Можно заплатить персональным чеком?Can I have a personal check?

"Can I have" обычно означает "Можно мне... (вон ту штуку)", так, к примеру, дружеским тоном сообщают официанту о выбранном блюде в недорогом ресторане. "Can I pay with" обычно применяется в ситуации со способом оплаты.

Можно купить это в рассрочку?Can I buy it on installment?

Can I pay for it in installments? будет правильней, т.к. слово installment применительно к финансам означает не "рассрочка", а "частичная выплата". "Рассрочка" = deferred payment.