Источник: http://www.membrana.ru/articles/simply/2009/08/19/174500.html
с наводки Топ_Менеджер
19 августа 2009
Парадокс конвертов губит природную симметрию случая.
Очень много букв

Двое исследователей из Австралии нашли перспективный подход к 80-летней загадке, объяснение которой может иметь последствия для массы теоретических и прикладных областей: от наглядного понимания некоторых парадоксов термодинамики и оптимизации работы технических систем до улучшения электронных схем и составления победной стратегии игры на фондовом рынке.

 

Заключается она в следующем. Нужно менять или не менять конверты в каждом заходе случайным образом, но с вероятностью, которая зависит от суммы, увиденной в первом конверте. То есть чем меньше сумма в конверте А, тем с большей вероятностью следует сменить конверт и наоборот, несколько большая сумма в А говорит о том, что скорее следует оставить первый конверт себе.

 

Тогда, в 2003-м, Дерек посчитал идею своего коллеги бредом и отказался продумывать такую стратегию. И учёного можно понять: рассудите сами, увиденная сумма не говорит человеку ровным счётом ничего о намерении, условно, ведущего (который раскладывает деньги), ведь игрок не знает — в каком вообще диапазоне играет его оппонент. Может быть, от 10 центов до 100 долларов, а может, от 5 долларов до ста миллионов. И увиденные, к примеру, однажды $25 равнозначно могут (в рамках всей партии) оказаться и сущей мелочью, и самой большой поставленной на кон суммой. И оттого неясно — стоит ли менять конверт в данном раунде игры или нет.

 

Однако, раскинув мозгами, Эбботт увидел за "стратегией Ковера" (так австралийские математики и назвали данный приём) глубокий философский и даже физический смысл. "Видимый парадокс возник потому, что нельзя избавиться от ощущения, что открытие конверта и наблюдение $10 на самом деле ещё не говорит вам ничего. И поэтому казалось странным, что ожидаемое значение вашего выигрыша в случае смены конверта составляет $12,5, — пояснил Эбботт. — Но мы объясняем этот казус с точки зрения нарушения симметрии. До открытия конвертов ситуация является симметричной, поэтому не имеет значения, будете вы менять потом конверт или нет. Однако после того как вы открываете конверт и используете стратегию Ковера, вы нарушаете симметрию (сразу после открытия конверта А оба конверта уже не равноценны), а затем обмен конвертов позволяет вам получить выгоду в долгосрочном плане (при большом числе заходов)".

 

Всё это напоминает ситуацию с "редукцией" кота Шрёдингера к одному из двух состояний (мёртв или жив), хотя до открытия коробки с ядом он находится в суперпозиции возможных состояний. Это проблема влияния наблюдателя на результат наблюдения. Чувствуете, что мы подбираемся к неким основам Природы?

 

Ныне свыше 20 миллионов компьютерных симуляций, проведённых Макдоннелом и Эбботтом, показали, что стратегия Ковера позволяет получить больше денег в игре с конвертами, чем простой обмен. А ещё, открыли австралийские учёные, предопределённый обмен, когда игрок выбирает альтернативный конверт только в том случае, если увиденная в первом сумма меньше заранее и наугад выбранного им самим (игроком) значения, тоже работает. И это так же противоинтуитивно, поскольку о минимальной планке "переключения" знает игрок, но не те, кто кладёт деньги в конверты.

 

Чтобы досконально понять, как это так получается, можно посмотреть статью авторов исследования в Proceedings of the Royal Society A. Для нас же важно общее объяснение тайны этой игры. И здесь нам потребуется обратиться к аналогиям из мира физики и не только.

 

Первая — "Броуновский храповик" (Brownian ratchet), придуманный знаменитым физиком Ричардом Фейнманом. Это мысленное устройство, являющее собой частный случай не менее знаменитого Демона Максвелла, отряжённого злостно нарушать второе начало термодинамики, то есть производить полезную работу без разности температур двух источников, а лишь за счёт внутренней (тепловой) энергии единственного объекта (сосуда с газом).

Устроен и действует фейнмановский храповик так (смотрите рисунок вверху). Имеются две камеры (ящика) с молекулами газа (они показаны красными кружками). Камеры соединяет миниатюрный вал (работающий без трения), на одном конце которого имеется колесо с лопастями (слева), а на противоположном — шестерёнка с храповым механизмом (справа). Между ними на валу — груз на верёвочке.

