СИМОН ТАДРОС, канд. искусствоведения
Харьковский государственный технический университет строительства и
архитектуры
ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ
ИНФОРМАТИВНОСТИ АРХИТЕКТУРНЫХ ОБЪЕКТОВ
Рассматривается фрактальная геометрия как основа формального поиска повыше-
ния информативности архитектурных объектов.
Розглядається фрактальна геометрія як основа формального пошуку підвищення
інформативності архітектурних об’єктів.
The fractale geometry as a basis of formal search of increase informitiveness architectural
objects is considered.
Появление новых строительных материалов и методов конструк-
тивного расчета сложных систем привели архитекторов современности
к проблеме формального поиска в областях, ранее недоступных. Циф-
ровые технологии презентации и расчета вывели данный поиск в об-
ласть фрактальной геометрии, позволив визуализировать столь слож-
ные построения, что только фантазия и графика не способны в полной
мере удовлетворить потребности проектировщика. В то же время, в
силу ряда причин психофизиологического свойства, фрактальность в
архитектуре часто воспринимается как положительный фактор, позво-
ляя добиваться существенного эстетического эффекта.
В статье использовались и анализировались работы в области
теории архитектуры и теории фракталов Ч.Дженкса [1], И.Добрициной
[2], К.Бовилла [3], Б.Мандельброта [4], Р.Блюменфельда [5], А.Воло-
шинова [6], Х.-О.Пайтгена [7]. Анализ данных работ позволяет рас-
смотреть фрактальную геометрию как средство повышения морфоло-
гической информативности архитектурных объектов.
Работа выполнена как часть общего направления исследований
(тема: “Інформаційні дослідження емоційно оцінних характеристик
архітектурної форми”, РК №0102U001358); по программе кафедры
изобразительного и декоративного искусства при Харьковском госу-
дарственном техническом университете строительства и архитектуры.
Целью исследования является анализ методов фрактальной гео-
метрии в применении к исследованию формы в современной архитек-
туре.
Современные исследования в различных отраслях науки потребо-
вали более качественного представления объектов и процессов, не-
обоснованного упрощения их структуры криволинейных поверхно-
стей. Конец ХХ ст. ознаменовался не только открытием поразительно
красивых и бесконечно разнообразных структур, названных фрактала-
ми, но и осознанием фрактального характера геометрии природы.
Как наглядно продемонстрировать свойства фрактальных струк-
тур на рабочем столе с помощью простых интерактивных моделей и
одновременно на экране монитора? Например для того, чтобы отчет-
ливо представить себе, что произойдет с нитью, если ее многократно
скручивать как молекулу ДНК, нашего воображения порой не хватает
и приходится прибегать к действиям. Подлинное пространственное
понимание приходит только в процессе изготовления моделей. Эсте-
тическая привлекательность фрактальных структур столь велика, что
давно назрела потребность разобраться не только в закономерностях
красоты фракталов, но и поставить вопрос о фрактальном характере
современного искусства. Элементы фрактального формообразования
можно обнаружить в ажурной стальной башне В.Г.Шухова и в экспе-
риментальных конструкциях А.Родченко, собранных из стандартных
элементов, в рисунках на тканях и обоях, в череде окон и решёток, в
сетях и коммуникациях современного города.
Появление новых строительных материалов и методов конструк-
тивного расчета сложных систем привели архитекторов современности
к проблеме формального поиска в областях, ранее недоступных. Циф-
ровые технологии презентации и расчета вывели данный поиск в об-
ласть фрактальной геометрии, позволив визуализировать столь слож-
ные построения, что только фантазия и графика не способны в полной
мере удовлетворить потребности проектировщика. В то же время, в
силу ряда причин психофизиологического свойства фрактальность в
архитектуре часто воспринимается как положительный фактор, позво-
ляя добиваться существенного эстетического эффекта. Следует учиты-
вать, также, что фрактальность в архитектуре и искусстве не является
открытием дня сегодняшнего. Фракталами, пусть и в весьма прими-
тивной форме, пользовались мастера с древнейших времен. Особо сле-
дует отметить графиков и архитекторов исламского мира, достигших в
орнаментальном украшении храмов поразительных результатов как
эстетических, так и с точки зрения фрактальной геометрии.
