1. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ(r ) = Ae^-r/a, где r – расстояние электрона от ядра; а – постоянная. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А. Готовое решение задачи

2. Волновая функция, описывающая состояние некоторой частицы, имеет вид ψ(r ) = Ae^-r2/2a2, где r – расстояние частицы от силового центра; а – постоянная. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А. Готовое решение задачи

3. Волновая функция, описывающая поведение некоторой частицы, имеет вид ψ(x) = Asin2πx/l, причем она определена только в области 0 ≤ x ≤ l. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А. Готовое решение задачи

4. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ(r ) = A/re^-r2/a2, где A=1/√πa√2π; r – расстояние частицы от силового центра; а - постоянная. Определите среднее значение квадрата расстояния 2> частицы от силового центра. Готовое решение задачи

5. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ(r ) = Ae^-r/a, где А – нормировочный коэффициент, r – расстояние электрона от ядра, а=const – первый боровский радиус. Определите среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон. Готовое решение задачи

6. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ(r ) = Ae^-r2/2a2 где r – расстояние частицы от силового центра: а – некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние r_в частицы от силового центра. Готовое решение задачи

7. Найдите решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы массой m, имеющей импульс р и движущейся в положительном направлении оси x. Готовое решение задачи

8. Волновая функция основного состояния частицы в одномерном потенциальном поле U(x) = mω²₀x²/2, где ω₀=√(k/m), имеет вид ψ(х) = Aе^-ax2 (A - нормировочный коэффициент, а – положительная постоянная). Используя уравнение Шредингера, определите постоянную а и энергию частицы в этом состоянии. Готовое решение задачи

9. Докажите, что собственные значения эрмитова оператора вещественны. Готовое решение задачи

10. Докажите, что оператор L = 1/id/dx – является самосопряженным оператором. Готовое решение задачи

11. Учитывая, что с движением свободной частицы, обладающей определенным импульсом, связывается плоская волна де Бройля, подтвердите, что оператор проекции импульса р_x действительно равен –iћ∂/∂x = ћ/i∂/∂x. Готовое решение задачи

12. Выведите выражение для оператора квадрата импульса. Готовое решение задачи

13. Основываясь на правилах вычисления средних значений, подтвердите вывод о том, что оператор координаты есть действительно сама координата, т.е. х^ = х. Готовое решение задачи

14. Определите среднее значение кинетической энергии частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией ψ(x) = 1/√2le^i/ћpx, если волновая функция нормирована в интервале – l < х < l. Готовое решение задачи

15. Линза, расположенная на оптической скамье между лампочкой и экраном, дает на экране резкое увеличенное изображение лампочки. Когда линзу передвинули на 40 см ближе к экрану, на нем появилось резкое уменьшенное изображение лампочки. Определить фокусное расстояние f линзы, если расстояние от лампочки до экрана равно 80 см. Готовое решение задачи

16. Покажите, что в сферических координатах оператор проекции момента импульса на полярную ось имеет вид L^_z = -iћ∂/∂φ. Готовое решение задачи

17. Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Записав уравнение Шредингера, найдите собственные значения энергии E_n частицы. Готовое решение задачи

18. Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Определите нормированную собственную волновую функцию ψ_n (x), описывающую состояние частицы при данных условиях. Готовое решение задачи

19. Электрон находится в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Определите среднее значение координаты < х > электрона. Готовое решение задачи

20. Докажите, что собственные функции ψ_n (x)=√(2/l)sin(nπ/l)x и ψ_m (x)=√(2/l)sin(mπ/l)x описывающие состояние частицы в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками, удовлетворяют условию ортогональности. Готовое решение задачи

21. Электрон в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l = 200 пм с бесконечно высокими стенками находится в возбужденном состоянии (n = 4). Определите: 1) минимальную энергию электрона; 2) вероятность W обнаружения электрона в первой четверти «ямы». Готовое решение задачи

22. Электрон в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l = 100 пм с бесконечно высокими стенками находится в возбужденном состоянии (n = 3). Определите: 1) энергию электрона в возбужденном состоянии; 2) вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы». Готовое решение задачи

23. Определите длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной l = 0,2 нм из состояния с n = 2 в состояние с наименьшей энергией. Готовое решение задачи