 

Храповик разрешает валу вертеться в одном направлении, но запрещает проворачиваться в другом. Броуновское движение молекул в левой камере приводит к хаотичным ударам их по лопастям, но поскольку двигаться лопасти могут только в одну сторону, эти удары постепенно сдвигают колесо, производя работу по поднятию груза за счёт только одной тепловой энергии молекул в первой камере.

 

"Хитрость с броуновским храповиком заключается в том, что он опять-таки использует идею разрушения симметрии", — говорит Эбботт. Данное устройство извлекает (вроде бы) полезную работу из броуновского движения, так же, как игрок "извлекает" повышение своего благосостояния из случайного обмена конвертов с нарушенной симметрией (по принципу Ковера). Неравноценная ситуация с вероятностями выигрыша и проигрыша в парадоксе конвертов — аналог храповика Фейнмана.

 

Правда, физически такой храповик не может существовать, даже если бы умелые нанотехнологи его смогли бы построить. Почему так — объяснил сам Фейнман. Защёлка храпового механизма должна быть сама достаточно небольшой, чтобы двигаться в ответ на удары отдельных молекул по лопастям "мельницы". А потому защёлка будет не менее хорошо колебаться и от собственного броуновского движения, время от времени раскрываясь и позволяя валу сдавать назад.

 

Фейнман высчитал, что если температуры (Т1 и Т2) в камерах равны — средняя сумма движений вперёд будет уравновешена средней суммой движений назад, так что сумма будет равна нулю. Если же T2 будет меньше Т1, то действительно можно было бы наблюдать движение данных колёс вперёд. Но в этом случае энергия будет добываться из градиента температур, в согласии с законами физики.

С деньгами всё несколько проще. Но броуновский храповик помогает нам понять принцип работы новой стратегии "обмана" envelopes problem. Ещё интереснее аналогия парадокса двух конвертов с другим математическим феноменом — парадоксом Паррондо (Parrondo's paradox).

С деньгами всё несколько проще. Но броуновский храповик помогает нам понять принцип работы новой стратегии "обмана" envelopes problem. Ещё интереснее аналогия парадокса двух конвертов с другим математическим феноменом — парадоксом Паррондо (Parrondo's paradox).

Звучит он так: "Взяв две (основанные на случае) игры, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно".

 

Пример тут таков. Допустим, у нас есть начальный капитал. Далее мы пошагово прибавляем к нему $1 или вычитаем $1 в зависимости от результата бросания монеток (орёл-решка, угадали или нет). Но монетки не обычные, а ассиметричные, так что вероятность выпадения одной из сторон отлична от 50%.

 

Далее, у нас в игре с капиталом имеется на самом деле две игры — А и В. Причём в игре А используется монета 1 с вероятностью нашего выигрыша 0,5 — e, где е — чуть больше нуля. Понятно, что при большом числе бросков игра А — всегда проигрышна для нас.

 

В игре B имеются две (тоже несимметричные) монеты (2 и 3), существенно отличные по вероятности нашего выигрыша друг от друга: например (1/10) — е и (3/4) — е. Кроме того, заранее вводится наугад выбранное число М. И правило: если текущий капитал кратен М — в данном раунде бросаем монету 2, если не кратен — монету 3.

 

Всё тот же Эбботт ранее показал, что при М = 3 и е = 0,005 игра В — проигрышна так же, как и А. Ещё анализ говорит о том, что вероятность применения в очередном раунде "плохой" монеты округлённо составляет 0,6 против 0,4 для "хорошей", отсюда и проигрыш в сумме многих попыток. Но вот парадокс: чередование игр А и В позволяет нарастить капитал, несмотря на проигрышность обеих! Да, вовсе не любое чередование ведёт к победе. А только некоторые комбинации, к примеру, такая — ABBABB и так далее.

 

Для рассеивания иллюзии парадокса (а он таков только для наших поверхностных суждений, на деле же — закономерный итог теории вероятности, что показали модели с применением сложных принципов анализа) следует понимать, что в комбинации двух игр обе становятся связанными. Эту почти мистическую связь организует как раз число М. Ведь с его введением ход игры В начинает быть зависимым и от хода игры А. Если бы связи не было — любая комбинация игр всё равно приводила бы к проигрышу.

