Цитата сообщения ††NiGhT_eLf††
Министерство образования
Российской федерации

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ








Т.В.Афанасьева



Основы визуальной алгоритмизации

Учебное пособие








Ульяновск 2002




УДК 681.3 (075)
ББК 32.81я73

Т.В.Афанасьева
Основы визуальной алгоритмизации: Учеб. пособие для студентов спец. 5102, 5525, 5501/ Под ред. С.Г.Валеева. - Ульяновск , 2002. - с.
Учебное пособие разработано на кафедре прикладной математики и ин-форматики в соответствии с учебными программами для студентов технических и математических специальностей. Содержание включает изложение методиче-ских приемов по практическому составлению визуальных алгоритмов, которые могут быть использованы для подготовки к выполнению практических заданий по курсу "Информатика" и "Программирование".
В данной работе определено место проектирования алгоритмов при ре-шении задач на ЭВМ, рассмотрена технология проектирования и способ про-верки несложных визуальных алгоритмов, приведено множество примеров и заданий для самостоятельного выполнения, алгоритмическое решение некото-рых из них (эти задания отмечены звездочкой ) имеется в конце данного учеб-ного пособия. Для проверки полученных знаний можно воспользоваться тесто-выми заданиями, приведенными в приложении.
Учебное пособие предназначено для студентов вузов дневной, вечер-ней, заочной и дистанционной форм обучения.

УДК 681.3 (075)
ББК 32.81я73

Рецензенты:
доцент ульяновского филиала С Г И Иванов В.С.


Утверждено редакционно-издательским советом
Ульяновского государственного технического
университета в качестве учебного пособия.

@ Оформление УлГТУ, 2001
@ Афанасьева Т.В., 2001
ISBN 5-7695-0330-0
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 4
1. АНАЛИЗ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ И ЕЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ 5
2.ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 7
3.ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ 9
4.ОСНОВНЫЕ СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГОРИТМОВ 10
5.ВИЗУАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ 11
6.РАЗВЕТВЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ 13
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 19
7.ЦИКЛИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ 19
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 22
8.АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧИСЕЛ 25
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 27
9.АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ОДНОМЕРНЫХ ЧИСЛОВЫХ МАССИВОВ 27
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 37
10. АЛГОРИТМЫ СОРТИРОВКИ ОДНОМЕРНЫХ МАССИВОВ 37
10.1. СОРТИРОВКА МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ПРОСТОГО ВЫБОРА 38
10.2.СОРТИРОВКА МЕТОДОМ ПАРНЫХ ПЕРЕСТАНОВОК 41
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 42
11. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ УПОРЯДОЧЕННЫХ МАССИВОВ 42
11.1.ПОИСК ЭЛЕМЕНТОВ В УПОРЯДОЧЕННОМ МАССИВЕ 42
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 44
12.АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ОДНОМЕРННЫХ СИМВОЛЬНЫХ МАССИВОВ 44
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 48
13.АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ДВУМЕРНЫХ МАССИВОВ 48
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ 53
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТЕСТОВЫЙ САМОКОНТРОЛЬ 54
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ И ПРОГРАММНЫХ ФРАГМЕНТОВ 57
СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ И ТЕРМИНОВ 59
ЛИТЕРАТУРА 63
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 63

ВВЕДЕНИЕ

Решение любой задачи является творческим процессом, кото-рый состоит из нескольких последовательных этапов. К ним отно-сятся :
А. Анализ постановки задачи и ее предметной области
1. понимание постановки и требований исходной задачи, определе-ние предметной области, для которой поставлена задача,
2. анализ предметной области, выявление данных, которые фикси-руют входную и выходную информацию (определение их струк-туры и свойств ),
определение отношений между данными, условий и ограничений, накладываемых на эти отношения,
Б. Формальное моделирование решения задачи
3. выбор и применение формальной системы для описания модели предметной области и решения задачи,
4. формирование основной идеи, выбор методов решения задачи,
5. определение технологий, средств и исполнителя решения задачи, построение алгоритмов, реализующих выбранные методы,
В. Практическое решение
6. применение выбранных методов и средств для решения ,
7. анализ полученных результатов.
Эти этапы ориентированы для получения решения не отдельно взятой, конкретной задачи, а некоторого класса задач данного типа. Этап построения алгоритмов , реализующих выбранные методы ре-шения задачи, детализирует и визуализирует процесс ее решения. Алгоритмизация позволяет уже на этом этапе оценить эффектив-ность решения, уточнить методы решения для различных потоков входных данных и выявить некоторые ошибки.
В этой последовательности наиболее трудоемким и рутинным явля-ется этап применения выбранных методов и средств для решения за-дачи. В настоящее время наиболее распространенным средством для решения задач является ЭВМ. Применение выбранных методов и алгоритмов для решения на ЭВМ включает дальнейшую детализа-цию ее решения за счет описания последовательности применяемых операций в виде программы для ЭВМ. Это придает процессу реше-ния не только визуальные качества, но и качества интерактивности.
Не все задачи, решаемые с помощью ЭВМ, требуют составле-ния сложных программ. Например, задачи вычислений в электрон-ных таблицах или задачи поиска и выборки данных в базах данных. Решение некоторых задач благодаря внедрению новых информаци-онных технологий вообще не требуют программирования, что рас-ширяет сферу применения ЭВМ. Однако, и при решении этих за-дач необходимо выполнение вышеприведенных этапов.
Целью данной работы является рассмотрение этапов реше-ния задачи с использованием ЭВМ, при этом наибольшее внимание уделяется составлению алгоритмов или алгоритмизации, так как, на мой взгляд, этот этап является достаточно трудоемким и важным. Любые ошибки, возникающие при построении алгоритмов, приводят к серьезным погрешностям при решении задач.
Эта работа предназначена для тех, кто не умеет, но стремится научиться использовать ЭВМ при решении задач, составлять кор-ректные алгоритмы и на их основе правильные программы. Умение составлять алгоритмы позволит получить детальное решение и мо-жет быть использовано при любых технологиях проектирования программ от структурного программирования до объектно-ориентированной и компонентно-ориентированной технологии.

1. АНАЛИЗ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ И ЕЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ

На первом этапе уточняется постановка задачи, после чего вы-являются отдельные явления, объекты, процессы, их связи и зави-симости предметной области.
Здесь определяются такие понятия как исходные и результи-рующие данные, абстрактно представляющие информацию о про-цессах предметной области реального мира, а также поясняются ка-ким образом из исходных данных могут быть получены результи-рующие.
Исходные данные должны быть полными, т.е. содержать дан-ные, необходимые и достаточные для решения задачи. Если данные неполные, необходимо приложить дополнительные усилия для сбо-ра дополнительных сведений; эта ситуация может также возникнуть на последующих этапах при выборе метода решения.
Различают исходные данные трех видов: постоянные, услов-но-постоянные и переменные.
Постоянные исходные данные - это данные, которые сохраня-ют свои значения в процессе решения задачи (математические кон-станты, координаты неподвижных объектов) и не зависят от внеш-них факторов.
Условно-постоянные данные - это данные, которые могут иногда изменять свои значения; причем эти изменения не зависят от процесса решения задачи, а определяются внешними факторами (ве-личина подоходного налога, курс валют, количество дней в году).
Переменные данные - это данные, которые изменяют свои значения в процессе решения задачи.
На этом этапе важно не только классифицировать данные по отношению к процессу решения, но определить их наименование, тип, структуру и ограничения, накладываемые на значения. Жела-тельно также определить допустимые и недопустимые операции по отношению к различным типам исходных данных.