Принципы фракталоподобного формообразования в архитектуре
применяются с давних времен, но лишь к концу XX ст., после появле-
ния книг Б.Мандельброта, использование фрактальных алгоритмов в
архитектурном морфогенезе становится осознанным. Ч.Дженкс [1]
описал переход к новой парадигме в архитектуре под влиянием наук о
сложных системах, включающих фрактальную геометрию и нелиней-
ную динамику. Несколько ключевых зданий, построенных Ф.Гери
(Frank Gehry), П.Эйзенманом (Peter Eisen-man) и Д.Либескиндом
(Daniel Libeskind), выглядят как первые проявления этой новой архи-
тектурной парадигмы. Современные архитектурные течения, опери-
рующие образами сложных поверхностей, математически описывае-
мых нелинейными уравнениями, можно условно называть нелинейной
архитектурой. Ч.Дженкс [1] и И.А.Добрицина [2] писали о нелинейно-
сти и фрактальности архитектуры в общей декларативной форме.
Фрактальная геометрия Б.Мандельброта в определенной мере исполь-
зована для анализа архитектурных форм в книге К.Бовилла [3], един-
ственной к настоящему времени монографии о фракталах в архитекту-
ре, в которой собственно архитектуре посвящена меньшая часть книги.
В ряде статей и сайтов Интернета отмечены повторяющиеся в разных
масштабах элементы архитектуры готических соборов, стиля барокко,
индийских храмов, проведен анализ повторов в классических ордер-
ных формах.
Фрактальная формализация применена К.Бовиллом [3] к рядам
строений вдоль улиц и для определения фрактальной размерности не-
которых архитектурных сооружений (в том числе Ф.Л.Райта и Ле Кор-
бюзье) методом подсчета квадратов; такой анализ устанавливает эсте-
тическое обоснование оценки архитектурного дизайна, позволяющее
дать рекомендации для ухода от мертвящей монотонности стандарт-
ной архитектуры. Однако попытки количественным образом связать
высокое значение фрактальной размерности (отражающее дробность
деталировки) с архитектурной выразительностью не слишком много
дают для понимания фрактальных правил построения архитектурных
форм. Значение фрактальной размерности может служить лишь фор-
мальной характеристикой пространственной сложности объекта, не
учитывающей более важные качественные характеристики. Хотя
обычно с фракталами ассоциируется богатство форм, фракталы могут
быть и эстетически неинтересны, даже скучны. Напротив, в архитек-
туре есть сооружения, практически лишенные фрактальных характе-
ристик и при этом весьма выразительные – например, массивные не-
линейные формы. Фрактальные возможности архитектурных форм
фактически еще не были использованы в полной мере.
Поиск фрактальных образов визуализирующих некоторые архе-
типы фасадов, планов и трехмерных архитектурных форм с привлече-
нием имитационного компьютерного моделирования поможет создать
новый образ, сконструировать его достоверную трехмерную модель и
довести ее до стадии выдачи робочей проектной документации. Объе-
мы расчетов и анализа, проводимые во время проектирования не укла-
дываются ни в какие нормативные границы проектов даже тридцати-
летней давности. Фактически использование формального поиска при
помощи фрактальной геометрии стало доступным лишь в последние
10-15 лет. Современный научный подход с применением фрактальной
геометрии, а также топологии и нелинейной динамики способен вы-
явить здесь множество сходных направлений и решений морфогенеза,
включая не раскрытые ранее аспекты формообразования и создание
потенциально новых архитектурных форм. Ссылаясь на Б.Мандель-
брота: «графическое представление – чудесное средство для сопостав-
ления моделей с реальностью» [4], рассмотрим некоторые графические
фракталы в качестве архетипов архитектурных фасадов и планов.
Алгоритм Серпинского на первых этапах построения дает прооб-
раз таких культовых сооружений, как ступенчатые пирамиды; вытяну-
тые по вертикали здания подобного архетипа – храмовые и крепостные
башни, колокольни. Разумеется, бесконечные повторы какой-либо
структуры в архитектуре невозможны, реальная архитектура обычно
содержит немногие повторы, поэтому фрактальные модели, имити-
рующие архитектурные сооружения (или раскрывающие «генетиче-
ский код» архитектурных объектов), – это протофракталы (термин
Б.Мандельброта для фрактальных структур с немногими повторами).