 

Тут и начинает брезжить свет в проблеме конвертов. Отдельные две игры с монетками являются проигрышными только при статистическом распределении результатов всех бросков партии, отличном от того, который формируется, когда объединяются эти две игры. Введение числа М и связи выбора монеты с капиталом (который, один-единственный, уменьшается и увеличивается как в игре А, так и в игре В) смещает вероятность распределения всех бросков в состояние, при котором появляется положительное ожидание (результата). А "конверты" и "Паррондо" — суть родственные парадоксы. Сам Дерек называет решение проблемы двух конвертов прорывом в области анализа парадокса Паррондо (имеющего массу проявлений в жизни). А главная ошибка ряда предшественников Дерека – высчитывание вероятности определённых событий с независимыми исходными переменными, которые независимыми на деле не являются.

 

И здесь пора перейти к третьей аналогии — из области финансов. "Volatility pumping" — "Накачка волатильности". Это не мифическая "золотая" программа для игры на бирже, но упрощённая модель, показывающая некоторые полезные особенности выигрышной стратегии игры с акциями (товарами, облигациями и прочим).

 

Понятно, что если игрок располагает информацией о приобретаемых финансовых инструментах (состояние компании, судебные дела против её менеджеров, урожай апельсинов в этом году или открытие нового месторождения нефти), он может составлять свой портфель осознанно. Но если ему не известно ничего, кроме текущей цены акции (или иного приобретения), и того, куда цена сейчас движется? Ни того, будет ли цена ещё падать, или позже начнётся рост? Ни того — является ли нынешняя цена максимальной, минимальной или позже будет огромный провал.

 

Как это похоже на выбор из двух конвертов: больше во втором сумма, чем та, что вы держите в руках, или меньше? "Насос волатильности" предполагает достаточно хаотичную куплю-продажу активов с небольшим лагом (купили дешевле — продали дороже), без всякого беспокойства о том, получили ли вы в данный момент самую большую выгоду от сделки или упустили шанс стать ещё богаче. И это очень похоже на случайную смену конвертов с некоторым "градиентом" в зависимости от величины наблюдаемой суммы (опять стратегия Ковера).

И это также похоже на принцип работы броуновского храповика. И этот же принцип схож с ситуацией, когда требуется улучшить работу технической системы при неполных данных об условиях её работы. "Вызывает удивление то, что наш анализ показывает — всегда можно увеличить полученный (в игре с конвертами) капитал, используя метод Ковера, ничего не зная о допустимом пределе суммы в раундах, равно как о статистическом распределении купюр по раундам", — говорит Дерек.

 

Но можно ли, допустим, применить следствие из парадокса Паррондо (или объяснения феномена конвертов) к фондовому рынку, то есть получить доход, комбинируя акции вроде игры АВВАВВ? Увы, парадокс требует, чтобы доходность по меньшей мере от одного инструмента зависела от величины текущего суммарного капитала (как выбор монеты от кратности уже выигранной суммы числу М), а это фикция. Или нет?

 

Умение разглядеть истинные связи между явлениями там, где связей, казалось бы, нет — очень ценное свойство учёного. Оно помогает объяснить процессы, выглядящие для поверхностного наблюдателя как невероятные. Так от пресловутой игры с двумя конвертами ниточка тянется ко множеству других областей, в которых проявляется взаимодействие объектов с асимметрией случайности, не важно, порождается ли такая асимметрия храповым механизмом, открытием конверта А или законами рынка.

И не зря, к примеру, Эбботт также известен как исследователь стохастического резонанса — парадоксального, на первый взгляд, явления усиления полезного (периодического) сигнала в нелинейных системах при добавлении к нему белого шума. Это интересное явление ныне находит применение в электронных системах.

 

Смотрите, какая красивая аналогия. Откуда "природа" знает, какую часть импульса усиливать? Это так же неизвестно, как и то, в каком из двух конвертов большая сумма денег. Однако, при ряде условий, вероятность правильного усиления оказывается выше, чем вероятность подавления полезной составляющей добавленными помехами. Так же как вероятность выигрыша в "конверты" может быть сознательно повышена, в пику кажущейся неопределённости исхода этой простой игры. Но какие уж тут игрушки.