Классификация данных по структурному признаку




Простые Структурированные



Нечисловые Числовые Однородные Неоднородные

Рис. 1. Классификация данных

На рис.1 представлена классификация данных.
Данное относят к простому типу, если в любой момент времени оно определяет одно и только одно значение. Диапазон изменения возможных значений определяется типом данных. Например, требу-ется вычислить площадь поверхности некоторого тела. Очевидно, что для представления информации о вычисляемой площади по-верхности некоторого тела достаточно использовать данное просто-го числового типа. Простые данные определяют такое отношение: одно имя - одно значение.
Структурированные данные отличаются от простых тем, что к ним применимо другое отношение: одно имя - много значений. Если все элементы, входящие в такую структуру, однотипны, то такая структура называется однородной, в противном случае - неоднород-ной. Классическим примером однородной структуры является мас-сив, являющийся последовательностью однотипных значений, та-ких как, например, (2,51,3,7,88). Неоднородная структура в отличие от однородной содержит значения различных типов, относящихся к одному понятию или объекту, и, значит, такое структурированное данное несет в себе больше информации. Для представления неод-нородных структур используют запись. Запись - это структура, предназначенная для представления данных различного типа. Запись состоит из поименованных полей, каждое из которых должно со-держать значение определенного типа.
Рассмотрим простой пример. Задача заключается в определе-нии в некоторой стране города с максимальным количеством жите-лей. Данные, которые необходимо проанализировать, это нечисло-вые данные, содержащие информацию о названии города, и число-вые данные, содержащие информацию о численности населения в этом городе. В качестве структуры, содержащей данные о названии города и количестве в нем жителей, следует выбрать неоднородную структуру - запись, пример которой изображен в таблице 1.

Таблица 1.Пример записи

Имя поля: Город Имя поля: Количество жителей
Тип поля: Строка символов Тип поля: Число
Значение: Москва Значение: 8 578 676

В качестве структуры, содержащей информацию о множестве городов рассматриваемой страны, можно выбрать однородную структуру типа массив, состоящий из записей таблицы 1.
Определение отношений между данными, условий и ограниче-ний, накладываемых на значения данных и эти отношения, зависит от конкретной постановки задачи и требований пользователя.
В результате анализа постановка и требования задачи могут быть представлены в обобщенном виде.

2.ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

После проведения анализа постановки задачи, выявления дан-ных, их структуры и отношений между ними можно приступить к построению формальной модели. Это наиболее важный этап в про-цессе решения задачи.
Модель - это упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении. Моделирование - построение моделей для ис-следования и изучения моделируемого объекта, процесса, явления с целью получения новой информации при решении конкретных за-дач.
Для описания модели предметной области решаемой задачи необходимо выбрать некоторую формальную систему. Обычно, ис-ходя из постановки задачи, можно сразу определить один или не-сколько видов моделей, подходящих для описания и моделирования решения вашей задачи: математические, геометрические, структур-ные, логические и др.
Наиболее распространенными и хорошо изученными являются математические модели, описывающие зависимости между данными числового типа. Например, в качестве математической модели звез-ды можно использовать систему уравнений, описывающих процес-сы, происходящие в недрах звезды. Математической моделью дру-гого рода являются математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный план работы предприятия. К основным достоинствам математических моделей безусловно относятся хо-рошо изученные и широко применяемые математические методы решения большого класса задач, что значительно облегчает форми-рование основной идеи и выбор методов решения задачи.
Приступая к разработке модели, следует попытаться решить задачу для конкретных входных данных, затем обобщить получен-ное решение на основе его анализа для любых значений входных данных. Перед тем как определить решение задачи для конкретных входных данных целесообразно найти ответ на следующие вопросы:
Существуют ли решения аналогичных задач?
Какая математическая модель больше всего подходит для решения этой задачи?

Пример 1.Постановка задачи. Требуется определить пригодность данной ауди-тории для проведения учебных занятий.
Решение.
Этап 1. Анализ постановки задачи и ее предметной области.
В результате анализа предметной области, выявляем, что эта предметная область связана с образовательным процессом. И постановка задачи может быть переформулирована следующим образом. Определить, подходит ли некоторая аудитория для проведения занятий группы учеников при некоторой норме площади для каждого ученика. Введем обозначения для входных и выходных данных. Исходные данные должны быть представлены простыми переменными значениями числового типа: А - ширина аудитории, B - ее длина, К - количество учеников в группе, N - допустимое минимальное количество квадратных метров для одного ученика (норма ), M - количество парт в аудитории. В качестве вы-ходных данных будут выступать сообщения: " Аудитория может быть исполь-зована для поведения учебных занятий " и " Аудитория не может быть исполь-зована для поведения учебных занятий ".
Этап 2. Формальное решение.
Определим отношения между входными и выходными данными. Для это-го введем промежуточные данные числового типа : S - площадь аудитории, C - требуемая по нормам площадь для проведения занятий для группы из К учени-ков, D - требуемое количество парт для обучения группы, состоящей из К уче-ников. Опишем соотношения между входными и выходными данными, исполь-зуя математические зависимости. Математическая модель:
S = A*B,
C=N*K, S>=C, K<=2*D.


3.ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ

Слово "алгоритм" появилось в 9-м веке и связано с именем ма-тематика Аль-Хорезми, который сформулировал правила выполне-ния четырех арифметических действий над многозначными числа-ми.
В настоящее время понятие алгоритма - одно из фундаменталь-ных понятий науки информатика. С одной стороны алгоритм явля-ется предметом изучения такой отрасли математики как теория ал-горитмов (Марков [1]), с другой стороны в информатике существует неформальное определение алгоритма, и алгоритмизация выступает в качестве общего метода информатики.
Объектом приложения алгоритмов являются самые различные науки и области практической деятельности (Хохлюк[3],Ахо [2]). Широкое применение алгоритмов для решения практических задач не только при использовании ЭВМ позволяет рассматривать эту об-ласть информатики как отдельную дисциплину - алгоритмику.
Алгоритм - это точно определенная последовательность дейст-вий для некоторого исполнителя, выполняемых по строго опреде-ленным правилам и приводящих через некоторое количество шагов к решению задачи.
Исполнитель алгоритмов определяет элементарные действия, из которых формируется алгоритм. Отдельные действия, составляющие алгоритм, называются операциями. При этом под операцией пони-мается как какое-то единичное действие, например, сложение, так и группа взаимосвязанных действий.

Основными особенностями любого алгоритма являются реше-ние задачи в обобщенном виде и возможность выполнять действия по решению задачи для конкретных значений (не только человеку, но и различным техническим устройствам (исполнителям)). Основ-ным исполнителем несложных алгоритмов является человек. Доста-точно вспомнить последовательность действий для решения систем линейных уравнений, вычисления корней уравнений.
При решении сложных задач исполнителем является ЭВМ и со-ставление алгоритма решения задачи является необходимым этапом, детализирующим метод решения для дальнейшего программирова-ния. Программа осуществляет еще более глубокую детализацию ре-шения и его визуализацию.
Свойства алгоритма:
Определенность - выполнив очередное действие, исполни-тель должен точно знать, что ему делать дальше.
Дискретность - прежде, чем выполнить определенное дей-ствие, надо выполнить предыдущее.
Массовость - по одному и тому же алгоритму решаются однотипные задачи и неоднократно.
Понятность - алгоритм строится для конкретного ис-полнителя человеком и должен быть ему понятен. Это облегчает его проверку и мо-дификацию при необходимости .
Результативность - алгоритм всегда должен приводить к ре-зультату.

Можно сказать, что в процессе формального решения задачи, ее решение сначала описывается на языке математики в виде систе-мы формул, а затем на языке алгоритмов в виде некоторого процес-са, в котором используются ранее определенные математические формулы и условия их выполнения. Таким образом, алгоритм может рассматриваться как связующее звено в цепочке "метод решения - реализующая программа".