24. Определите ширину l одномерной прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, при которой дискретность энергетического спектра электрона, находящегося в возбужденном состоянии (n = 3), вдвое меньше его средней кинетической энергии при температуре Т = 300 К. Готовое решение задачи

25. Частица массой m движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно протяженный прямоугольный потенциальный порог высотой U₀. Энергия частицы Е > U₀ (см. рисунок). Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы, найдите его решения и определите коэффициенты отражения и прозрачности. Готовое решение задачи

26. Частица массой m = 10^-19 кг, двигаясь в положительном направлении оси x скоростью υ = 20 м/с, встречает на своем пути бесконечно протяженный прямоугольный потенциальный порог высотой U₀ = 100 эВ. Определите коэффициенты отражения R и прозрачности D волн де Бройля для данного порога. Готовое решение задачи

27. Электрон с энергией Е = 1,2 кэВ движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно протяженный прямоугольный потенциальный порог высотой U₀ = 150 эВ. Определите, во сколько раз изменится длина волны де Бройля при прохождении через этот потенциальный порог. Готовое решение задачи

28. Частица массой m движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути бесконечно протяженный прямоугольный потенциальный порог высотой U₀. Энергия частицы Е < U₀. Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы, найдите его решения и определите коэффициент отражения, а также вероятность найти частицу на единице длины. Готовое решение задачи

29. Электрон с энергией Е = 30 эВ встречает на своем пути бесконечно протяженный прямоугольный потенциальный порог высотой U₀ = 31 эВ. Определите относительную плотность вероятности η пребывания электрона в области 2 на расстоянии х = 100 пм от границы областей (т.е. отношение плотности вероятности пребывания электрона в точке х = 100 пм к плотности вероятности его пребывания на границе областей при х = 0). Готовое решение задачи

30. Частица массой m энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно протяженный прямоугольный потенциальный порог высотой U₀. Энергия частицы Е < U₀ (см. рисунок). Определите плотность вероятности обнаружения частицы на расстоянии х от потенциального порога, принимая, что ψ –функция нормирована так, что A₁ = 1. Готовое решение задачи

31. Частица массой m с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l. Энергия частицы Е > U₀. Запишите уравнения Шредингера для стационарных состояний частицы и найдите их решения. Готовое решение задачи

32. Частица массой m с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l. Энергия частицы Е < U₀ (см. рисунок). Зашипите уравнения Шредингера для стационарных состояний частицы и найдите их решения. Готовое решение задачи

33. Две частицы, электрон и протон, обе с энергией Е = 5 эВ, движутся в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 1 пм. Определите отношение вероятностей прохождения частицами этого барьера. Готовое решение задачи

34. Протон и электрон, обладая одинаковой энергией, движутся в положительном направлении оси х и встречают на своем пути прямоугольный потенциальный барьер. Определите, во сколько раз надо сузить потенциальный барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такая же, как для электрона. Готовое решение задачи

35. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,15 нм. Определите в электронвольтах разность энергий U₀ – Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,4. Готовое решение задачи

36. Рассматривая атом водорода, запишите выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром, уравнение Шредингера для стационарных состояний, собственные значения энергии, удовлетворяющие уравнению. Готовое решение задачи

37. Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, нахо¬дящегося в водородоподобном атоме, в сферической системе координат имеет вид

Покажите, что это уравнение можно разделить на три уравнения, каждое из которых зависит только от одной из переменных: r, θ и φ. Готовое решение задачи

38. Найдите нормированную волновую функцию, удовлетворяющую азимутальному волновому уравнению ∂²Ф/∂φ² + m²_lФ = 0. Готовое решение задачи

39. Электрон находится в атоме водорода в 1s-состоянии. Записав стационарное уравнение Шредингера, определите собственное значение энергии, удовлетворяющее этому состоянию. Готовое решение задачи

40. Учитывая, что функция ψ₂ = (1 – r/2a)e^-r/2a удовлетворяет радиальному уравнению Шредингера для атома водорода, определите энергию Е₂ соответствующего уровня. Готовое решение задачи

41. Нормированная волновая функция, описывающая 1s-состояние элект¬рона в атоме водорода, имеет вид ψ₁₀₀ (r ) = 1/√(πa³)e^-r/a, где r – расстояние электро¬на ядра; а – первый боровский радиус. Определите среднее значение <1/r> Готовое решение задачи