ССЫЛКИ ПО ТЕМЕ:

Рекорд с чистого листа: бумага сдаётся 12 раз
Треугольные моря готовят инженерам спиральные достижения
Невероятное Gömböc переворачивает само себя
Рубик и его кубик. Часть первая: раскрутка
Winning While Losing: New Strategy Solves 'Two-Envelope' Paradox

И добавлю не большой отрывок, и последнего романа Лукьяненко (Недотепа)

… кивнул барон. – Что ж. Тогда… предлагаю поиграть. Пусть случай нас рассудит!
– Шахматы? – с надеждой спросил Щавель. – Или карты?
– О нет!
Барон взмахнул рукой и указал на три одинаковые двери, ведущие из зала.
– Это моя любимая игра, – сказал он. – За этими дверями… эй, герольд, распорядитесь! За двумя дверями будут стоять козы. За третьей – карета. Ну, карета туда не влезет, там будет лежать колесо от кареты. Принесите колесо, быстро! Вы укажете на одну из дверей. Если там будет коза – вы на год останетесь у меня в услужении. Если карета…
– То есть колесо, – мрачно уточнил Щавель.
– Верное замечание! – согласился барон. – Если колесо, то я дам вам свою личную золоченую карету, охрану, повара с запасом продуктов… эх, даже вина из собственных подвалов! И вас отвезут в Столицу.
Щавель нахмурился и сказал:
– Боюсь, господин барон, что на таких условиях…
– Вы ошеломлены моей добротой! – воскликнул барон. – И, конечно же, не рискнете нанести мне оскорбление, отказавшись!
Щавель замолчал. Барон расплылся в улыбке.
Трикс сглотнул, потому что горло вдруг пересохло, и шагнул вперед:
– Ваше высокоблагородие!
– Да зови меня по-простому, «мой барон», – сказал Исмунд. – Мы же с тобой оба благородные люди.
– Мой барон, доверьте процедуру выбора мне, – сказал Трикс. – Для господина Щавеля это слишком простое испытание, будет нечестно с нашей стороны, если выбор сделает он.
Щавель выпучил глаза, но ничего не сказал.
– Я не против, – быстро сказал барон. – Но учти, юноша, никакой магии! Мои волшебники будут следить за ходом игры… честно говоря, они уже давно следят через потайные отверстия в стенах и потолке.
– Никакой магии, – согласился Трикс. – Только я предложил бы чуть-чуть изменить условия.
– Ну? – заинтересовался барон.
– Пусть слепой случай не мешает игре. Давайте я буду выбирать десять раз… нет, девять, чтобы не было ничьей. Если чаще встретится коза – то мы служим вам целый год. Если чаще попадется колесо от телеги – то мы уезжаем.
– По результатам девяти испытаний? – Барон расхохотался. – С удовольствием, малыш!
Щавель резко повернулся к Триксу, обнял его, прижал к себе и, принужденно улыбаясь, прошипел на ухо:
– Ты сошел с ума! У нас всего один шанс из трех победить! А если мы сделаем девять попыток, то уж точно проиграем! Это элементарная математика!
– Не надо благодарить, учитель! – громко ответил Трикс, высвобождаясь из цепких рук Щавеля. – И еще одно уточнение, господин Исмунд. Когда я выберу дверь, то останутся еще две двери, правильно?
– Ну.
– После того как я сделаю выбор, не могли бы вы открыть одну из этих двух дверей? Ту, за которой точно будет коза. А я после этого подумаю… и, может быть, сменю свой выбор. С той двери, на которую указал сначала, на третью, которая еще не открыта.
– Ну и что это изменит? – спросил Исмунд.
Трикс не ответил.
– Так… – Барон задумался. – Так… Тут какая-то хитрость… Если подумать… Да ты не дурак! Не дурак… Выбирая из трех дверей, ты имеешь один шанс из трех. А если уж я раскрыл одну дверь, за которой козы, то у тебя будет один шанс из двух. То есть наши шансы будут равны. Умеешь считать, умеешь! – Он засмеялся.
Трикс скромно промолчал.
– Хорошо, – кивнул барон. – За хорошее знание арифметики готов принять твое предложение. А может, не будем зря мучиться? Используем всего две двери? Коза и карета. Все по-честному.
– Да лучше уж помучиться, – сказал Трикс.
– Вот это уважаю, – кивнул барон. – Вот это люблю. Настоящий игрок не стремится сыграть быстро! В игре, как и в любви, скорость – не главное!
Подошел герольд, что-то шепнул барону.
– Отвинтили и принесли колесо. – Барон потер руки. – Ну-с! Приступим!