4.ОСНОВНЫЕ СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГОРИТМОВ

Алгоритм моделирует решение задачи в виде точно определен-ной последовательности действий для некоторого исполнителя по преобразованию исходных данных в результирующие. Процесс со-ставления алгоритмов называют алгоритмизацией.
Алгоритм, реализующий решение задачи, можно представить различными способами: с помощью графического или текстового
описания, в виде таблицы значений. Графический способ представ-ления алгоритмов имеет ряд преимуществ благодаря визуальности и явному отображению процесса решения задачи. Алгоритмы, пред-ставленные графическими средствами, получили название визуаль-ные алгоритмы. Текстовое описание алгоритма является достаточно компактным и может быть реализовано на абстрактном или реаль-ном языке программирования в виде программы для ЭВМ. Таблицы значений представляют алгоритм неявно, как некоторое преобразо-вание конкретных исходных данных в выходные. Табличный способ описания алгоритмов может быть с успехом применен для проверки правильности функционирования разработанного алгоритма на кон-кретных тестовых наборах входных данных, которые вместе с ре-зультатами выполнения алгоритма фиксируются в "таблицах трас-сировки".
Таким образом, все три способа представления алгоритмов можно считать взаимодополняющими друг друга. На этапе проекти-рования алгоритмов наилучшим способом является графическое представление, на этапе проверки алгоритма - табличное описание, на этапе применения - текстовая запись в виде программы.

5.ВИЗУАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ

При проектировании визуальных алгоритмов используют спе-циальные графические элементы, называемые графически блоками, которые представлены на рис. 2. Результатом алгоритмизации решения задачи является блок-схема алгоритма, состоящая из некоторой последовательности таких графических блоков.



Рис.2. Основные блоки визуальных алгоритмов


Общими правилами при проектировании визуальных алгорит-мов являются следующие:
" В начале алгоритма должны быть блоки ввода значений входных данных.
" После ввода значений входных данных могут следовать блоки обработки и блоки условия.
" В конце алгоритма должны располагаться блоки вывода значений выходных данных.
" В алгоритме должен быть только один блок начала и один блок окончания.
" Связи между блоками указываются направленными или нена-правленными линиями.
Этап проектирования алгоритма следует за этапом формального решения задачи, на котором определены входные и выходные дан-ные, а также зависимости между ними.
При построении алгоритмов для сложной задачи используют системный подход с использованием декомпозиции (нисходящее проектирование сверху-вниз). Как и при разработке любой сложной системы, при построении алгоритма используют дедуктивный и ин-дуктивный методы. При дедуктивном методе рассматривается част-ный случай общеизвестных алгоритмов. Индуктивный метод приме-няют в случае, когда не существует общих алгоритмических реше-ний.
Одним из системных методов разработки алгоритмов является метод структурной алгоритмизации. Этот метод основан на визуаль-ном представлении алгоритма в виде последовательности управ-ляющих структурных фрагментов. Выделяют три базовые управ-ляющие процессом обработки информации структуры: композицию,
альтернативу и итерацию.С помощью этих структур можно описать любые процессы обработки информации.
Композиция (следование) - это линейная управляющая конст-рукция, не содержащая альтернативу и итерацию. Она предназначе-на для описания единственного процесса обработки информации.
Альтернатива - это нелинейная управляющая конструкция, не содержащая итерацию. Она предназначена для описания различных процессов обработки информации, выбор которых зависит от значе-ний входных данных.
Итерация - это циклическая управляющая структура, которая содержит композицию и ветвление. Она предназначена для органи-зации повторяющихся процессов обработки последовательности значений данных.
В соответствии с наличием в алгоритмах управляющих струк-тур композиции, альтернативы и итерации алгоритмы классифици-руют на: линейные, разветвленные и циклические алгоритмы.
Линейные алгоритмы не содержат блока условия. Они предна-значены для представления линейных процессов. Такие алгоритмы применяют для описания обобщенного решения задачи в виде по-следовательности модулей. Пример линейного алгоритма приведен на рисунке 3.





Рис. 3. Пример линейного визуального алгоритма




6. РАЗВЕТВЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ

Разветвленные алгоритмы в своем составе содержат блок усло-вия и различные конструкции ветвления. Ветвление - это структура, обеспечивающая выбор между альтернативами.








а) ветвление б)неполное ветвление в) многоальтернативный выбор

Рис. 4. Структуры ветвления


Каждая управляющая структура ветвления имеет один вход и один выход. Ветвления содержат блок условия, в котором записы-вают логические условия, такие как А >С , X<= Y. В зависимости от значений переменных А,С в управляющей структуре ветвления на рис. 4 а) условие А >С принимает значение "истина" или "ложь" и процесс вычислений включает блок действия Z=A или Z=C. Анало-гично происходит и в управляющей структуре неполного ветвления (рис. 4 б)). Только в этом случае , если условие X<= Y истинно, то выполняется действие С=Х, в противном случае никаких действий не выполняется.
В управляющей структуре многоальтернативный выбор в блоке условия записывается переменная, в данном случае Х, которая мо-жет принимать различные значения (рис. 4в)). Если значение пре-менной Х совпадет с одним из значений в блоке действия, то вы-полняется действия , записанные в этом блоке. Например, если Х=1, то выполнится действие У=1. Если значение Х не совпало ни с од-ним из значений, указанных в блоках справа, то выполняется дейст-вие в блоке слева, которого также как и в неполном ветвлении мо-жет и не быть.

Пример 2.Составить алгоритм нахождения минимального значения из 3-х чисел. Решение. Для определения минимального значения будем использовать провер-ку пары значений. Визуальные разветвленные алгоритмы приведены на рис.5,6,7. Эти алгоритмы использует для обозначения чисел переменные значе-ния А,В,С и вложенные структуры ветвления.






Рис. 5. Поиск минимального значения из трех чисел A,B,C при помощи двойного сравнения.













Рис. 6.Поиск минимального числа из трёх А,В,С.
Метод последовательного сравнения .




Пример 3. Составить алгоритм определения находится ли точка М с координа-тами Х,У на окружности радиуса R.
Решение. Визуальный алгоритм приведен на рис. 8.Для решения в нем используется математическая модель в виде формулы окружности R2 = X2+Y2.




Рис. 7.Поиск минимального Рис. 8. Определить находит-
числа из трёх А,В,С. Метод ся ли точка М с координа-
сравнения с промежуточной ми Х,У на окружности
переменной М. радиуса R.




Пример 4. Составить алгоритм определения корней уравнения (X2+B*X+C=0).
Решение. При составления этого алгоритма надо рассмотреть случаи, когда уравнение не имеет корней и когда имеется только один корень.Обозначим корни уравнения через переменные Х1,Х2. D - промежуточная переменная для вычисления дискриминанта. Алгоритм вычисления корней уравнения заданного вида приведен на рис. 9.





Рис.9. Алгоритм вычисления корней уравнения X2+B*X+C=0

Задания для самостоятельного выполнения
Составить визуальные разветвленные алгоритмы для следующих за-дач.

