В учебном пособии (Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. Изуч. Математики/Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 1996) на стр. 145 приаеден следующий иллюстративный пример.

Пример 3. Найдем, при каком значении q уравнение х² - x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 25.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда, используя условие задачи и формулы Виета, можно составить систему уравнений:

Решив эту систему уравнений способом подстановки, мы можем найти корни уравнения х₁ и х₂, а затем вычислить их произведение, равное q. Однако, учитывая то, что нас интересуют не сами корни, а только их произведение, мы можем решить задачу проще.

Возведем обе части второго уравнения в квадрат. Получим:
Заменив в этом равенстве сумму числом 25, будем иметь:

Отсюда xx₂= -12. Ответ: q= -12.

Все ли здесь правильно? Не нужна ли проверка решения задачи, т. е. решение уравнения
х² - x - 12 = 0, а затем вычисление суммы и суммы квадратов найденных корней?

Конечно, в данном случае можно выполнить эту проверку, которая подтвердит правильность авторского решения.

При этом возникает и другой вопрос: "Проверка - необходимый логический элемент или просто подстраховка от случайных вычислительных ошибок?".
Попытаемся ответить на этот вопрос косвенно - путем решения следующей аналогичной задачи.

Задача. Найти, при каком значении q уравнение х² + 5x + q = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 11.

Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения. Тогда
Так как , то 11 + 2х₁х₂ = 25, х₁х₂ = 7. Поэтому q = 7.
Попытаемся выполнить проверку. Уравнение х² + 5x + 7 = 0 не имеет действительных корней. Значит и наша задача не имеет решений.

Приведенный нами пример косвенно доказывает, что проверка решения данного типа задач - необходимый логический элемент ее решения. При отсутствии этой проверки решение не может быть логически правильным.

Дадим и прямое доказательство этого утверждения. Действительно, авторы цитируемого пособия писали: "Пусть х₁, и х₂ - корни уравнения", то есть предполагали, что данное уравнение имеет действительные корни. Таким образом, условие Примера 3 может выполняться только при q = 7. Никто при этом не гарантировал, что при q = 7 данное уравнение имеет решение.

Таким образом, налицо математический ляп в цитируемом учебном пособии, которое предназначено для классов с углубленным изучением математики.

Тема "Метод математической индукции" то изучается в школьном курсе математики, то исключается. Однако, как правило, в так называемых "универсальных" учебниках (Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. Алматы: Атамура, 2005) она обязательно присутствует.

В этой записке я рассмотрю один из примеров автора, который посвящен раскрытию содержания термина "неполная индукция".

Рассмотрим еще один пример. Пусть задан квадратный трехчлен Р(n) = n² + n + 41, где n - натуральное число. При n, равном 1, 2, 3, 4, 5, нетрудно установить, что значения этого квадратного трехчлена - простые числа: Р(1) = 43; Р(2) = 47; Р(3) = 53; Р(4) = 61; Р(5) = 71 и т. д. Отсюда напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами. Однако, эта гипотеза является ошибочной, ибо при n = 41, Р(41) = 41² + 41 + 41 = 41 · 43 не является простым числом.

Трудно себе представить, что в девятом классе у всех учащихся "напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами" (может быть это кажется только автору учебника). Если это все это не так, то, что же делал в этой школе учитель, особенно в классе с углубленным изучением математики?

Необязательно вычислять значения данного многочлена Р(n) = n² + n + 41, при n, равном 1, 2, 3, 4, 5, чтобы сделать заключение, что значение при Р(n) будет составным при n кратном 41.

Здесь я мог бы предложить учителю, работающему с данным учебником рассмотреть следующую задачу.

Задача. Доказать, что значение многочлена Р(n) = n² + n + 41 при n = 40 является числом составным.

Доказательство. Р(40) = 40² + 40 + 41 = 40² + 40 + 40 + 1 = 40² + 2 · 40 + 1 = (40 + 1)² = 41² имеет делители 1, 41, 1681. Значит, 41² - число составное.

Но и эта задача, не является удачной иллюстрацией того, что неполная индукция может привести к ошибочным выводам.

