре… или… или…
– …Семь…
– Точно, семь. Вот эти люди – настоящие гении. А НИЧЕГО изобретать не надо. Оно и так есть».
(Т. Пратчетт «Патриот»)

Сегодня это может казаться удивительным, но европейская математическая традиция долгое время не знала никакого нуля. И даже после того, как узнала, старалась подольше без него обходиться. И действительно – зачем нужно число, которое ничего не исчисляет? Бред какой-то... Да и первые европейские системы исчисления нуля не требовали, так как были непозиционными.

Одной непозиционной системой мы пользуемся до сих пор. Кому не знакома римская нумерация, которой мы обозначаем века, королей-тезок и разделы в книгах? Нуль в этой системе отсутствует. Число 20 записывается двумя десятками (ХХ=10+10), а 102 – сотней и двумя единицами (CII=100+1+1). Вроде бы всё просто, но вот беда – для каждого нового разряда надо выдумывать новый знак (I– 1, V–5, X–10, L–50, C–100, D–500, M–1000), иначе крупное число из одних единиц станет длинным и неразборчивым. Однако и с добавлением новых знаков числа часто выглядели громоздко. На постаменте знаменитого питерского Медного всадника написана дата открытия памятника – MDCCLXXXII. Сразу ли вы догадаетесь, что это 1782 год? Ну а совершать подсчеты, оперируя такими числами, было еще труднее.

Вот как бы записали древние египтяне число 23145. (Я.И. Перельман - "Занимательная арифметика")

Впрочем, на практике никто палочками, птичками и крестиками не считал. Для этого использовали счётные доски – абаки. Абак в разных обличьях оказался весьма живучим изобретением. Только калькуляторам удалось вытеснить счёты, которыми в совершенстве владела еще моя бабушка-бухгалтер. Абаки и счёты были разделены на несколько позиционных рядов. Так, чтобы обозначить на счётах число двести семь, на первой проволоке (разряд единиц) отбрасывали в сторону семь костяшек, на третьей (ряд сотен) – две, а на второй (разряд десятков) ничего не отбрасывали, так как десятков в числе не было. Вот этот пробел, это пустое место и стало первым прообразом нуля. Говоря образно, нуль как число и цифра появился практически из ничего.

Абак и счеты позволяли работать с разрядами быстро и просто. (Фото: ru.wikipedia.org)

Произошло это, конечно, не сразу. Одно дело – пустое место, другое дело – знак, и уж совсем третье – число. Первые шаги от пробела к знаку сделали вавилоняне. Их система счета была позиционной, как и наша, но если у нас каждый новый разряд в десять раз больше предыдущего, то у вавилонян – в шестьдесят. Суть позиционной системы заключалась в том, что каждый новый разряд записывался одними и теми же знаками, только располагали их левее предыдущего разряда. У вавилонян знаков было два: вертикальным клинышком обозначали единицу, а горизонтальным – десятку. Таким образом записывали числа до 59, а число 60 снова обозначали вертикальным клинышком. Как это выглядело, вы можете увидеть на рисунке внизу.

Записывая числа, вавилоняне пользовались позиционной системой, но шестидесятичной. Грубо говоря, там, где у нас шли десятки и сотни, у них были шестидесятки и тристашестидесятки. (Я.И. Перельман - "Занимательная арифметика")

Если какой-нибудь разряд отсутствовал, вавилоняне ставили пробел, а в V в. до н.э. стали обозначать пропущенный разряд двумя клинышками. Правда, в конце числа отсутствие разряда не обозначали, в результате числа 1 и 60 выглядели одинаково и различались, видимо, исходя из контекста того, что считали.

Родиной настоящего нуля по праву считают Индию, математики которой, судя по всему, совместили позиционный принцип вавилонян с десятичной системой китайцев. Гениальным итогом индийской математики стала запись любых чисел с помощью десяти цифр, которыми мы пользуемся поныне и которые не совсем справедливо называем арабскими (cами арабы, кстати, всегда называли их индийскими). Позже всех знаком наградили злосчастный нуль.