1.Для двух чисел Х,У определить, являются ли они корнями уравнения А*Р^4+D*P^2+C=0
2.Если среди трех чисел А,В,С имеется хотя бы одно четное вычислить макси-мальное, иначе - минимальное
3.Ввести положительное А>=1. Найти наибольшее из выражений вида 1\А и SIN(A).
4.Ввести два числа . Меньшее заменить полусуммой, а большее - удвоенным произведением.
5.Ввести три числа А,В,С . Удвоить каждое из них , если А>=В>=С, иначе по-менять значения А и В.
6.Определить является ли точка с координатами X,Y точкой пересечения диа-гоналей квадрата со стороной R ,одна вершина которого расположена в начале координат.
7.* Определить значения функции в зависимости от значения аргумента

а*х2 , если х > 10
у= 1/х , если -10 х 10
Sin(х) , если х < 10


7. ЦИКЛИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ

Циклические алгоритмы являются наиболее распространенным видом алгоритмов, в них предусматривается повторное выполнение определенного набора действий при выполнении некоторого усло-вия. Такое повторное выполнение часто называют циклом.
Существуют два основных видов циклических алгоритмов: циклические алгоритмы с предусловием, циклические алгоритмы с постусловием. Они отличаются друг от друга местоположением ус-ловия выхода их цикла.
Цикл с предусловием начинается с проверки условия выхода из цикла. Это логическое выражение, например I<=6. Если оно истин-но, то выполняются те действия, которые должны повторяться. В противном случае, если логическое выражение I<=6 ложно, то этот цикл прекращает свои действия.
Цикл с постусловием функционирует иначе. Сначала выполня-ется один раз те действия, которые подлежат повторению, затем проверяется логическое выражение , определяющее условие выхода из цикла, например, I>6 .Проверка его осуществляется тоже по-другому. Если условие выхода истинно, то цикл с постусловием прекращает свою работу, в противном случае - происходит повторе-ние действий, указанных в цикле. Повторяющиеся действия в цикле
называются "телом цикла". Разновидности циклов приведены на рис. 10а),б).



а) Цикл с постусловием б) Цикл с предусловием

Рис. 10. Виды циклических алгоритмов


Классическим примером циклического алгоритма служит алгоритм для вычисления степени числа Y=X? . Этот алгоритм может быть реализован на основе операции умножения. Таб-личное представление такого алгоритма, отражающего зависи-мость У от Х при изменении показателя степени n от 1 до 3, представлено в табл.3. В этой таблице показанны также рекку-рентные соотношения между У и Х, определяющие как на каж-дом шаге зависит значение У от значения Х и от значения У, вычисленного на предыдущем шаге.
Таблица 3.Реккурентные соотношения при вычислении Y=X?

n Y Реккурентные соотно-шения

1 Y[1]=X
Y=X

2 Y[2]=X*X или Y[2]=Y[1]*X Y=X*X или Y=Y*X
3 Y[3]=X*X*X или Y[3]=Y[2]*X
Y=X*X*X или Y=Y*X



Рис.12. Алгоритм вычисления суммы ряда S=x+x^2+x^3+…+x^n


Пример 5.Пусть требуется составить алгоритм вычисления суммы ряда S=x+x^2+x^3+…+x^n.
Решение. Исходные данные для алгоритма это переменные x и n. На каж-дом шаге будем вычислять очередной член суммы Y и прибавлять его к предыдущему значению суммы S.Для этого используем реккурентную формулу вычисления степени Х (см. таблицу 3) Y=Y*Х, тогда сумма ряда на каждом шаге итерации будет вычисляться по формуле S=S+Y. Количе-ство итераций K изменяется от 1 до n и равно количеству членов ряда. Начальное значение суммы ряда S равно 0. На рис. 12 представлен цикли-ческий алгоритм с предусловием для вычисления заданной суммы ряда.

Пример 6. Требуется составить алгоритм получения на отрезке
[-15,15] множества значений функции Y= SIN(X) в виде таблицы значений (X,Y) при изменении аргумента Х по формуле X[k]=X[k-1]+h, где h=1,5.

Решение. Такие задачи относят к задачам табулирования функций. Из условия задачи определяем, что начальное значение отрезка табулирова-ния X= -15, конечное значение - X=15. Процесс получения множества пар Х,Y) является итерационным, значит проектируемый алгоритм будет цик-лическим. Условие выхода из цикла Х>15. На рис. 13 представлен цикли-ческий алгоритм с предусловием вычисления табличного значения функ-ции Y= SIN(X) на отрезке -150 S N
0 125
125>0 да 0+5=5 12
12>0 да 5+2=7 1
1>0 да 7+1=8 0
0>0 нет

9. Составить визуальную и табличную формы алгоритма по его текстовому представлению, а также определить конечное значение S .

А) I=0; S=0; В) I=1; S=0;
ПОКА I<3 ПОКА I >1
I=I+3 S=S+1/I
S=S+I*I I=I-1
ВЫВОД S ВЫВОД S

10. Составить визуальную и текстовую форму представления алгоритма, задан-ного в табличной форме.

I J S

0
1 2 0+1+2=3
3 3+1+3=7
2 2 7+2+2=11
3 11+2+3=16

11. Определить является ли данный фрагмент алгоритма циклом, если да, то ка-кого вида и какое действие является телом цикла?
12. * Протабулировать функцию Y=tg(X), при изменении X на отрезке [A,B] с шагом K и определить количество точек разрыва(M) этой функции.
13. Определите местонахождение ошибок в алгоритмическом решении сле-дующей задачи. Найти минимальное значение функции Y=A*X2+Sin(X)*X0,5 , для Х изменяющемся на отрезке [C,D] с шагом 0,01.




8. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧИСЕЛ

Последовательность значений - это набор однотипных величин, которые вводятся и обрабатываются циклически. Примером после-довательности целых чисел может быть следующий набор значений: (2,5,-4,10,1,0). Последовательности значений отличаются от масси-вов значений тем, что в памяти одновременно все значения последо-вательности не хранятся. Для обозначения значения последова-тельности используют одну переменную, в которую на каждом шаге итерации вводится очередное значение последовательности. Отли-чительной особенностью последовательности является также воз-можность содержания неопределенного или неизвестного заранее количества ее значений. В этом случае критерием окончания после-довательности служит некоторое особое значение, например, ноль.

Пример 7. В числовой последовательности определить сумму положительных и произведение отрицательных чисел. Решение представить с использованием циклического алгоритма с предусловием. Признак конца последовательности - значение 0.
Решение. Обозначим за Х переменную, содержащую очередное значение после-довательности, за S - сумму положительных значений , за Р - произведение от-рицательных значений. Полученный алгоритм приведен на рис. 14. Условие


Рис.14. Алгоритм вычисления суммы положительных и произведе-ния отрицательных значений числовой последовательности

для выбора вычислений Х>0. Для вычисления суммы значений воспользуемся реккурентной формулой S=S+X с начальным значением S=0, для вычисления произведения - реккурентной формулой P=P*X с начальным значением Р=1. Условие выхода из цикла неравенство Х<>0.

Пример 8.Составить циклический алгоритм с постусловием для определения в последовательности целых чисел количества четных чисел.
Решение. Обозначим за Х переменную, содержащую очередное значение после-довательности, за K - количество четных значений (рис. 15). Условие для выбо-ра четных значений Х mod 2=0 (остаток при делении Х на 2 равен 0). Для вы-числения количества значений воспользуемся реккурентной формулой К=К+1 с начальным значением К=0.




Рис. 15. Алгоритм определения количества четных чисел в последова-тельности значений


Задания для самостоятельного выполнения
Составить визуальные циклические алгоритмы для следующих задач обработки последовательности значений.

