Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики; её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Уайлсом.

Формулировка

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального n > 2 уравнение
a^n+b^n=c^n\,\!
не имеет натуральных решений a, b и c.

История

Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.
В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 на полях «Арифметики» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить:
Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём в этой статье.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. После Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение an + bn = cn при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Шимуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра.

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать.[3] В 1995 году был опубликован завершающий вариант.

«Ферматисты»

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику) и сложность (130 страниц) единственного известного доказательства вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое доказательство. По состоянию на текущий момент (апрель 2009 года) успешных попыток такого рода не известно. Отдельные авторы даже добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе.

Великая теорема Ферма в кино и литературе

* В повести Е. Велтистова «Победитель невозможного» друг Сыроежкина и Электроника Вова Корольков в качестве свободного задания по математике решил Великую теорему Ферма.
* В повести М. Анчарова «Самшитовый лес» главный герой Сапожников приводит доказательство Великой теоремы Ферма для n=3.
* В телесериале Звёздный Путь, капитан космического корабля USS Энтерпрайз (NCC-1701-D) Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине 24 века, о чем он поведал в начале серии своему первому помощнику. Таким образом создатели фильма предрекали что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшее время. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Джон Уайлс был в самом начале своих работ. Решение теоремы найдено всего спустя 5 лет, а не более 400 лет, как показали в сериале Звездный Путь.
* В рассказе A. Porges. Devil and Simon Flagg. (The Magazine of Fantasy and Science Fiction. NY, 1954., русский перевод в журн. Квант, 1972-8, http://ega-math.narod.ru/Quant/Porges.htm) профессор Саймон Флегг просит помощи дьявола в доказательстве теоремы, но и дьявол оказывается бессилен.
* В рассказе Сергея Снегова «Умершие живут» теорема в 25 веке является ещё недоказанной.
* В романе Сергея Лукьяненко «Звезды — холодные игрушки» представитель цивилизации Счётчиков утверждает, что знает контрпример к теореме, но не оглашает его.
* В 15 серии известного аниме Lucky Star на 9—10 минуте присутствует момент, когда семья Цукасы и Кагами смотрят телевикторину. Один из вопросов звучал: «Одна из сложнейших математических теорем доказанная в 1994 году сэром Уайлсом из Пристона — это…»
* В фильме «Математик и чёрт» (СССР, 1972 режиссёр Райтбурт) математик предлагает продать душу дьяволу за то, чтобы тот доказал или опроверг теорему Ферма. [7]
* В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире, в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая невинное уравнение 178212 + 184112 = 192212. Обычный калькулятор подтверждает это равенство. Корень 12-й степени из 178212+184112, если верить калькулятору, равен 1922. Тем не менее, легко увидеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть чётна. В этом нет никакого парадокса, всё дело в погрешности калькулятора.

178212 ≈ 1025397835622630000000000000000000000000
184112 ≈ 1515812422991960000000000000000000000000
178212 + 184112 ≈ 2541210259314800000000000000000000000000
192212 ≈ 2541210258614590000000000000000000000000

* В пьесе Тома Стоппарда «Аркадия» Септимус Ходж, домашний учитель Томасины Каверли, даёт ей задание найти доказательство теоремы Ферма.
* В фильме «Женщин обижать не рекомендуется» (Россия, 2000) главная героиня — школьный учитель математики Вера пресекает рассуждения ученика, мотивируя это тем, что теорема Ферма недоказуема.
* В фильме ужасов «Западня Ферма́» (исп. La habitación de Fermat) (Испания, 2007) четверо выдающихся математиков попадают в западню к незнакомцу, именующему себя Ферма.