Кроме того, в архитектуре, как и в музыке, редко встречаются точные
повторы, обычны же вариации темы, образа.
Для силуэта храмов с множеством вертикальных повторяющихся
элементов неким метафорическим прообразом может послужить гра-
фик функции Вейерштрасса – классической фрактальной функции, не
имеющей производных ни в одной точке (соответственно на графике
нельзя провести касательную ни к одной точке), открытой в конце XIX
ст. Несомненно, архитекторы и строители Миланского и подобных
соборов не ведали о функции Вейерштрасса, и мы не утверждаем, что
силуэтные линии собора точно следуют графику функции – этот гра-
фик дает лишь визуальную метафору подобных архитектурных форм.
Множество Кантора – еще один фрактальный алгоритм, пригод-
ный для описания архитектурных форм с симметрично расположен-
ными частями разной высоты, что весьма обычно в архитектуре (про-
стейший архитектурный прием – в средней части здания возвышается
уменьшенное подобие всего здания). Фрактальная структура классиче-
ского множества Кантора дискретна, тогда как в качестве архитектур-
ных прообразов более пригодны связные фракталы, например «сал-
фетка» Серпинского. Соединение дискретных участков множества
Кантора дает связный фрактал – прообраз «сталинской высотки» и
подобных зданий. Множество Кантора с вариациями лакунарности [5]
можно модифицировать простейшим образом, получив, например,
графический морфотип, сходный с архитектурными формами индий-
ских храмов. Фрактальный алгоритм построения дискретного множе-
ства Кантора сходен с алгоритмом формообразования дихотомически
ветвящегося дерева – связного фрактала. Перевернутое дихотомиче-
ское дерево – обобщенный «архитектурный код» морфогенеза устрем-
ленных ввысь культовых сооружений, иерархичность построения ко-
торых выражает идею присутствия высших сил.
Морфогенез нелинейных фракталов порождает динамику обра-
зов, претерпевающих бесконечные метаморфозы в виртуальном про-
странстве, с возникновением сложных форм, сходных с биологиче-
скими и архитектурными. Архитектурный декор, узоры орнаментов
решеток и оград нередко напоминают нелинейные фракталы.
Один из универсальных фрактальных алгоритмов, спиральный,
широко распространенный в неживой (от траекторий элементарных
частиц до циклонов и галактик) и живой природе (раковины моллю-
сков, рога копытных, завитки побегов растений), а также в архитекту-
ре и дизайне, дает множество сходных решений морфогенеза. Трех-
мерная реализация спирального декора в виде параллельных либо рас-
кручивающихся во встречных направлениях и пересекающихся спира-
лей воплощена главами храма Василия Блаженного. «Храм Василия
Блаженного являет собой причудливый фрактал золотого сечения, оп-
ределяемый по меньшей мере восемью членами ряда золотого сече-
ния» [6]. Аккорды золотых пропорций и других фрактальных соотно-
шений создают архитектурную симфонию этого храма.
Архитекторам известны такие реализации трехмерного спираль-
ного алгоритма, как башня Татлина (модель памятника III Интерна-
ционалу) и подобная конструкция спирального завершения здания на
Патриарших прудах.
Согласно положениям фрактальной геометрии можно высказать
следующее:
1. В мире природы не существует статических состояний. Не су-
ществует точек, линий, плоскостей и других объектов фиксированных
размерностей. Размерность объекта является, скорее, величиной дроб-
ной и нестабильной, изменяющейся в соответствии с законами про-
грессий. Она подобна вечно ускользающей величине с течением вечно
ускользающего мига настоящего времени. Измерить ее можно лишь
гипотетически, представив, например, остановку времени в момент
измерения. В этом смысле, размерность объекта – величина, непосред-
ственно связанная с течением времени и в какой-то мере вообще экви-
валентна безмерности.
2. Любая форма естественного происхождения является самопо-
добной, т.е. любая часть целого подобна самому целому и этим обес-
печивается его единство. То есть, согласно данной аксиоме фракталь-
ной модели – структурное существование любой вещи обусловлено ее
самоподобием или самоорганизацией.
3. Любой процесс или движение в природе имеет прерывистый
характер, при котором область разрыва стремится к минимуму, а число
разрывов к максимуму. В силу этого, человеческий мозг, склонный по
своей природе к абстрагированию, видит во всем плавность и непре-
рывность.