1. В последовательности чисел подсчитать произведение чисел, кратных 3.
2. В последовательности чисел сравнить ,что больше сумма положительных или произведение отрицательных.
3. В последовательности чисел определить предпоследнее отрицательное число.(При решении введите дополнительную переменную для хранения предпоследнего отрицательного числа).
4. В последовательности целых положительных чисел определить
максимальное число (Рекомендуем реализовать такой алгоритм :
Вводим Х
mах=Х
Цикл с постусловием
а. Если элемент Х > max
то max:=Х (значение этого элемента);
б. Вводим новый элемент последовательности Х.
Условие выхода из цикла Х=0 )
5. В последовательности целых чисел определить третье положительное число и подсчитать количество цифр в нем.
9. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ОДНОМЕРНЫХ ЧИСЛОВЫХ МАССИВОВ

Под структурой данных типа массив понимают однородную структуру однотипных данных, одновременно хранящихся в по-следовательных ячейках оперативной памяти. Эта структура должна иметь имя и определять заданное количество данных (элементов). Однотипность данных определяет возможность использования цик-лических алгоритмов для обработки всех элементов массива. Ко-личество итераций цикла определяется количеством элементов мас-сива. Одновременное хранение в памяти всех элементов массива по-зволяет решать большой набор задач, таких как, поиск элементов, упорядочение и изменение порядка следования элементов.
Доступ к любому элементу массива осуществляется по его номеру ( индексу ). Поэтому для обращения к элементу массива ис-пользуют имя_массива(номер элемента), например, А(5).
Массив называется одномерным , если для получения доступа к его элементам достаточно одной индексной переменной.
Рассмотрим простой алгоритм ввода элементов одномерного число-вого массива A из 9 элементов. В этом циклическом алгоритме ус-ловие выхода из цикла определяется значением специальной
переменной К, которая называется счетчиком элементов мас-сива А (рис.16), эта же переменная К определяет количество итера-ций циклического алгоритма ввода элементов массива. На каждом шаге итерации переменная К(значение номера элемента массива А) изменяется на 1, то есть происходит переход к новому элементу массива.В дальнейшем, при рассмотрении алгоритмов обработки одномерных массивов в целях устранения дуб-лирования алгоритм ввода элементов массива будем заменять одним блоком, подразумевая, что он реализуется по схеме, циклического алгоритма, представленного на ри- сунке 16.
Пример 9. Составить алгоритм определения в одномерном числовом массиве А из N элементов суммы положительных элементов.
Решение. Алгоритм представлен на рисунке 17. В этом алгоритме переменная К - является счетчиком элементов массива, S - сумма элементов массива, она вычисляется по реккурентной формуле S=S+A(K). Ввод количества и значений элементов массива осуществляется вначале в отдельном блоке ввода, который реализуется по
схеме алгоритма ввода элементов массива, изображенного на рис.16.




Часто для проверки правильности работы алгоритмов на кон-кретных наборах данных используют таблицу трассировки. Эта таб-лица содержит столько столбцов, сколько переменных и условий в алгоритме, в ней мы выполняем действия шаг за шагом от начала до конца алгоритма для конкретных наборов входных данных.

Пример 10. Составить алгоритм поиска элемента с максимальным значением в
одномерном массиве А(1..n) и его таблицу трассировки для значений (3, 7, 0, 9).
Решение. Введем обозначения K- текущий номер элемента, A[K] - текущее зна-чение элемента массива, N=4 количество элементов одномерного массива, M- номер максимального элемента массива, A[M] - значение максимального эле-мента массива. Основной идеей алгоритма является выполнение сравнения те-кущего элемента массива A[K] и элемента с максимальным значением A[М],
определенным на предыдущем шаге итерации. По алгоритму изображенному на рис.18 получено максимальное значение для массива (3, 7, 0, 9), процесс и правильный результат поиска которого показаны в таблице 4.

Рис.18. Алгоритм поиска максимального значения в массиве

Таблица 4. Таблица трассировки алгоритма примера 10.
Номер элемен-та массива К Значение эле-мента А (К) Номер макси-мального М Значение мак-симальнго А(М) Проверка А(К)>А(М)
1 3 1 3 Нет
2 7 1 2 3 7 да
3 0 2 7 нет
4 9 2 4 7 9 да

Рассмотрим несколько более сложных алгоритмов, в которых осуществляется изменение порядка следования элементов в одно-мерном массиве. К таким алгоритмам относят алгоритмы с переста-новкой элементов местами, алгоритмы удаления некоторых элемен-тов или циклического переноса некоторых элементов в начало или конец массива.
Основным требованием при составлении алгоритмов обработки массивов является использование минимально необходимых пере-менных.
Чтобы точнее уяснить постановку задачи следует сначала рас-смотреть частные решения для некоторых значений входных данных (провести анализ) , затем обобщить полученное решение и опреде-лить набор решаемых задач. Составив визуальный алгоритм, его следует проверить на различных наборах исходных данных. Эти на-боры исходных данных требуется подбирать таким образом, чтобы при заполнении таблиц трассировок проверить все пути вычислений данного алгоритма от начальной вершины до конечной.
Пример 11.Составить алгоритм решения и таблицу трассировки следующей за-дачи. В одномерном массиве поменять местами 2-ой нулевой элемент и послед-ний положительный элемент. Применить нисходящее проектирование алгорит-ма.
Решение. Пусть одномерный массив содержит 9 элементов: (5, 0, 4, -3, -7, 0, -2, -4, 0). Среди этих элементов имеются три нулевых значения, отрицательные и положительные значения. Второй нулевой элемент имеет порядковый номер 6, а последний положительный элемент - номер 3, его значение равно 4. Если по-менять местами 2-ой нулевой элемент и последний положительный в исходном массиве (5, 0, 4, -3, -7, 0, -2, -4, 0) то получим новый массив, в котором изменен порядок следования элементов 5, 0, 0, -3, -7, 4, -2, -4, 0 .
Основными операциями алгоритма будут: поиск второго нулевого эле-мента массива, поиск последнего положительного элемента массива и переста-новка найденных элементов. Отметим, что для перестановки элементов необхо-димо знать номера переставляемых элементов. На рис. 19 изображен обобщен-ный алгоритм решения задачи, который в дальнейшем будет детализирован.

Рис. 19. Обобщенный алгоритм к примеру 11
Ввод количества и значений элементов массива осуществляется вначале в отдельном блоке ввода, который реализуется по схеме алгоритма ввода эле-ментов массива, изображенного на рис.16.
Поиск второго нулевого элемента массива будем осуществлять в цикле, проверяя значение очередного элемента на 0. Если очередной элемент равен 0, то для подсчета количества таких элементов используем реккурентную форму-лу M=M+1. В тот момент времени, когда значение М=2, нам необходимо за-помнить номер текущего элемента массива, так как это и есть искомый второй положительный элемент исходного массива. На рис.20 приведен фрагмент ал-горитма, реализующего поиск второго нулевого элемента в некотором массиве А из N элементов.


Рис. 20. Фрагмент алгоритма поиска второго нулевого элемента в массиве А, состоящем из N элементов. Здесь К- номер очередного элемента, А(К) - значение очередного элемента, m -количество нулевых элементов, Р- номер второго нулевого элемента в массиве

Поиск последнего положительного элемента массива будем осуществ-лять аналогично в цикле, запоминая номер очередного элемента, значение кото-рого больше нуля, в дополнительной переменной S. Учитывая тот факт, что по-сле того, как будут просмотрены и проверены на положительность все элементы массива, в переменной S будет храниться номер последнего положительного элемента массива. На рис. 21 представлен фрагмент алгоритма поиска послед-него положительного элемента в массиве А.


Рис. 21. Фрагмент алгоритма поиска последнего положительного элемен-та
Рассмотрим фрагменты алгоритма, приведенные на рис. 20 и 21. Можно заме-тить, что оба этих фрагмента выполняют поиск под управлением цикла, с оди-наковым числом повторений, равным количеству элементов исходного массива N. Поэтому в итоговом алгоритме решения задачи примера 11 вместо компози-ции этих двух фрагментов в виде двух последовательных циклов можно ис-пользовать параллельное выполнение операций поиска под управлением одного цикла, который приведен на рис. 22.






Рис 22. Алгоритм поиска второго нулевого и последнего положительного элементов массива А.