42. Электрон в атоме водорода находится в 1s-состоянии. Определите наиболее вероятное расстояние rв электрона от ядра. Готовое решение задачи

43. Нормированная волновая функция, описывающая 1s-состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ₁₀₀ (r ) = 1/√(πa³)e^-r/a, где r – расстояние электрона от ядра; а – первый боровский радиус. Определите вероятность обнаружения электрона в атоме внутри сферы радиусом r=0,01а. Готовое решение задачи

44. Применяя правила отбора, пред¬ставьте на энергетической диаграмме спектральные линии в спектре атома водорода, со¬ответствующие сериям Лаймана и Бальмера. Готовое решение задачи

45. Определите возможные значения орбитального момента импульса L_l электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения E_возб = 12,75 эВ. Готовое решение задачи

46. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d – состоянии. Определите изменение орбитального магнитного момента электрона при переходе атома в основное состояние. Готовое решение задачи

47. Атом водорода помещен во внешнее однородное магнитное поле с индукцией В, причем орбитальный механический момент атома L_l направлен к индукции магнитного поля под углом α. Определите энергию взаимодействия магнитного момента с полем, если электрон в атоме водорода находится в d-состоянии. Готовое решение задачи

48. Спектральный прибор разрешает спектральные линии в видимой области спектра (λ = 500 нм), отличающиеся на Δλ = 10 пм. Определите индукцию В внешнего магнитного поля, необходимого для наблюдения нормального эффекта Зеемана. Готовое решение задачи

49. Построите диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней и спектральных линии при переходах между d- и р-состояниями. Готовое решение задачи

50. Пользуясь Периодической системой элементов, запишите электронную конфигурацию (распределение электронов по состояниям) атома брома, находящегося в основном состоянии. Готовое решение задачи

51. Сколько различных состояний может иметь электрон с главным квантовым числом n = 4? Готовое решение задачи

52. Определите коротковолновую границу λ_min сплошного спектра рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает под напряжением 60 кВ. Готовое решение задачи

53. Определите коротковолновую границу λ_min сплошного спектра рентгеновского излучения, если скорость электронов, бомбардирующих анод рентгеновской трубки, составляет 0,6с. Готовое решение задачи

54. Определите наименьшее напряжение, которое надо приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить все линии K-серии, если в качестве материала анода трубки служит молибден. Готовое решение задачи

55. Определите постоянную экранирования σ для L-серии рентгеновского излучения, если длина волны линии L_α для свинца равна 117 пм. Готовое решение задачи

56. Определите напряжение на рентгеновской трубке с молибденовым анодом (Z= 42), если разность длин волн Δλ между К_α-линией и коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра равна 50 пм. Готовое решение задачи

57. Определите: 1) плотность ядерной материи; 2) радиус Земли, если бы она со своей реальной массой (5,98∙10²⁴ кг) имела плотность ядерной материи. Массу нуклона принять равной 1,67∙10^-27 кг. Готовое решение задачи

58. Длина волны линии К_α ниобия (Z₁ = 41) равна λ₁ = 76 пм. Определите, какому элементу принадлежит линия К_α с длиной волны λ₂ = 251 пм. Готовое решение задачи

59. Зная постоянную Авогадро, определите массу нейтрального атома ₉F. Готовое решение задачи

60. Определите энергию связи ядра атома кислорода ¹⁶₈О. Масса нейтрального атома кислорода равна 2,6552∙10^-26 кг. Готовое решение задачи

61. Ядро урана ²³⁸₉₂U делится на два осколка приблизительно одинаковой массы, расположенные в середине Периодической системы элементов. Пользуясь кривой зависимости удель¬ной энергии связи от массовых чисел (см. рисунок), оцените освободившую¬ся при этом энергию. Готовое решение задачи

62. Определите энергию Е, которую необходимо затратить, чтобы оторвать нейтрон от ядра ¹⁰₄Вe. Масса нейтрального атома ¹⁰₄Вe равна 16,6225∙10^-27 кг. Готовое решение задачи

63. Определите долю кинетической энергии, которую теряет нейтрон при упругом столкновении с покоящимся ядром гелия ⁴2He, если после столкновения частицы движутся вдоль одной прямой. Массу нейтрального атома гелия принять равной 6,6467∙10^-27 кг. Готовое решение задачи