В методических пособиях такие полезные иллюстрации есть. Приведу в качестве примера только одну из них.

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio - наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П. Ферма, проверив, что значение выражения P(n) = при n = 0, 1, 2, 3, 4 принимает значения 3, 5, 17, 257, 65 537 - простые числа, сделал по индукции предположение, что для всех n =0, 1, … числа вида P(n) простые.
Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII в. Л. Эйлер нашел, что P(5) = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 - составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Здесь мной был использован материал из учебника написанного под редакцией известного методиста-математика Н. Я. Виленкина (Алгебра для 9 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/Н.Я Виленкин, Г.С, Сурыило, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред. Н. Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1996).

Понятно, что этот пример удачен в методическом плане, так как не так легко доказать, что P(n) не является генератором простых чисел. Кроме того этот пример интересен и как экскурс в историю математики.

LI 5.09.15

Оформляющийся и все более четко прорисовывающийся сегодня подход в организации системы образования дает основание полагать, что в ближайшее время уровень образованности населения в странах постсоветсткого пространства отнюдь не повысится, и даже не будет соответствовать уровню десяти - пятнадцатилетней давности, а будет неуклонно снижаться и становиться все более легковесным. При существующих подходах - ориентации на ЕГЭ (Россия) и ЕНТ (Казахстан) о повышении уровня образования даже мечтать не приходится.

Какие знания можно проверить при ответе на 30 вопросов в течение 3-4 часов на экзамене в России и 45 минут в Казахстане? Конечно неглубокие, знание зазубренных фактов, дат, событий, но никак ни умение аналитически мыслить, правильно оформлять результаты изысканий.

Ведь при письменном экзамене, например по математике, раньше ученик получал вариант из 5-6 задач, на решение которых он тратил 4-5 часов, а на устном экзамене ему предлагалось за 45-60 минут подготовить ответ всего на три вопроса. При этом на основании решения этих заданий и, возможно, нескольких дополнительных вопросов на устном экзамене, составлялось достаточно объективное мнение не только о знаниях и навыках абитуриентов, но и их возможностях правильно и аргументировано излагать свои мысли.

Теперь же все стало так просто! Выпускнику достаточно правильно ответить на самые простые вопросы и выбрать во всех вопросах, на которые он не знает правильного ответа, один и тот же вариант по своему усмотрению, и тогда он гарантированно получит, как минимум, удовлетворительный аттестат. Простая арифметика типа "Выбирай пепси" - и никакой тебе пересдачи, осени и ответственности. Вот только не развратит ли нас и наших учеников такая простота, и не будет ли множиться безграмотность?

Если поднять материалы этих ЕНТ и ЕГЭ и сравнить по различным годам, то нетрудно обнаружить устойчивую тенденцию к снижению уровня сложности заданий. У чиновников от образования есть наготове оправдательное объяснение - идет выравнивание содержания школьного курса с тем, что выносится на итоговую проверку. Выходит и курс обучения становится все более примитивным? Да, можно объяснить это и так. Однако если вдуматься, то возникает непреодолимое желание спросить: "Кто же кого проверяет?". Министерства и департаменты образования - самоё себя? Органы, которые, к сожалению, недоброкачественно организовывают образование, сами себе ставят и оценку. Но может ли двоечник сам себе поставить двойку? Нет, конечно! Вот и снижается качественный уровень содержания тестовых материалов.

Во многих государствах такого безобразия нет. Как правило, школьное образование аттестуют независимые организации, которые не несут никакой ответственности за качество проверяемых знаний. Аксиома, но которую, при определенных условиях, удобней всего просто игнорировать. Это одна сторона тестовой медали, которую можно и нужно исправить, так как итоговая аттестация учащихся должна проводиться не силами школьных учителей, ни администрациями школ, ни отделами образования и не министерствами образования, а совершенно независимыми от них организациями. Но есть и другие рифы аттестации учащихся. Можно создать независимый орган по проверке знаний, но дело все равно с места не сдвинется. Все упирается на надежность и достоверность инструментов, посредством которых осуществляется проверка знаний и умений учащихся.

