Куки сохраняются отдельно для каждого для домена.
Тут ничего сделать нельзя — все браузеры так настроены из соображений безопасности.
ЛиРу сохраняет в куках ник залогиненного юзера, пароль и уникальный идентификатор. И всё это привязано к тому домену, на котором залогинился. При переходе на другой домен система не имеет доступа к кукам с предыдущего домена и требует залогиниться заново. Или, если кто-то уже логинился с этого домена, система получает его куки и логинит его.
Пример: я залогинился на
http://alexkrylov.ru потом перешёл на
http://liveinternet.ru/, а там с моей машины бродила
Irogoto. В результате зарегистрированной на liveinternet.ru оказывается именно она. Мне, чтобы даже писать комментарии от своего имени, нужно ещё раз залогиниться, на этот раз на домене liveinternet.ru.
Думаю, что ничего тут технически поменять нельзя. Увы.