64. Определите, во сколько раз магнетон Бора больше ядерного магнетона,
т.е. найдите μ_В/μ_я Готовое решение задачи

65. Считая постоянную λ радиоактивного распада известной, выведите выражение для периода полураспада T_1/2 радиоактивного ядра. Готовое решение задачи

66. Считая постоянную λ радиоактивного распада известной, выведите выражение для среднего времени жизни τ радиоактивного ядра. Готовое решение задачи

67. Выведите закон изменения массы радиоактивного препарата со временем. Готовое решение задачи

68. Какая доля начального количества радиоактивного изотопа распадется за время, равное средней продолжительности жизни этого изотопа? Готовое решение задачи

69. Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если 3/8 начального количества ядер этого изотопа распалось за время t = 407 с. Готовое решение задачи

70. Постоянная λ радиоактивного распада изотопа кобальта ⁶⁰₂₇Со равна 4,14∙10^-9 с^-1. Определите время, за которое распадется 1/6 начального количества ядер этого радиоактивного изотопа. Готовое решение задачи

71. Первоначальная масса радиоактивного изотопа натрия ²¹₁₁Na (период полураспада Т_1/2 = 62 с) равна 0,3 мг. Определите начальную активность изотопа и его активность через 5 мин. Готовое решение задачи

72. Начальная активность 1 мкг изотопа йода ¹³¹₅₃I равна 4,61 ТБк. Определите период полураспада этого изотопа. Готовое решение задачи

73. Активность радиоактивного изотопа магния ²⁷₁₂Mg уменьшается за t = 44,4 с на η = 5 %. Определите среднее время жизни радионуклида. Готовое решение задачи

74. Зная, что период полураспада радиоактивного изотопа магния ²⁷₁₂Mg равен 10 мин, определите удельную (массовую) активность α этого нуклида. Готовое решение задачи

75. Определите, какой изотоп образуется из изотопа урана ²³⁸₉₂U в результате
трех α-распадов и двух β⁻-распадов. Представьте общую схему распада. Готовое решение задачи

76. Радиоактивный изотоп урана ²³³₉₂U претерпевает шесть α- и три β⁻-распадов. Пользуясь Периодической системой элементов и правилами смещения, определите конечный продукт деления. Представьте общую схему распада. Готовое решение задачи

77. Докажите, что выделяющаяся при α-распаде энергия практически полностью уносится α-частицей. Готовое решение задачи

78. Радиоактивное ядро ²³₁₂Mg претерпело β⁺-распад. Определите энергию Q β⁺-распада. Масса нейтрального атома магния равна 3,8184∙10^-26 кг. Готовое решение задачи

79. В результате столкновения нейтрона с ядром ₅¹⁰В наблюдается испускание α –частицы. Ядро какого элемента возникает в результате реакции? Готовое решение задачи

80. Найдите кинетические энергии продуктов реакции ⁹₅B(n,α) ⁶₃Li, протекающей в результате взаимодействия весьма медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора, если энергия этой реакции составляет 2,8 МэВ. Готовое решение задачи

81. Определите зарядовое число Z и массовое число А частицы, обозначенной буквой х, в символической записи ядерной реакции: 1) ⁷₃Li + ⁴₂Не →¹⁰₅В + х; 2) ⁶₃Li + x →³₁H + ⁴₂Не; 3) ²⁷₁₃Al + ⁴₂Не → ³⁰₁₄Si + х. Готовое решение задачи

82. Фотон с энергией ε = 3,02 МэВ в поле тяжелого ядра превратился в пару электрон – позитрон. Принимая, что кинетическая энергия электрона и позитрона одинакова, определите кинетическую энергию каждой частицы. Готовое решение задачи

83. При достаточно больших энергиях нейтронов (≈ 10 МэВ) на ядре урана ²³⁸₉₂U идет ядерная реакция типа (n, 2n), в результате которой образуется искусственно-радиоактивное ядро, испытывающее (β⁻ -распад. Запишите указанные процессы. Готовое решение задачи