Практика работы по преподаванию математики, например, показывает, что во всех тестовых заданиях ЕГЭ и ЕНТ до 60 процентов заданий составлены так, что ответы угадываются с очевидностью, и ученику совсем не нужно выполнять все то, что "под разумевается" заданиями.

Дело не в том, что автор этих строк знает, как натаскивать учащихся на поиск правильных ответов в тестовых заданиях (это теперь знают и умеют делать все - http://school.nordkz.com/inf/ent/1/t2.doc, http://school.nordkz.com/inf/matematika/1/wt1.doc, http://school.nordkz.com/inf/matematika/3/t1.doc), а в том, что это натаскивание никакого глубокого, серьезного отношения, например, к школьному курсу математики не имеет. Уже доказано, что тестовые задания с несколькими ответами для выбора уже в принципе обязательно будут содержать в себе технологические изъяны. Эти изъяны - широкая дорога для получения заранее завышенной оценки на итоговой аттестации. Значит и отбор учащихся в вузы никогда не будет объективным.

С этим согласны и те, кто работает в школах. С каждым годом приемы угадывания правильных ответов становятся все более очевидными и распространенными. Теперь уже разработку этих приемов можно с успехом поручать самим учащимся. Так же, скорей всего, обстоят дела и по другим предметам. Об этом неоднократно писалось в СМИ и на сайтах газет в Интернете
http://school.nordkz.com/.

Социальный вред, ожидаемый в ближайшем будущем от введения итоговой аттестации учащихся в форме тестирования, очевиден. Уже сегодня многие учителя вместо того, что давать глубокие и прочные знания по своим предметам, вынуждены учить своих питомцев логическим приемам обнаружения правильных ответов в тестах, и ряды таких учителей будут с каждым годом увеличиваться. При этом местные органы образования своими требованиями "готовить" учащихся к "итоговому тестированию" поощряют это извращение самого понятия "Образование". Вся система образования сегодня ориентирована на получение учащимися высоких баллов на итоговом тестировании, но не на накопление соответствующих знаний. С каждым годом повышаются баллы выпускников, а соответствуют ли эти результаты реальным знаниям, никто не проверял, да и вряд ли проверит. Ведь учащимся приятно заявить о своих высоких баллах, а органам образования о тенденции увеличения этих баллов.

После введения ЕНТ о работе школы судят по среднему баллу, а не по воспитательной работе, здоровью детей, внеклассным мероприятиям, т.е. человеческий фактор не учитывается за сухими цифрами статистики. Школы же поставленные в такие рамки вынуждены избавляться от учеников, которые не могут набрать высоких баллов. Уже с девятого класса таких учеников отчисляют или, говоря современным языком, "уходят", выдавливают, особенно из элитных учебных заведений, а ведь до этого хватало совести брать деньги с родителей этих детей за оказание так называемых дополнительных образовательных услуг. Где же результаты этих услуг? Не это ли проявление бездушного, не гуманного отношения к детям. Каким бы ни был ребенок - умницей или не очень, он самая высшая ценность в мире. А на практике, чуть ли не "Пошел вон, ты нам не нужен!".

Говорить об объективности школьных оценок уже не приходится. В аттестатах сплошные четверки и пятерки, а что в головах? Во многих школах "ненужные предметы", т. е. те, что не сдаются на ЕГЭ и ЕНТ, заменяются отработкой тестов. Следовательно, дети не получают целостного образования, а только отрывочные знания по отдельным дисциплинам. ЕНТ заставляет многих преподавателей учить не предмету, а заучиванию тестовых заданий, вопросов, готовых ответов - особенно по гуманитарным дисциплинам.

Неудачно заимствованная нами американская система тестирования уже проявила себя как несостоятельная во всем мире. Следовательно, нет смысла ее использовать, наступая на чужие грабли. США, например, уже много лет собирают "мозги" по всем странам, не имея возможности подготовить своих ученых. Все здравомыслящие педагоги и ученые, причем с мировыми именами, называют тестовую систему аттестации знаний элементарной аферой - приключением для чиновников-экспериментаторов, а ученики и педагоги, в таком случае - обыкновенные кролики.

LI 5.09.15