Странно звучит, с happier

Звучит совершенно нормально.
If I stay in town rather than move to New York, my parents will be so much happier.

(То есть они не против, что я переезжаю, но все равно были бы рады, если я осталась).

в первом much можно и оставить
а во втором убрать with

Ответ на комментарий Sweet-Trouble

В данном предложении.

If I stay in town rather than move to New York, my parents will be so much happier.
-
тут есть if - там его нет. и so, на мой взгляд лишнее.
И мне кажется, что это предложение does not fall into real condition.
If I should stay.. - звучит более реально.
В данном случае, говорящий считает малореальным такой исход, но всё же реальным.

Но это уж лирическое отступление))

Давайте не будем ковыраться в контексте? Это было составлено на скорую руку.
Факт есть факт - конструкция so much happier имеет право на существование. Конструкция so much happy - не имеет.

хм...а может не надо During? просто Last month .. первое much это да.

В задании сказано убрать лишнее слово.
...my parents will be so much happy.
During the last month, I have contacted with all my family.
(глагол to contact переходный - за ним следует прямое дополнение, без предлога; если использовать с with, то только в качестве сочетания существительное+предлог, напр. to have contact with smth/smb, to make contact with smth/smb).

У Вас же "contact" глагол, а не существительное. Существительное действительно употребляется с "with" :

contact with: Jury members must avoid contact with the defendants and their families. have contact: He is no longer allowed to have any contact with his children

,
а вот у глагола только прямое дополнение:

Anyone with any information about the incident should contact the police. You can always contact me on my home number. His staff were unable to contact him by telephone.