84. При захвате теплового нейтрона ядром урана ²³⁵₉₂U образуются два осколка деления и два нейтрона. Определите зарядовое число Z и массовое число А одного из осколков, если другим осколком является ядро стронция ⁹⁵₃₈Sr. Первый из осколков претерпевает три β−-распада. Запишите реакцию деления и цепочку β⁻-распадов. Готовое решение задачи

85. Определите суточный расход чистого урана ²³⁵₉₂U атомной электростанцией мощностью Р = 300 МВт, если при делении ²³⁵₉₂U за один акт деления выделяется 200 МэВ энергии. Готовое решение задачи

86. Определите, во сколько раз увеличится количество нейтронов в ядерном реакторе за время t = 1 мин, если среднее время жизни нейтронов Т = 90 мс, а коэффициент размножения нейтронов k = 1,003. Готовое решение задачи

87. Покоящийся π⁻ -мезон распался на мюон и антинейтрино. Определите кинетическую энергию мюона. Готовое решение задачи

88. Релятивистский позитрон с кинетической энергией Т = 0,8 МэВ аннигилирует на покоящемся свободном электроне, в результате возникают два γ-кванта с одинаковыми энергиями. Определите, под каким углом друг к другу они разлетаются. Готовое решение задачи

89. При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их аннигиляция, в результате чего возникают два γ-кванта, а энергия частиц переходит в энергию γ-квантов. Определите энергию каждого из возникших γ-квантов, принимая, что кинетическая энергия нейтрона и антинейтрона до их столкновения пренебрежимо мала. Готовое решение задачи

90. Принимая энергию Е релятивистских мюонов в космическом излучении равной 3 ГэВ, определите расстояние, которое сможет пройти мюон в атмосфере за время его жизни, если собственное время жизни мюона t₀ = 2,2 мкс, а энергия покоя E₀ = 100 МэВ. Готовое решение задачи

91. Продукты распада заряженных пионов испытывают дальнейший распад. Запишите цепочку распадов π⁺ и π⁻ -мезонов. Готовое решение задачи

92. Какие схемы мюонного распада возможны и почему: 1) μ⁻→⁰_-1e + ⁰₀ν_e; 2) μ⁻→⁰_-1e + ⁰₀ν_e; 3) μ⁻→⁰_-1e + ⁰₀ν_e + ⁰₀ν_μ? Готовое решение задачи

93. Определите, какие из приведенных ниже процессов разрешены законами сохранения лептонного и барионного чисел: 1) К⁺→⁰₊₁e + π⁰ + ⁰₀ν_e; 2) μ⁺→⁰₊₁e + ⁰₀ν_e + ⁰₀ν_μ 3) К⁻ +¹₁p → Σ⁺ + π⁻ Готовое решение задачи

94. Определите, какие из приведенных ниже процессов разрешены законом сохранения странности: 1) ¹₀n + π⁻ → Ξ⁻ + К⁺ + К⁻; 2) ¹₁p + π⁻ → К⁻ + К⁺ + ¹₀n; 3) ¹₁p + Σ⁻ → Λ⁰ + ¹₀n Готовое решение задачи

95. Вычислить К.П.Д. цикла, состоящего из изобарного, адиабатного и изотермического процессов, если в результате изобарного процесса газ нагревается от Т₁=300 К до Т₂=600 К. Готовое решение задачи

96. Найти изменение энтропии при следующих процессах: а) при нагревании 100 г воды от 0 °С до 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры; б) при изотермическом расширении 10 г кислорода от объёма 25 л до объёма 100 л. Готовое решение задачи

97. Некоторое тело начинает вращаться с постоянным угловым ускорением 0,04 рад/с². Через сколько времени после начала вращения полное ускорение какой-либо точки тела будет направлено под углом β=76° к направлению скорости этой точки. Готовое решение задачи

98. Протон и альфа-частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус R₁ кривизны траектории протона больше радиуса R2 кривизны траектории α-частицы? Готовое решение задачи

99. Магнитная индукции В поля между полюсами двухполюсного генератора 0,8 Тл. Ротор имеет N=100 витков площадью S=400см². Определите частоту n вращения якоря, если максимальное значение ЭДС индукции ε=200В. Готовое решение задачи

100. В проводнике за время t=10 c при равномерном возрастании силы тока от J =1 до J=2 А выделилось количество теплоты Q=5 кДж. Найти сопротивление проводника R. Готовое решение задачи