Затруднения в понимании разницы вызывает тот факт, что все три указанные глагола (to suggest, to propose, to offer) мы переводим на русский язык одним глаголом - "предлагать".
Чтобы почувствовать разницу, нужно абстрагироваться от русского перевода. Рассмотрим каждый из перечисленных Вами глаголов:
TO SUGGEST:
Значений у этого переходного глагола достаточно много, но в конкретной ситуации нас интересует только одно – высказать свою мысль, как предложение для обдумывания, т.е. дать совет, намекнуть, навести на мысль.
В определении точного значения могут помочь:
a) синонимы: to put forward (= to bring forward), to counsel, to advise, to imply, to hint, to recommend.
b) структура предложения:
после suggest может стоять:
- существительное: She wrote to me and suggested a meeting
- герундий: Joan suggested asking her father for his opinion
- придаточное дополнительное с союзом that: It has been suggested that the manager will resign if any more players are sold

TO PROPOSE:
Этот глагол, по сути, синоним предыдущего, в данном случае имеет значение предложить что-либо в качестве плана действий
Часто имеет более официальный оттенок:
The government proposed changes to the voting system.
The changes currently proposed by the local planning authorities
И опять же, Вам помогут:
a) синонимы: to submit, to tender, to offer, to introduce, to propound.
b) структура предложения:
после propose может стоять:
- существительное: He proposed a solution
- герундий: He proposed changing the name of the company.
- придаточное дополнительное с союзом that: In his speech he proposed that the UN should set up an emergency centre for the environment.
- инфинитив: It was proposed to pay the money from public funds.

TO OFFER:
Здесь всё несколько проще, поскольку речь идёт не о намёке, совете и предположении, как в случае с глаголом to suggest, а о конкретном предложении, которое можно принять или отвергнуть. Если Вы предлагаете что-то материальное, используется именно глагол to offer:
Can I offer you something to drink?
a) синонимы: to provide, to propose, to suggest, to give, to tender, to proffer.
b) структура предложения:
после глагола to offer, как правило, употребляется:
- существительное: A number of groups offer their services free of charge.
- инфинитив: The kids offered to do the dishes.

Надеюсь, что какую-то ясность мне удалось внести. Удачи!