Юлий Клевер родился в эстонском Тарту, который в то время именовался Дерптом. Отец его был химиком, преподавал в университете. Увлечение мальчика живописью в семье приняли благосклонно, но в Академию художеств отправили на архитектурное отделение, сочтя его более перспективным. Впрочем, через год юноша перевелся в класс живописи. Учился успешно, но с преподавателями Сократом Воробевым и Михаилом Клодтом у него случилось полное несовпадение, и Императорскую Академию он вскоре оставил по собственному желанию. Впрочем, есть и версия, что в 1870 его попросту исключили.

Клевер нацелился покорить Императорское общество поощрения художеств, решив, что собственными силами отыщет свой путь. И дело пошло неплохо. Уже в следующем году его картину приобрел Павел Строганов, влиятельный член сообщества. Еще через год Клевер оказался удостоен внимания великой княгини Марии Николаевны, кстати, возглавлявшей Академию художеств. 

Первую персональную выставку Юлий Клевер умудрился организовать в 24-летнем возрасте. Не сказать, чтобы в то время это было делом обычным. Такие мэтры как Айвазовский позволяли себе персональные выставки, но начинающий художник, то ли выставленный из Академии, то ли покинувший её?! Тем не менее, выставка на стендах Петербургского Общества поощрения художеств имела огромный успех, который стал лишь началом в череде успехов.

Вторую выставку художник устроил уже через два года, представив на ней 40 новых работ. Не обошлось без императорского внимания, одна из его картин «Вид запущенного парка в Мариенбурге» («Старый парк») приглянулась самому Александру II. 

   И тут снова дала о себе знать Академия художеств. Не окончивший академический курс живописец за  получил звание академика. Следующей ступенью стало звание профессора и по иронии судьбы — выделенные Академией квартира и мастерская, ранее принадлежавшие его преподавателю Сократу Воробьеву.

У Юлия Клевера родилось четверо детей, трое из которых стали художниками. Самый известный — полный тезка своего отца. 

Юлий Клевер зарабатывал легко и много (в среднем 25 тысяч в год, что было весьма существенной суммой), тратил — тоже легко. Он был тем, кого называют «человек широкой души». Способностей к накоплению и преумножению богатств за ним не водилось. Когда деньги заканчивались (а заканчивались они часто), ему проще было написать и продать новую картину, чем экономить. Юлий Клевер отличался беспечностью, жизнерадостностью и легким характером. Многие его ученики с благодарностью вспоминали, что Клевер мог скупить у ученика все имевшиеся на тот момент эскизы — чтобы просто помочь прочно осевшему на мели студенту, не ставя того в неловкое положение.