Решение неопредленного интеграла с методом замены |
Как вычислим если нам дано такое интегралы: ∫ x√(x+b)dx или ∫ x2√(x3+b) dx
Таких интегралы будем вычислить методом замены.Для интеграла ∫ x√(x+b) : 1) Заменим функцию под корень на t :
x + b = t
2) Найдем х с этого уравнения: x = t - b 3) Дифференцируем обоих части: dx = dt 4) Поставим найденных величин на х и dx:
∫ x√(x+b)dx = ∫ ( t - b )√t dt = ∫ t3/2dt - b∫ t1/2dt = t3/2+1/(3/2+1) + bt1/2+1 /(1/2+1) +C = t5/2 /(5/2) +bt3/2 /(3/2) +C = (x+b)5/2 /(5/2) +b(x+b)3/2 / (3/2) +C =2( x+b)5/2 /5 + 2(x+b)3/2 /3 +C
Для интеграла: ∫ x2√(x3+b) dx ⇒ 1) x3 + b = t 2) дифференцируем этого уравнения: 2x2 dx = dt ⇒ x2 dx = dt / 2 3) Поставим найденных величин на х и dx : ∫ x2√(x3+b) dx = ∫ √t dt /2 = 1/2 ∫ t1/2 dt = 1 /2 t 1/2+1 /( 1/2+1) + C =
=t3/2 / 2 * / (3/2) +C =t3/2/3 + C= (x3+b)3/2 /3 + C
Примеры:1) ∫ x √(x+10) dx 1)Заменим: x+10 = t 2) Найдем х: x = t - 10 3) Дифференцируем: dx = dt 4) Поставляем на х и dx: ∫ x √(x+10) dx = ∫ (t - 10)√t dt = t5/2/( 5/2 )- 10 t3/2 /(3/2) + C = (x+10)5/2 / (5/2) - 10(x+10)3/2 /(3/2 )+ C =2(x+10)5/2 / 5 -20(x+10)3/2 / 3 +C
2) ∫ x2√(x3+25) dx ⇒ 1) x3 + 25 = t 2) 2x2dx = dt 3) x2 dx =dt / 2 4) ∫ x2√(x3+25) dx =∫ √t dt / 2 = (x3 + 25) /3 +C
Комментировать | « Пред. запись — К дневнику — След. запись » | Страницы: [1] [Новые] |