При каких значениях параметра а уравнение х² + 2(а - 1)х + а² - 8а + 9 = 0 имеет два различных корня, меньших 1?

Эта задача относится к классу задач о расположении корней квадратного трехчлена с параметром относительно некоторого числа А. Возможны три случая: оба корня меньше А; один корень меньше А, а другой - больше А; оба корня больше А.

Для решения таких задач имеется три подхода. Первый подход опирается на специально разработанную теорию, которая содержит алгоритмы решения каждой из задач. Второй подход сводится к проблеме о определения знаков корней квадратного уравнения. Это делается при помощи подстановки х = t +A, в результате которой трехчлен относительно х переходит в трехчлен относительно t. Знаки корней нового уравнения очевидным образом определяют расположение корней квадратного уравнения относительно числа А. Третий подход основан только на той теории, которая изучается в общеобразовательной школе.

Решение I. Пусть х = t + 1. Тогда (t + 1)² + 2(а - 1)(t + 1) + а² - 8а + 9 = 0, t² + 2t + 1 + 2(a - 1)t + 2a - 2 + а² - 8а + 9 = 0, t² + 2at + а² - 6a + 8 = 0.

Так как корни уравнения х₁ и х₂ должны удовлетворять неравенствам х₁ = t₁ + 1< 1 и х₂ = t₂ + 1 < 1, t₁ < 0 и t₂ < 0. Поэтому наша задача может быть переформулирована так: "При каких значениях параметра а уравнение t² + 2аt + а² - 6а + 8 = 0 имеет два отрицательных корня?"

Для этого необходимо и достаточно чтобы выполнялись неравенства: D > 0 (корни существуют), а² - 6а + 8 > 0 (оба корня одного знака), -2a < 0 (сумма корней отрицательна, значит они оба отрицательные).

D = а² - а² + 6a - 8 > 0, 6a > 8, a > 4/3.
а² - 6а + 8 > 0 ⇔ a ∈ (-∞; 2) ∪ (4; +∞).
-2a < 0, a > 0.

Значит, a ∈ (4/3; 2) ∪ (4; +∪).

Решение II. Теория о расположении корней квадратного трехчлена относительно некоторого числа (в нашем случае относительно числа 1) изложена в книге Г.В. Дорофеева "Квадратный трехчлен в задачах". Эту книгу можно прочитать по адресу http://lib.mexmat.ru/books/85823 или скачать тут: http://yadi.sk/d/HOUu5ZFc9Ctyh или http://www.mediafire.com/?hb256u403irue3t или http://ifolder.ru/21421132 . А если не удастся ее найти по указанным адресам, то наберите в строке поиска в ya.ru текст "скачать Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах" и вы обязательно скачаете или прочитаете эту книгу и, используя соответствующие формулы, решите нашу задачу..

Я считаю, что для решения нашей задачи, а значит, и всех аналогичных задач, не нужно знать особых подходов, достаточно владеть теорией решения квадратных уравнений излагаемой по программе общеобразовательной школы.

Решение III.

А это мое решение, которое не использует замысловатых теорий, основано на самых простых знаний школьного курса математики общеобразовательных классов.



Я бы еще предложил выяснить, при каких значениях параметра а уравнение х² + 2(а - 1)х + а² - 8а + 9 = 0 имеет два корня каждое из которых больше 1; один корень больше 1, а другой меньше 1 и оба корня принадлежат, например, промежутку (1; 4).