– Ты все равно сошел с ума, – тихо сказал Щавель. – Все равно. Один шанс из двух. Лучше пойдем пешком!
– Господин волшебник, доверьтесь мне! – прошептал Трикс.
Щавель вздохнул.
– Все-все-все, условия приняты! – весело сказал Исмунд. – Все совершенно честно! Никакого подвоха! Пан или пропал, карета или коза! Ох, люблю я такие игры! Выбирай!
– Вот эта. – Трикс наугад ткнул в левую дверь.
– Прекрасно, – кивнул барон. – Так-с…
Он подошел к дверям, заглянул за каждую по очереди. Потом открыл центральную дверь и спросил:
– Оставляешь дверь или меняешь?
Лицо барона было абсолютно непроницаемым.
– Меняю, – сказал Трикс. – Откройте правую.
Барон пожал плечами и открыл правую дверь. За ней лежало каретное колесо.
– Повезло, – сказал он. – Надо было тебе не гневить удачу, соглашаться на одну игру. Эй, поменяйте все местами!
За закрытыми дверями послышалась возня.
– Какую дверь выбираешь?
– Опять левую, – сказал Трикс.
Барон вновь заглянул за двери и открыл правую.
– Меняю на центральную, – сказал Трикс.
За центральной дверью обнаружилось колесо.
– Тебе везет, – сказал барон.
После третьего выигрыша барон на некоторое время задумался.
– Ты читаешь по моему лицу, – сказал он. – Я слышал о таких тонких физиономистах!
– Пусть мне завяжут глаза, мой барон! – предложил Трикс.
Барон лично завязал глаза Триксу, после чего игра началась заново.
– Меняем, – раз за разом отвечал Трикс. – Меняем. И снова меняем. И опять меняем дверь!
После того как счет стал 6:3 в пользу Трикса (миленькая белая козочка появлялась за дверью лишь трижды, шесть раз Трикс указывал на колесо), барон подозвал герольда.
– Принеси вина, – распорядился он. – Нам предстоит долгое и трудное пари.
– Но ведь девять раз уже было… – начал Трикс.
– Я тебе навстречу пошел? – возмутился барон. – Вот и ты пойдешь! Проводим серию из ста угадываний.
За дверью кто-то тяжело вздохнул.
– Да, козам – травы, слугам – плетей! – рявкнул барон. – Нет, слуг вообще замените! И меняйте после каждых десяти туров!
– Как скажете, мой барон, – сказал Трикс.
Еще после двадцати испытаний Исмунд призвал своих волшебников и велел им наблюдать за Щавелем и Триксом более внимательно. Впрочем, недоумение на лице Щавеля было неподдельным.
– И снова меняю! – провозгласил Трикс в сотый раз.
– Шестьдесят семь колес, тридцать три козы, – подвел итоги Радион Щавель. – Мы выиграли, ваше высокоблагородие.
Исмунд погрузился в глубокие раздумья. Потом начал размышлять вслух:
– Этого не может быть, но это произошло… Итак. Начали мы с того, что я предложил вам сыграть, имея на выигрыш один шанс из трех. Это я понимаю. Мальчик…
– Называйте меня просто – юный подаван, – скромно сказал Трикс.
– Юный подаван, – без спора согласился Исмунд, – предложил другой расклад. После выбора им двери я открываю одну из оставшихся дверей, обязательно ту, за которой коза. И он получает возможность изменить свой выбор. Таким образом юный подаван уравнял наши шансы. Теперь остается только дверь с козой и дверь с каретой! Так?
Трикс пожал плечами.
– Но тогда карета должна была выпасть пятьдесят раз! – выкрикнул барон. – И коза пятьдесят раз! Шансы-то один к одному! А у тебя почему-то получается два к одному в твою пользу!
Трикс потупился.
– Ты не колдовал? – спросил барон с надеждой. – Признайся, а? Если колдовал – я все прощу. И карету дам. И отпущу. Даже добавлю сто золотых!
– Скажи, что колдовал, – посоветовал Щавель.
– Врать нехорошо, – вздохнул Трикс. – Нет, никакого колдовства.
– Но это противоречит арифметике! – Барон воздел руки к небу, точнее, к потолку. – Этого не может быть!
– Ме-ме… – проблеяла усталая коза.
Исмунд вдруг широко открыл глаза и хлопнул себя по лбу:
– Да как же я сразу не понял! Коз увести. Заложить карету. Повару собрать дорожный набор продуктов и приготовиться к отправлению в столицу.
– А что вы поняли? – удивился Трикс.
– Да ты просто счастливый мальчик! – Барон сиял. – Ты, наверное, в рубашке родился. Или в ночь, когда по диску полной Луны проходил хвост кометы. Ну конечно же! Я слышал о таких, как ты. Вам всегда и во всем везет… не зря же ты спасся при перевороте и сейчас не в рудниках землю роешь, а волшебству учишься… Все понятно! Ты прирожденный счастливчик. Удачник, так еще таких называют!