Напомним, что исходный одномерный массив содержит 9 элементов: (5, 0, 4, -3, -7, 0, -2, -4, 0).По условию задачи необходимо поменять местами 2-ой нуле-вой элемент и последний положительный элемент.
Так как задачи поиска необходимых для перестановки элементов алгоритмиче-ски решены (рис. 22), то рассмотрим задачу перестановки элементов.Для реали-зации перестановки найденных элементов достаточно воспользоваться управ-ляющей структурой следования. Для того, чтобы во время перестановки не по-терять переставляемые значения используем дополнительную переменную Q, временно хранящую одно из переставляемых значений элемента массива, в ча-стности, второе нулевое значение.На рис. 23 представлен универсальный алго-ритм перестановки двух элементов одномерного массива, имеющих порядковые номера P и S .



Рис. 23.Фрагмент перестановки двух элементов массива, с номерами S и P
Подводя итог для алгоритмического решения примера 11, приведем на рис. 24 алгоритм для вывода элементов преобразованного массива после перестановки найденных элементов.

Рис. 24. Алгоритм вывода элементов массива
Таким образом, процесс проектирование первоначального алгоритма пе-рестановки второго нулевого элемента и последнего положительного элемента в одномерном массиве завершен. Полученный алгоритм представлен на рис.25. Следует заметить, что целью решения примера 11 было показать процесс нис-ходящего проектирования алгоритма " сверху-вниз " с использованием деком-позиции и метода структурной алгоритмизации. Отметим, что с целью упроще-ния в полученном алгоритме не рассматриваются ситуации, когда в составе элементов массива отсутствуют положительные значения или нулевые значения в количестве большем одного.


Рис.25. Алгоритм перестановки второго нулевого и последнего положи-тельного элемента в одномерном массиве




Для проверки правильности работы полученного алгоритма составим таблицу трассировки для одномерного массива из 9 элементов: (5, 0, 4, -3, -7, 0, -2, -4, 0), приведенных в примере 11. Напомним, что заполнение таблицы происходит по строкам. Считаем, что все начальные значения числовых переменных равны 0.
В таблице 5 выполнена трассировка фрагмента поиска второго нулевого и по-следнего положительного элементов (их номеров), а в таблице 6 выполнена трассировка следующего фрагмента алгоритма по перестановке в массиве най-денных элементов, где K- текущий номер элемента, A[K] - текущее значение элемента массива, М- количество нулей, обнаруженных в массиве при анализе очередного элемента, P- номер второго нулевого элемента массива, S- номер последнего положительного элемента массива, A[S] - значение последнего по-ложительного элемента массива, A[P] - значение второго нулевого элемента массива.

Таблица 5.Таблица трассировки операций Таблица 6. Таблица трассировки
поиска второго нулевого элемента и перестановки найденных элемен-
последнего положительного тов массива

К Входной массив А(К) M М=2 Р S A(P)
А(6) Q А(S)
А(3) Выходной массив А(К)
1 5 0 Нет 1 0 0 4 1 5
2 0 1 Нет 4 0 4 2 0
3 4 3 4 0 0 3 0
4 -3 4 -3
5 -7 5 -7
6 0 2 Да 6 6 4
7 -2 7 -2
8 -4 8 -4
9 0 3 Нет 9 0


Пример 12. Составить алгоритм удаления в одномерном массиве элемента с максимальным значением.
Решение. Анализ постановки задачи позволяет выделить две последовательно решаемые задачи: поиск элемента с максимальным значением и удаление этого значения из массива. Алгоритм первой задачи был рассмотрен ранее в примере 10 (рис.18). В этом алгоритме был определен номер максимального значения М, а максимальное значение определялось как А(М). Удаление элемента из мас-сива приводит к уменьшению количества элементов массива за счет их переме-щения на позицию удаляемого. Например, требуется удалить максимальное значение в массиве (2,4,13,5,7). Максимальное значение в этом примере равно 13. После удаления количество элементов данного массива уменьшится на 1 и станет равным 4, а массив примет вид (2,4,5,7). Таким образом, можно сделать вывод , что для удаления элемента из массива необходимо знать его номер, на-пример М, удаление производится путем сдвига на одну позицию влево всех следующих за удаляемым элементов А(М)=А(М+1), этот сдвиг должен осуще-ствляться под управлением цикла. Цикл завершит свою работу, когда послед-ний элемент массива сдвинется на место предпоследнего элемента .
После приведенных рассуждений и используя алгоритмическое решение при-мера 10, изображенное на рис.18, составим алгоритм удаления элемента с мак-симальным значением из одномерного массива из N элементов (см. рис.26).



Рис. 26. Алгоритм удаления элемента с максимальным значением
К - номер очередного элемента, М- номер элемента с максимальным зна-чением, N-1 - уменьшенное в результате удаления одного элемента коли-чество элементов массива А, A [K]: =A [K+1] - удаление путем сдвига влево следующих за удаляемым элементов на одну позицию.






Задания для самостоятельного выполнения
Составить визуальные циклические алгоритмы и таблицы трасси-ровки для следующих задач обработки одномерных массивов.

1. *В одномерном массиве определить первый отрицательный элемент и его номер.
2. Исключить из массива А1..AN пеpвый отpицательный элемент.
3. Исключить из массива А1..AN пеpвый четный элемент, следующий за мак-симальным.
4. Дан массив целых чисел a1,..an.Выяснить, какая из трех ситуаций имеет ме-сто:все числа a1,..an равны нулю,в последовательности a1,...,an первое нену-левое число-положительное,первое ненулевое число-отрицательное.
5. Дан массив целых чисел a1,..an.Выяснить, какая из трех ситуаций имеет ме-сто:все числа a1,..an равны нулю,в последовательности a1,...,an первое нену-левое число-положительное,первое ненулевое число-отрицательное.
6. Даны целые числа a1,..,an.Определить количество целых чисел,входящих в последовательность a1,...,an по одному разу.
7. Даны действительные числа a1,..,an.Требуется найти В равное среднему арифметическому чисел a1,..,an,и наибольшее отклонение от среднего,т.е. max(/a1-b/,/a2-b/,../an-b/).
8. Дан массив действительных чисел a1,...,an.Найти максимальный элемент среди отрицательных элементов и поменять его местами с минимальным положительным.
9. *В одномерном массиве перенести в начало максимальный элемент.
10. Пеpенести в начало одномеpного массива втоpой нулевой элемент.
11. Ввести массив а1,...,а16. Получить новый массив по правилу (а1 + а16, а2+а15,...,а8+а9). Найти минимальный элемент полученного массива.
12. *В одномерном массиве перенести в конец минимальный элемент .
13. Пеpенести в хвост одномеpного массива все отpицательные элементы.
14. Пеpенести в начало одномеpного массива все нечетные элементы.
15. В одномерном массиве найти первую группу повторяющихся элементов.
16. Выполните примеры 10 и 11, реализуя ввод элементов массива в цикле, в котором производится их обработка.

10. АЛГОРИТМЫ СОРТИРОВКИ ОДНОМЕРНЫХ МАССИВОВ

Под сортировкой понимают процесс перестановки объектов дан-ного массива в определенном порядке. Целью сортировки являются упорядочение массивов для облегчения последующего поиска эле-ментов в данном массиве. Рассмотрим основные алгоритмы сорти-ровки по возрастанию числовых значений элементов массивов. Су-ществует много методов сортировки массивов. В этой работе будут рассмотрены алгоритмы двух методов: модифицированного метода простого выбора и метода парных перестановок.
10.1. Сортировка модифицированным методом простого выбора
Этот метод основывается на алгоритме поиска минимального элемента. В массиве А(1..n) отыскивается минимальный элемент, который ставится на первое место . Для того, чтобы не потерять элемент , стоящий на первом месте , этот элемент устанавливает-ся на место минимального . Затем в усеченной последовательно-сти, исключая первый элемент, отыскивается минимальный элемент и ставится на второе место и так далее n-1 раз пока не встанет на свое место предпоследний n-1 элемент массива А, сдвинув макси-мальный элемент в самый конец.
Рассмотрим алгоритмическое решение задачи на примере сор-тировки некоторого массива значений по возрастанию. В соответст-вии с вышеописанным методом нам необходимо несколько раз вы-полнять операции поиска минимального элемента и его перестанов-ку с другим элементом, то есть потребуется несколько раз просмат-ривать элементы массива с этой целью. Количество просмотров эле-ментов массива согласно описанию модифицированного метода простого выбора равно n-1, где n- количество элементов массива. Таким образом, можно сделать вывод, что проектируемый алгоритм сортировки будет содержать цикл, в котором будет выполняться по-иск минимального элемента и его перестановка с другим элементом.
Обозначим через i - счетчик (номер) просмотров элементов массива и изобразим обобщенный алгоритм сортировки на рис.27.

