Идеальные магические квадраты (ИМК) - это наиболее сложные математические головоломки. В таких квадратах магические суммы наблюдаются по всем ломаным диагоналям, а сами МК являются ассоциативными.
Георгий Александров оказался первым, кто разработал общие схемы построения ИМК любого допустимого порядка n. Это удалось сделать благодаря открытию им трех числовых последовательностей, названных Цепями Александрова. Они обозначаются: ЦА-1, ЦА-2, ЦА-3.
Зная цепи Александрова, легко составить два латинских квадрата i и j, объединив которые по формуле n*(i-1)+j, получим ИМК. Оказалось, что идеальный магический квадрат построить легче, чем обычный магический квадрат!
Ниже приведу схемы и таблицы.
Если порядок n - нечетное число, кратное трем, то цепь Александрова строится так:



Ряд Р начинается всегда с чисел 3, 6, 2. Потом идут шесть чисел: 5,7,4,8,12,9. Далее - к последним шести числам в том же порядке прибавляется 6. Схема такая:




Последние две строки этой таблицы относятся только к латинскому квадрату (порядок n = 15+30k - это особый случай).

Вот два примера:




Строим латинские квадраты:







Объединение этих двух латинских квадратов по указанной выше формуле дает идеальный магический квадрат 21х21:




Проверим лиловую ячейку. Имеем: i=17, j=15. Тогда 21*(17-1)+15 = 351.


Особую группу составляют ИМК порядка n=15+30k. Их латинские квадраты рассмотрим на примере n=15 :





Идеальный магический квадрат 15х15:






Пусть n = 8. Строим два латинских квадрата:







Идеальный магический квадрат 8х8 :







Построим латинские квадраты для n = 12 :







Идеальный магический квадрат 12х12 :




Для нечетных n , но не кратных трем, латинские квадраты самые простые:







Идеальный магический квадрат 7х7 такой:





Пусть читатель меня простит за столь насыщенную статью. Но такой результат получен впервые за 4500 лет существования магических квадратов. А это, согласитесь, знаковое событие! Подробно с работами Александрова можно ознакомиться в Википедии (статья "Магический квадрат")

29 июля 2008 г.

Таких магических квадратов мир еще не видел! Подробно читайте в http://renuar911.narod.ru/IMQ12.html

Задачам математики классическим я рад.
Вчера пришла пора искать соотношенья:
Раскладывал фанатиком магический квадрат
В надежде на-гора простые дать решенья.

Запнулся на побасенке порядка номер шесть.
Всю ночь пришлось потеть и, как в гареме, чахнуть.
С нечётными все ясненько – там способ есть Баше,
Двойная чётность же идёт по схеме шахмат.

Лишь одинарной чётности закрыт познаний люк,
Лезь хоть ногой в петлю – не получить ответа.
Узрел в Инете, вдруг, приём с названьем «люкс»,
А мне хотелось свой открыть лучистый метод.

Вот чувствую уже - ну больше не могу!
Извилины в мозгу заклинились убого.
Тут в свете озарения, изогнутом в дугу,
Блеснула, как в пургу, былинная дорога.

Дорога в мир замен и рокировок чисел.
Покинут ров проблем и боли смыт накал.
Теперь я супермен! Хоть на руках носите!
Гоните до краёв наполненный бокал!


***************

Кто любит науку о порядке, тот знает об удивительных формулах и совокупностях чисел. Я приведу лишь три примера, вникнув в которые должны волосы встать дыбом от восхищения.

Вот формула Эйлера, связывающая две величайшие математические константы "ПИ" и "е", да еще включающая в себе мнимое число "i" :


Второй номер нашей программы - прекрасная формула, открытая еще в 1825 году (автора, к сожалению, не знаю). Здесь любое число "а" выражается через сумму трех кубов с абсолютной точностью!



Некоторые виды магических квадратов оказываются таблицей сложения! Посмотрите внимательно: число 33, например, получается как сумма 28 (красное число) и 5 (синее число). И таким простым способом заполняется любая ячейка магического квадрата. До такой классной вещи додумался в 2000 году Георгий Александров. Метод применим для всех МК нечетного порядка, то есть для 3х3, 5х5, 7х7, 9х9 и так далее.



Эту коллекцию можно и нужно пополнять. За работу, товарищи!

Число - это величайшее изобретение человека, соизмеримое разве только с изобретением колеса. Более того - теперь и колесо можно выразить числом. Трудами нескольких поколений математиков создавалась удивительная теория чисел. Великая Теорема Ферма, что была доказана Эндрю Уалсом только в наши дни (спустя 358 лет после ее постановки!), задача о четырех кубах, числа Марсенна, к нахождению которых привлекается Интернет с миллионами его пользователями, дружественные числа, цепи Маркова для исследований случайных процессов, цепи Александрова для построения идеальных магических квадратов, числовые последовательности или ряды и многое, многое другое. Человек научился при помощи чисел описывать цвет, звук, запах, эмоции. Моделирование практически всех физических процессов теперь заменяет более дешевое и качественное численное моделирование. Впрочем, об этом можно говорить и говорить. Здесь же я приведу небольшое эссе, связанное с числами.
***

Пифагор! Это действительно гений пророчества!



Фрагмент гравюры А.Дюрера "Меланхолия". Здесь изображен магический квадрат четвертого порядка.


Это уже пандиагональный магический квадрат восьмого порядка, построенный Г.Александровым



Число 45. В этом возрасте женщина - опять ягодка.

В нем суммы равны не только по строкам, столбцам и главным диагоналям, но и по всем ломаным диагоналям тоже. К тому же он ассоциативный, то есть сумма двух любых центрально противолежащих чисел постоянна.
.
.

Эта великолепная картина создана при помощи математики. Я ее обязательно реализую в масле и подберу (или сам изготовлю) суперсовременную рамку. Мне бы очень хотелось услышать пожелания и критические замечания. Это пойдет на пользу Ее Величеству Искусству.

Теорема Пифагора это: X^2 + Y^2 = Z^2. Известны все решения знаменитого уравнения в целых числах.
Но данная теорема - лишь частный случай диафантова (то есть целочисленного) уравнения X^2 + Y^2 = Z^n , где n = 1, 2, 3, 4, ...
Для того, чтобы найти все решения последней зависимости, был придуман видоизмененный треугольник Паскаля.
С точки зрения алгебры, получается результат в виде бинома (u-v*i)^n, где i - комплексное число. В параметр X входят слагаемые без i , параметр Y составлен только из комплексных слагаемых, но знак i не учитывается.
Наука движется вперед, в болоте тонут заблужденья.