Математическая система Maxima |
Операции математического анализа
Суммы
Для нахождения сумм предназначена функция sum. Синтаксис функции:
Sum(выражение, переменная, нижняя граница изменения переменной, верхняя граница изменения переменной)
Например:
Если присвоить последнему аргументу значение системной переменной положительной бесконечности "inf", то это станет признаком отсутствия верхней границы и будет рассчитываться бесконечная сумма. Так же бесконечная сумма будет рассчитываться, если присвоить аргументу "нижний предел изменения переменной" значения системной переменной отрицательной бесконечности "minf". Эти же значения используется и в других функциях математического анализа.
Например:
Произведения
Для нахождения конечных и бесконечных произведений используется функция product. Она имеет такие же аргументы, что и в функции sum.
Например:
Пределы
Для нахождения пределов используется функция limit.
Синтаксис функции:
limit(выражение, переменная, точка разрыва)
Если аргументу "точка разрыва" присвоить значение "inf", то это будет признаком отсутствия границы.
Например:
Для вычисления односторонних пределов используется дополнительный аргумент, который имеет значение plus для вычисления пределов справа и minus - слева.
Например, выполним исследование непрерывности функции arctg(1/(x - 4)). Эта функция неопределенна в точке x = 4. Вычислим пределы справа и слева:
Как видим, точка x = 4 является точкой разрыва первого рода для данной функции, поскольку существуют границы слева и справа, которые равняются соответственно -PI/2 и PI/2.
Дифференциалы
Для нахождения дифференциалов используется функция diff. Синтаксис функции:
diff(выражение, переменная1, порядок производной для переменной1 [,переменная2, порядок производной для переменной2,…])
где выражение - это функция, которая дифференцируется, второй аргумент является переменной, по которой нужно брать производную, третий (необязательный) - порядок производной (по умолчанию - первый порядок).
Например:
Вообще обязательным для функции diff является только первый аргумент. В таком случае функция возвращает дифференциал выражения. Дифференциал соответствующей переменной обозначается через del(имя переменной):
Как видим из синтаксиса функции, пользователь имеет возможность определить одновременно несколько переменных дифференцирования и задать порядок для каждой из них:
Если использовать параметрическую функцию, то форма записи функции изменяется: после имени функции записываются символы ":=", а обращение к функции осуществляется через ее имя с параметром:
Производная может быть вычислена в заданной точке. Это осуществляется так:
Функция diff используется также и для обозначения производных в дифференциальных уравнениях, о чем идет речь ниже.
Интегралы
Для нахождения интегралов в системе используется функция integrate. Для нахождения неопределенного интеграла в функции используются два аргумента: имя функции и переменная, по которой происходит интегрирование. Например:
В случае неоднозначного ответа Maxima может задать дополнительный вопрос:
Ответ должен содержать текст из вопроса. В данном случае, если значение переменной y больше "0", это будет "positive" (положительное), а иначе - "negative" отрицательное). При этом допускается ввод только первой буквы слова.
Для нахождения определенного интеграла в функции следует указать дополнительные аргументы: пределы интеграла:
Maxima допускает задания и бесконечных пределов интегрирования. Для этого для третьего и четвертого аргументов функции используются значения "-inf" и "inf":
Для нахождения приближенного значения интеграла в численном виде, как отмечалось ранее, следует выделить результат в ячейке вывода, вызывать на ней контекстное меню и выбрать из него пункт "To Float" (преобразовать в число с плавающей точкой).
Способна система вычислять и кратные интегралы. Для этого функции integrate вкладываются одна в другую. Ниже приводятся примеры вычисления двойного неопределенного интеграла и двойного определенного интеграла :
Решения дифференциальных уравнений
По своим возможностями в части решения дифференциальных уравнений Maxima ощутимо уступает, например, Maple. Но Maxima все же позволяет решать обычные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, а также их системы. Для этого - в зависимости от цели - используют две функции. Для общего решения обычных дифференциальных уравнений используется функция ode2, а для нахождения решений уравнений или систем уравнений по начальным условиям - функция desolve.
Функция ode2 имеет такой синтаксис:
ode2(уравнение, зависимая переменная, независимая переменная);
Для обозначения производных в дифференциальных уравнениях используется функция diff. Но в этом случае с целью отображения зависимости функции от ее аргумента она записывается в виде 'diff(f(x), x), а сама функция - f(x).
Пример. Найти общее решение обычного дифференциального уравнения первого порядка y' - ax = 0.
Если значение правой части уравнения равняется нулю, то ее вообще можно опускать. Естественно, правая часть уравнения может содержать выражение.
Как видим, во время решения дифференциальных уравнений Maxima использует постоянную интегрирования %c, которая с точки зрения математики является произвольной константой, определяемой из дополнительных условий.
Осуществить решение обычного дифференциального уравнения можно и другим, более простым для пользователя, способом. Для этого следует выполнить команду Уравнения > Solve ODE (Решить обычное дифференциальное уравнение) и в окне "Решить ОДУ" ввести аргументы функции ode2.
Maxima позволяет решать дифференциальные уравнения второго порядка. Для этого также применяют функцию ode2. Для обозначения производных в дифференциальных уравнениях используется функция diff, в которой добавляют еще один аргумент - порядок уравнения: 'diff(f(x), x, 2). Например решение обычного дифференциального уравнения второго порядка a·y'' + b·y' = 0 будет иметь вид:
Комментировать | « Пред. запись — К дневнику — След. запись » | Страницы: [1] [Новые] |