Рис.27. Обобщенный алгоритм сортировки массива модифицированным методом простого выбора
Отметим, что для перестановки элементов местами необходи-мо знать их порядковые номера, алгоритм перестановки элементов массива был рассмотрен ранее (см. рис. 23). Алгоритмы ввода ис-ходного массива и вывода этого же массива после сортировки изо-бражены на рисунках 16 и 24 соответственно. Алгоритм поиска в массиве минимального элемента и его номера будет аналогичен рас-смотренному в примере 10 алгоритму поиска максимального эле-мента, который представлен на рис.18. Однако, в этом алгоритме будут внесены изменения.Для того, чтобы определить какие изменения следует внести рассмотрим выполнение сортировки данным методом с акцентом на поиск минимального элемента на конкретном примере. Пусть исходный массив содержит 5 элементов
(2,8,1,3,7). Количество просмотров согласно модифицированному методу простого выбора будет равно 4. Покажем в таблице 7, как будет изменяться исходный массив на каждом просмотре.

Таблица 7. Пример сортировки


Номер
просмотра массива i Исходный
Массив Минимальный
Элемент Переставляемый элемент Массив после перестановки
Номер Значе-ние Номер Значе-ние
1 (2,8,1,3,7) 3 1 1 2 (1,8,2,3,7)
2 1,(8,2,3,7) 3 2 2 8 1,(2,8,3,7
3 1,2,(8,3,7) 4 3 3 8 1,2,(3,8,7)
4 1,2,3,(8,7) 5 7 4 8 1,2,3,7,8


Из данных, приведенных в таблице 7, следует, что поиск минимального значения в массиве на каждом просмотре осуществляется в сокращенном массиве, который сначала начинается с первого элемента,а на последнем просмотре массив, в котором ищется минимальный элемент начинается уже с четвертого (или n-1) элемента. При этом можно заметить, что номер первого элемента массива для каждого поиска и перестановки сов-падает с номером просмотра i.
Введем следующие обозначения :
К- номер минимимального элемента,
J - номер элемента массива,
М и А(К)- одно и тоже значение минимального элемента массива,
i - номер переставляемого с минимальным элемента,
А(i)- значение переставляемого элемента.
Тогда циклический алгоритм сортировки модифицированным мето-дом простого выбора будет выглядеть следующим образом (рис.28).





Рис.28. Алгоритм сотрировки массива модифицированным методом простого выбора

В этом алгоритме два цикла, внутренний цикл выделен цветом.




10.2.Сортировка методом парных перестановок

Самый простой вариант этого метода сортировки массива ос-нован на принципе сравнения и обмена пары соседних элементов.
Процесс перестановок пар повторяется просмотром массива с начала до тех пор , пока не будут отсортированы все элементы , т.е. во время очередного просмотра не произойдет ни одной переста-новки. Для подсчета количества перестановок целесообразно ис-пользовать счетчик - специальную переменную В. Если при про-смотре элементов массива значение счетчика перестановок осталось равным нулю, то это означает, что все элементы отсортированы (см.рис.29).

Рис.29. Алгоритм сортировки методом парных перестановок содержит два цикла, внутренний цикл выделен цветом

Задания для самостоятельного выполнения
Составить визуальные циклические алгоритмы и таблицы трасси-ровки для следующих задач сортировки одномерных массивов.

1. Ввести массив a1,a2,...,a15. Расположить ненулевые элементы по убыва-нию.
2. Ввести массив x1,x2,...,x20. Элементы, на нечетных местах, расположить в порядке возрастания, а на нечетных в порядке убывания.
3. Ввести массив a1,a2,...,a15. Требуется упорядочить его по возрастанию аб-солютных значений элементов
4. Ввести массив x1,x2,...,x20. Требуется расположить отрицательные элемен-ты в порядке убывания.
11. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ УПОРЯДОЧЕННЫХ МАССИВОВ

Рассмотренные выше алгоритмы сортировки считаются одними из важнейших процедур упорядочивания структурированной данных, хранимых в виде массивов. Одной из главных целей задач сортировки массивов является облегчение их дальнейшей обработки, так как для упорядоченных данных разработаны эффективные методы поиска и обновления. Так, например, поиск минимального или максимального значения в упорядоченном массиве сводится к выборке первого или последнего элемента массива. Рассмотрим некоторые алгоритмы обработки упорядоченных массивов.

11.1. Поиск элементов в упорядоченном массиве

Задача поиска значения Х в упорядоченном по возрастанию значений массиве A(1)Х, то все элементы, имеющие номера с S по n также больше Х в силу упорядоченности массива по возрастанию значений. Поэтому для дальнейшего поиска половину значений мас-сива можно исключить из рассмотрения. В первом случае - левую, во втором случае - правую половину. Рассмотрим пример. Допус-тим, что требуется определить совпадает ли значение Х=12 с каким-либо элементом в упорядоченном массиве А и если совпадает, то определить порядковый номер S этого элемента. Иллюстрация при-менения метода бинарного поиска для поиска элемента Х=12 в мас-сиве (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45) приведена на рис. 30.
Элементы массива А (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45).
Номера элементов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
Первое деление S=5, А(5)=10 А(5)<Х), исключаем левую половину.

Элементы массива А (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45).
Номера элементов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
Второе деление S=8, А(8)=30 А(8)>Х), исключаем правую половину.

Элементы массива А (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45).
Номера элементов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
Третье деление S=6, А(6)=12 А(6)=Х), элемент Х=12 найден.

Рис.30. Иллюстрация применения метода бинарного поиска

На рис.31 представлен алгоритм, реализующий метод бинарного по-иска в упорядоченном массиве.

Рис.31.Алгоритм поиска методом бинарного поиска
Задания для самостоятельного выполнения
Составить визуальные циклические алгоритмы для следующих задач обработки упорядоченных одномерных массивов.

1. Ввести упорядоченный по неубыванию массив Х(1) < = Х(2) < =…Х(n).
Найти количество различных чисел среди элементов этого массива.
2. Ввести два упорядоченных по возрастанию числовых массива
Х(1)<Х(2)<Х(3) <…Х(n) и Y(1)…Y(m) и
Z(1) < = Z(2) < = … Z(k).Найти одно из этих чисел.
4. Вставить значение Р в упорядоченный неубыванию массив Х(1) < = Х(2) < =…Х(n) так, чтобы упорядоченность не нарушилась.
5. Удалить значение Р в упорядоченный неубыванию массиве Х(1) < = Х(2) < =…Х(n).
6. Соединить два упорядоченных массива Х(1) < = Х(2) < =…Х(n) и Y(1)< =Y(2)< =…Y(m) в массив Z(1) < = Z(2) < = … Z(k), при этом каждый элемент должен входить в массив Z столько раз, сколько раз он входит в массивы
Х и Y.

12. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ОДНОМЕРНЫХ СИМВОЛЬНЫХ МАССИВОВ

Одномерные символьные масивы - это массивы, составленные из определенной последовательности символов, которые образуют тексты. Основными операциями, выполняемыми над текстами, являются операции по определению слов, выделению слова с максимальной длиной, удаление и перестановка слов,сортировка по алфавиту идр.
Для простоты будем считать, что символьный массив пред-ставляет одну строку произвольного текста, слово - любую после-довательность подряд идущих символов не содержащую пробела. Пробел - это специальный символ, используемый для отделения слов, он не может располагаться перед первым словом. Учитывая все эти допущения можно предложить для решения задачи опреде-ления количества слов использовать подсчет количества элементов массива, равных пробелу минус 1.
Рассмотрим алгоритмическое решение распространенной за-дачи определения в массиве символов слова с максимальной длиной.
Пусть исходный массив А содержит N символов. Для определения слова с максимальной длиной будем использовать сравнение длины текущего слова М с длиной предыдущего слова МАХ. Длина слова определяется как содержащееся в нем количество символов. Для то-го, чтобы вывести слово с максимальной длиной, необходимо за-помнить номер элемента S, с которого начинается это слово.
Алгоритм поиска в символьном массиве слова с максимальной дли-ной приведен на рис. 32, а его таблица трассировки для массива (Дул теплый ветер)- в таблице 8.







Рис. 32.Алгоритм поиска в символьном массиве слова с максимальной длиной





Таблица 8. Таблица трассировки алгоритма поиска слова с макси-мальной длиной при N= 16 в тексте : "Дул теплый ветер"



К

А(К)
К=N
А(К)=" "
М>МАХ
М
МАХ
S
НОВОЕ S
1 Д Нет Нет 1 0 1 1
2 у Нет Нет 2
3 л Нет Нет 3
4 " " Нет ДА Да 0 3 3 4
5 т Нет Нет 1
6 е Нет Нет 2
7 п Нет Нет 3
8 л Нет Нет 4
9 ы Нет Нет 5
10 й Нет Нет 6
11 " " Нет ДА Да 0 6 10 11
12 в Нет Нет 1
13 е Нет Нет 2
14 т Нет Нет 3
15 е Нет Нет 4
16 р Да Нет Нет 5


Рассмотрите результат, приведенный в таблице 8, для конкретного входного символьного массива "Дул теплый ветер" без последнего столбца. Однако, после выполнения приведенного на рис. 32 алго-ритма для предложения "Дул теплый ветер" будет выведено слово из 7 символов, начинающихся с пробела :" теплый". Значит, формулу определения номера символа S = K-1 , с которого начинается слово с максимальной длиной, следует изменить на S = K. При этом надо будет изменить содержание блока вывода результата: вместо A( S -MАХ), … A(S) следует использовать A( S -MАХ), … A(S-1). Таким образом, таблица трассировки показала наличие ошибок в алгорит-ме, изображенном на рис. 32. После внесения изменений этот алго-ритм будет работать правильно (см. модернизированный алгоритм поиска в символьном массиве слова с максимальной длиной на рис. 33).










Рис. 33. Модернизированный алгоритм поиска в символьном массиве слова с максимальной длиной



Задания для самостоятельного выполнения
Составить визуальные циклические алгоритмы для следующих задач обработки символьных одномерных массивов.

1.Найти и вывести слово , содержащее наибольшее количество гласных букв.
2.В слове , в котором обнаружено наибольшее количество шипящих букв , за-менить их на символ "*".
3.Вывести все гласные буквы , содержащиеся в слове наибольшей длины и вывести число повторений каждой этой буквы.
4.Подсчитать количество слов и количество символов во всех словах , отличных от заглавных латинских букв.
5.Вывести все слово , содержащее наибольшее количество цифр и вывести чис-ло цифр в каждом слове.
6. Слово с минимальной длиной удалить из данного предложения.
7. В предложении перенести в его конец все, встречающиеся в тексте цифры .
8. В предложении расставить все слова в алфавитном порядке.

13.АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ДВУМЕРНЫХ МАССИВОВ

Двумерный массив - это структура однотипных элементов, расположенных в виде таблицы значений. Такое представление зна-чений соответствует математическому понятию двумерный массив. Каждый элемент в двумерном массиве идентифицируется номером строки и номером столбца, на пересечении которых он расположен. Например, в двумерном массиве А, изображенном на рис. 34, эле-мент со значением 5 расположен на пересечении третьей строки и второго столбца. Этот элемент будет обозначаться как А(3,2). А элемент А(1,4) имеет значение , равное нулю. Такое представление набора значений позволяет выполнять обработку как отдельных значений в двумерном массиве, так и последовательности значений, расположенных в строках или столбцах.
В дальнейшем будем считать, что для двумерного массива A(N,М) в обозначении элемента А(i,j) первое значение i соответст-вует номеру строки и изменяется от1 до N, а j - номеру столбца и изменяется от 1 до М. В отличие от одномерного массива, в котором использовался только один номер для определения местоположения элемента и требовался только один цикл для ввода элементов, в двумерном массиве для обработки элеменов необходимы два вло-женных друг в друга цикла. Внешний цикл предназначен для изме-нения номера строки i, а второй, внутренний, - для изменеия номера столбца j в текущей строке i.
На рис. 35 представлен простой алгоритм ввода элементов, постро-енный в виде структуры из вложенных циклов.



Рис. 35. Алгоритм ввода элементов двумерного массива

При рассмотрении в дальнейшем алгоритмов обработки элементов двумерного массива в целях сокращения их размера фрагмент ввода элементов будем заменять отдельным блоком ввода.

Пример 13. Составить алгоритм поиска максимального значения в двумерном массиве А(N,M).
Решение. Поиск максимального элемента в двумерном массиве осуществляется аналогично поиску в одномерном массиве. Отличие состоит в том, что для об-работки двумерного массива используем влож Обозначим максимальный эле-мент переменной МАХ. Значение этой переменной будет меняться на каждой итерации цикла, если очередной значение элемента массива окажется больше МАХ (см. рис.36).

Рис.36. Алгоритм поиска максимального значения в двумерном массиве
Пример 14.Составить алгоритм вычисления количества нечетных элементов в каждой строке двумерного массива А(1.. N, 1..М).
Решение. Для определения нечетных элементов будем использовать проверку на нечетность A[ I,J] mod 2 ? 0, для подсчета количества нечетных значений - формулу К=К+1и вывод значения К столько раз, сколько строк в массиве. Алго-ритм решения представлен на рис. 37.


Рис.37.Алгоритм вычисления в каждой строке двумерного массива коли-чества нечетных элементов
Пример 15.Составить алгоритм вычисления суммы элементов двумерного мас-сива А(1.. N, 1..М), расположенных выше главной диагонали.
Решение. Для определения условия расположения элементов выше главной диа-гонали рассмотрим двумерный массив в обобщенном виде на рис. 38. Обратим внимание на диагональные элементы: номер строки и номер столбца совпадают. Значит для определения элементов на главной диагонали достаточно использо-вать условие I=J, где I- номер строки, J -номер столбца.









Для для определения элементов выше главной диагонали достаточно использо-вать условие IJ. По условию задачи нам требуется найти сумму элементов двумерного массива А(1.. N, 1..М), расположенных вы-ше главной диагонали, значит применим условие Ij 3)A(i,j) mod 10 = 0 4) i>j and A(i,j) mod 10 = 0
5) ib then X: =a
else X:=b


_ _ _

+
Ветвление неполное.
Если значение пере-менной a больше b, то выполняется x=a.
If a>b then x:=a




_
+
+


Цикл с предуслови-ем. Пока значение ус-ловия i<6 истино вы-полняется тело цикла, то есть действия К=К+1 и i=i+2. Пере-менная i определяет количество повторе-ний и называется счетчиком цикла.
i: =1;
While i<6 do
Begin
K: =K+1;
i: =i+2;
End;
Write(K);










- +
_ + Цикл с постуслови-ем.
Пока значение условия
i>6 ложно в