Говоря о природоподобии форм и фракталов, отметим, что при-
рода обладает не просто большей сложностью, чем неживые объекты,
а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов
длины природных объектов для всех практических целей бесконечно.
Красота фракталов сочетает в себе красоту симметричных объектов
типа кристаллов; с красотой живых природных объектов, привлека-
тельных именно своей неправильностью недаром создатели удиви-
тельных по красоте и симметрии резных ворот одного из храмов в
Киото умышленно нарушили идеальную симметрию своего творения,
по мнению одних – чтобы придать ему большую выразительность, по
мнению других – чтобы избежать зависти богов.
Фрактальный подход – не панацея, как писал сам Б.Мандельброт,
и вовсе не новая эра в истории человечества, а лишь новый, но доста-
точно эффективный способ анализа, а потенциально – и проектирова-
ния архитектурных форм, который может существенно обогатить язык
архитектурной теории и практики.
А.Гауди дал новую интерпретацию готических форм в своем со-
боре Святого Семейства (Sagrada Familia) – форм, подобных природ-
ным; Гауди ушел от евклидовой геометрии, от симметрии и регуляр-
ности. Фракталоподобные формы собора, подобного песчаному замку,
представлены хаотическими, нерегулярными фракталами, свойствен-
ными природе. Современные представления нелинейной науки порож-
дают новую концепцию соотношения упорядоченности и хаоса как
состояния, включающего элементы непредсказуемости, нерегулярно-
сти, таинственности, подобные богатству и неповторимости природ-
ных форм. Использование концепций нелинейной динамики открывает
перспективу корректного анализа соотношения регулярности и нере-
гулярности, случайности, асимметрии. Эстетика нелинейных форм с
элементами случайности формулируется Г.Айленбергом: «Почему все
же силуэт изогнутого бурями дерева без листьев на фоне вечернего
неба воспринимается как нечто прекрасное, а любой силуэт высоко-
функционального университетского здания таким не кажется, несмот-
ря на усилия архитектора? ...Наше ощущение прекрасного возникает
под влиянием гармонии порядка и беспорядка в объектах природы –
тучах, деревьях, горных грядах или кристалликах снега. Их очертания
– это динамические процессы, застывшие в физических формах, и оп-
ределенное чередование порядка и беспорядка характерно для них. В
то же время наши промышленные изделия выглядят какими-то око-
стеневшими из-за полного упорядочения их форм и функций, причем
сами изделия тем совершеннее, чем сильнее это упорядочение. Такая
полная регулярность не противоречит законам природы, но сейчас мы
знаем, что она нетипична даже для весьма «простых» естественных
процессов. Наука и эстетика согласны в том, что именно теряется в
технических объектах по сравнению с природными – роскошь некото-
рой нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости» [7].
Тенденция органического встраивания сооружений в природное
окружение, интеграция природного и антропогенного ландшафта про-
являются в подобии линий, поверхностей и форм в архитектуре и ди-
зайне природным формам. Эта тенденция ярко выражена в стиле мо-
дерн и «органической» архитектуре. Широко применявшиеся в начале
XX ст. в архитектуре модерна пластичные, «текучие», асимметричные,
биоморфные линии, поверхности, «струящийся» растительный декор,
рельефные изображения голов придают зданиям сходство с живым
развивающимся организмом, имитируют нерегулярность природных
форм.
Архитектуре конца XX ст. также свойственно использование
биоморфных метафор – антропоморфных, зооморфных, фитоморфных,
а также пластичных геоморфных форм, как бы вырастающих естест-
венным образом из земли, с органичной интеграцией архитектуры и
природного ландшафта. В наше время приходит более глубокое осоз-
нание единства природной и антропогенной среды и единства принци-
пов формообразования в «живой» и «неживой» природе, подкрепляе-
мое концепциями нелинейной науки. Современный научный подход
может быть успешно применен для поиска архитектуры, адекватной
гармонии порядка и хаоса природной среды, архитектуры, которая
может стать смысловой доминантой в природном и историческом кон-
тексте, духом места (genius loci).