Само понятие нуля (индийцы называли его «сунья/шунья» – пустое) по-видимому возникло в середине V века. Первое же изображение нуля было обнаружено в числе 270, начертанном на стене г. Гвалиора (876 г.). Очень важно, что нуль здесь впервые стоит в конце числа и внешне напоминает знакомую нам дырку от бублика (разве что немного меньше других цифр). Форма нуля отобразилось и в нашей речи, ведь когда мы хотим оставить в числе только крупные разряды, заменив остальные нулями, то говорим «округлить».

Есть гипотеза, что сам знак нуля индийцы переняли у греков. Да-да, греческая непозиционная система годилась для небольших чисел, но для точных и громоздких астрономических расчетов Клавдию Птолемею приходилось пользоваться вавилонской системой – с ее помощью он записывал дроби. Вместо пропущенного разряда астроном ставил букву «О». Как и вавилоняне, в конце числа пропущенный разряд Птолемей не обозначал и числом не считал.

Заметьте, нуль имеет смысл лишь там, где мы говорим об отсутствии ЧЕГО-ЛИБО. В христианском богословии даже был прием доказательства бытия Божьего через отрицание. Он назывался апофатическим и заключался в том, что Бога определяли через то, чем он НЕ ЯВЛЯЕТСЯ. Так и нуль служит для исчисления ОТСУТСТВУЮЩЕГО в категориях, которые сами являются существующими. Разряд в числе – категория реальная и конкретная, но если он пуст, то мы употребляем для его количественной характеристики нуль.
Еще проще это пояснить на примере нескольких бидонов для молока. Отсутствие в одном из них молока отнюдь не отменяет самого бидона, поэтому число «ноль литров» имеет вполне конкретное отношение как к бидону, так и к отсутствующему в нем молоку. В математике одно из определений нуля так и гласит: «Нуль – это мера пустого множества, число элементов в множестве, в котором нет ни одного элемента».

Вот так в течение веков изменялось написание арабских цифр. (Я. И. Перельман - "Занимательная арифметика")

Возникновение нуля в десятичной позиционной системе сделало революцию в математике, облегчив как запись чисел, так и арифметические действия с ними. Арабы, вторгнувшиеся на территорию Индии в VII веке, не могли пройти мимо этого великого открытия. Они приняли индийскую систему и развили ее (множество математических терминов – алгебра, алгоритм – имеют арабское происхождение). Знаменитый математик Аль-Хорезми (IX в.) писал в своей книге «Индийское искусство счета»: «Если не остается ничего, то пишут маленький кружок, чтобы место не оставалось пустым. Этот кружок должен занять место, потому что в противном случае у нас будет меньше разрядов, и второй, например, мы можем счесть за первый».

Кстати, долгое время слово «цифра» означала именно «ноль» и ничто другое (инд. «сунья», араб. «аль-сифр», лат. ciffra). От ciffra произошло множество названий, включая слова «шифр» и «зеро», хорошо известное любителям игры в рулетку. Позже термин «цифра» распространился на все знаки арабской нумерации. Слово же «ноль/нуль» вошло в обиход в XVI веке и произошло от греческого nullus – «никакой».

Слова "Зеро" и "шифр" произошли от слова "цифра", которое первоначально означало только "нуль". (Фото: ru.wikipedia.org)

Через арабов индийская система счета пришла в Европу.
Одним из первых пропагандистов арабской системы в Европе был итальянский математик Леонардо Фибоначчи. В 1202 году он написал в своей «Книге абака»: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски zephirum, можно написать какое угодно число».
Реклама Фибоначчи не особо подействовала на европейскую профессуру, она предпочитала не связываться с подозрительными нулями и арабами и продолжала считать по старинке – с помощью античной системы или абака. Так, итальянский математик Джеронимо Кардан (1501–1576) умудрялся решать кубические и квадратные уравнения, не пользуясь нулем, что делало расчеты крайне сложными.

Зато арабскую систему сразу оценили далекие от высоких материй купцы и банкиры, она была незаменима для расчетов, и к XV веку торгаши пользовались ею вовсю. Окончательно десять арабских знаков утвердились в европейской науке лишь к началу XVIII века.
Причины столь стойкой неприязни к нулю заслуживают отдельного разговора, ибо коренятся в особенностях античного мировосприятия.