С одноцветным плетением все просто: чтобы не было узелка -- достаточно намотать много-много нитки на первый челнок, затем перемотать половину на второй.

Ну или заполнить первый челнок, затем (не обрезая нитку) намотать нужное количество на картонку/пластмасску/что-то еще, а оттуда -- на второй челнок.

С многоцветным немного сложнее.
------
Начинаем колечко. Берем ниточку, как показано на фото (пунктиром -- как ниточка проходит под пальцем).
(И да -- я держу пальцы неклассическим способом, лично мне так удобнее.)

Первая половина узла.
Короткий кончик надо пропихнуть в узел, чтобы он спрятался вместе с ведущей ниткой.

Обратный узел.
Прячем кончик аналогичным образом.

Для закрепления достаточно сплести три-четыре узла (я обычно вплетаю хвостик до первого или второго пико).
Если в самом начале образовалась петелька -- потяните за короткий хвостик, и она уйдет.
После этого хвостик нужно отрезать как можно ближе к узлам.

Готовое колечко.
В самом начале -- едва заметное утолщение.

Подсоединяем ниточку другого цвета.
Просовываем ее в кольцо...

...плотно подтягиваем к основанию...

...и точно так же прячем под узлы.
Сначала под прямой...

... затем под обратный.

Три-четыре узла -- хвостик закреплен, можно отрезать.

Готовая дуга.
И никаких узлов!

Кстати, точно так же в начале можно приплести не дугу, а другое кольцо.

Маленькая "авария" :) Нитка, которой плели колечки, закончилась.
Оставляем хвостик 5-7 см.

Начинаем новое колечко, как делали на фото 4-7.

Соединяем, где положено по схеме. Доплетаем и стягиваем.

А теперь берем оставшийся от предыдущей нитки хвост, просовываем в новое кольцо и завязываем узел. Самый обычный.

Плотно подтягиваем узел к дуге.
(Верхняя белая нитка -- к челноку. Та, что пониже -- хвостик.)

Ну вы сами все поняли, да? :)) Обрезать не забудьте :)

Ниточки дуги тоже имеют тенденцию заканчиваться не вовремя.

Просовываем ниточку в кольцо, как и на фото 9-10...

...и оплетаем уже два хвостика -- старый и новый.

В этом случае утолщение несколько заметнее, но в общей массе завитушек какой-нибудь большой работы его все равно сложно увидеть.

Несколько иначе приплетается дуга, если работа начинается с трилистника (или двулистника).

Берем трилистник так, чтобы самое первое кольцо было слева, последнее (и нитка к челноку) -- справа.

Нитку от второго челнока вставляем в ПЕРВОЕ (левое) кольцо.

Подтягиваем к основанию кольца...

...а дальше все как и прежде.

К вопросу "А почему, собственно, на фото 29 нитка подцепляется к первому кольцу?"
А потому что она и должна там быть, если плести как обычно :)

И напоследок про плетение замкнутых мотивов одним челноком.
Первое колечко (вверху, в центре, с немного растянутым основанием) плетем как на фото 4-7.
В конце концов у нас остается всего один хвостик. Его подвязать и спрятать значительно проще, чем если бы их было два.

Завязываем ниточку вокруг кольца, не забываем оставить ножку!
Потом завязываем еще раз и утягиваем хвостик на обратную сторону.

Оставшийся кончик убираем кто как привык (вшить в узелки, залить клеем/лаком и обрезать....).