Почему человек ощущает себя комфортно во фрактальных струк-
турах, когда действующие на него раздражители варьируются с не-
большими отклонениями? По той же причине, по которой попробовать
несколько вин в течение ужина приятней, чем весь вечер пить одно и
то же. Бесконечное повторение приводит к потере чувствительности,
что наглядно демонстрируют проектировщики органи-тек, когда они
тиражируют хорошую идею до истощения. Вообразите прекрасный
Кансайский аэропорт Ренцо Пиано, с той же самой интересной формой
крыла, но вытянутой на целую милю, и это будет скука, возведенная в
квадрат. Напротив, архитекторы, использующие принцип фрактально-
сти – Либескинд, ARM, Morphosis – просто освобождают нас от при-
вычных форм, в то время как австралийская группа LAB и Бэйтс
Смарт [Bates Smart] уже пошли дальше этих первых экспериментов и
создали на их основе новую архитектурную грамматику. Другую легко
опознаваемую группу, использующую фракталы округло-гидродина-
мических очертаний, недавно в Нью-Йорке окрестили «блобмайстера-
ми» (blobmeisters – «капледелы» или «пузыристы»). Этот ярлык имеет
несколько значений, далеко не все из которых льстят представителям
указанной группы. Прежде всего «блобмайстеры» позаботились о том,
чтобы решительно «застолбить участок» для своей темы, что сопрово-
ждалось созданием целой «капельной» грамматики и выдвижением
ряда эзотерических теорий, основанных на аналогиях с компьютерны-
ми алгоритмами – киберпространство, гибридное пространство и циф-
ровая гиперповерхность были здесь ключевыми терминами. Часто
«капледелами» становились молодые университетские преподаватели
вместе со своими студентами, которых нетрудно было вовлечь в амби-
циозные войны за «раздел территории». Грег Линн [Greg Lynn], без
сомнения, наиболее креативный и интеллигентный представитель этой
группы, в серии своих книг настаивал на том, что blub – это более раз-
витая форма куба: она способна транслировать большее количество
информации, чем примитивная коробка; обладая большим порядком
сложности, она, соответственно, обладает и большей потенциальной
чувствительностью.
Однако, эффект этот возникает лишь в том случае, когда грамма-
тика «капли» сопровождается продуманной «фразеологией», т.е. ос-
мысленным образом привязывается к функции. Совсем иное дело, ко-
гда бесхитростное складирование геодезических куполов – как это
происходит, например, в проекте «Эдем» Николаса Гримшоу – приво-
дит к появлению серии пузырчатых форм, напоминающих известные в
геологии «глобулярные кластеры», – весьма эффектных, сочных и
почти съедобных с виду. Эти структуры, однако, на поверку могут
оказаться довольно негостеприимными и неуклюжими, – организация
входа или стыка с землей в них часто остается нерешенной проблемой.
Таким образом, фрактальная живопись, трехмерные фракталы се-
годня это модное творческое течение, возникшее благодаря появлению
цифровых технологий и новому программному обеспечению. Данное
искусство особенно популярно среди математиков и программистов,
благодаря тому, что дает возможность для самовыражения людям,
имеющим творческий потенциал, но не имеющим соответствующего
образования. Однако для архитектора, в первую очередь, это мощный
инструмент, позволяющий осмыслить и визуализировать пространст-
ва, ранее недоступные в силу своей сложности и масштабности. Как и
трехмерное моделирование, породившее дигитальную архитектуру,
фрактальная геометрия может стать мощным стимулом развития архи-
тектуры, не подменяя творца, а раскрывая перед ним новые грани по-
знания мира.
1.Дженкс Ч. Новая парадигма в архитектуре // Проект International. – 2003. – №5. –
С.98-112.
2.Добрицина И.А. От постмодернизма к нелинейной архитектуре. – М.: Прогресс-
традиция, 2004. – 416 с.
3.Bovill C. Fractal geometry in architecture and design. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser,
1996. – 195 p.
4.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Ин-т компьютерных ис-
след., 2002. – 856 с.
5.Blumenfeld R., Mandelbrot B.B. Levy dusts, Mittag-Leffler statistics, mass fractal lacunarity,
and perceiveddimension//Phys. Rev. 1997. Vol. 56, N l. – P.112-118.
6.Волошинов А.В. Об эстетике фракталов и фрактальности искусства // Синерге-
тическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.: Прогресс-
Традиция, 2002. – С.243-248.
7.Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамиче-
ских систем. – М.: Мир,1993. – 176 с.