Трикс развел руками.
– Ты меня неплохо наказал за самоуверенность, – приходя в доброе расположение духа, сказал барон. – Ах, шельмец! Но я не хотел бы быть таким, как ты. Это же никакого удовольствия от азартной игры не получишь! Вот тебе… от меня лично, и тебе лично, Порею не отдавай…
В руки Трикса легло пять золотых, отсчитанных щедрой баронской рукой.
– Но играть в моем баронстве тебе отныне запрещено! – Исмунд погрозил ему пальцем. – Ни в карты, ни в шашки, вообще ни во что! Приходите к вечеру, карета будет ждать вас.
Едва Трикс и Щавель покинули дворец барона, как волшебник цепко ухватил Трикса за плечо и оттащил в проулок.
– Берите, – покорно полез в карман за монетами Трикс.
– Твои, честно заработал, – отмахнулся волшебник. – Оставь себе. Но ты меня чуть в гроб не вогнал! В счастливчиков и удачников я не верю, так что… Признавайся, что за жульничество ты использовал?
– Никакого жульничества! – Трикс даже чуть-чуть обиделся. – Арифметика.
– Я тоже, к твоему сведению, умею считать, – сказал Щавель. – За одной дверью коза, за другой карета. Шансы – один к одному.
– Да нет же! – воскликнул Трикс. – И барон, и вы забываете про третью дверь! Про ту, которую он открыл!
– Так при чем тут эта дверь? – удивился Щавель. – Ее, считай, и нет больше. Выбираем из двух.
– Нет, из трех! – упорствовал Трикс. – Мы выбираем из двух дверей, одна из которых открыта, а за другой неизвестно что, и одной, выбранной мной вначале, за которой тоже неизвестно что. То есть если поменять выбор и выбрать две двери, то у нас будет два шанса против одного! Так и получилось!
– Ты меня не путай! – вспылил Щавель. – Я не идиот! При чем тут открытая дверь, за ней все равно коза! Осталось две двери! За одной коза, за другой карета. Ты выбираешь между ними. Шансы должны быть один к одному!
– Нет, надо считать и открытую дверь, – уперся Трикс. – Мне про это рассказал один папин слуга. Ну, не про двери, конечно. Он так в наперсток играл. Три наперстка, под одним – шарик.
– Ну да, шарик-малик, старинная и малоуважаемая самаршанская игра, – кивнул Щавель. – Вся на ловкости рук построена.
– Да не на ловкости рук! На математике! Когда человек в нее играет, он на один наперсток показывает. Хозяин игры другой подымает – если там шарик, то он уже выиграл. А если пусто, то говорит – менять свой выбор будешь? Никто не меняет, все думают, что разницы нет. А она есть!
– Да ее не может быть! Две двери…
– Не две, а три! – Трикс так увлекся, что принялся орать на Щавеля. К счастью, и Щавель в пылу спора не обращал на это внимание. – Три, под одной шарик!
– Какой еще шарик?
– Малик! Ой, нет. Шарик под наперстком, а за дверью – телега!
– Карета!
– Пусть карета!
– И не карета, а колесо! Ты меня не сбивай! – поправил Щавель.
– Да какая разница?
– И впрямь – какая? Почему ты выигрывал?
– Потому что я выбирал две двери из трех, а глупый барон – одну! У меня шансов было больше!
– Да почему же их больше? – взмолился Щавель. – Ты выбираешь из двух дверей, третья открыта. За одной дверью колесо, за другой коза. Местами они от твоего выбора не меняются. Где что – ты не знаешь. Шансы – один к одному! Но ты выигрывал в двух случаях из трех, почему?
– Потому что арифметика!
Щавель развернулся и твердым шагом направился к трактиру. Трикс виновато семенил следом. Он честно старался объяснить Щавелю, в чем дело, но тот никак не мог его понять. Это частенько случается, когда человек, хорошо обращающийся с буквами, плохо ладит с цифрами.
Когда они вернулись в трактир, Щавель молча сгреб со стойки три глиняные пивные кружки, потом, хитро улыбаясь, купил у трактирщика две бутыли пива и одну – крепкой настойки. В комнате он налил все три кружки, закрыв глаза потусовал их по столу. Потом, хитро улыбаясь, ткнул пальцем в одну из кружек.
– Я считаю, что настойка – тут! – заявил он. – Трикс, устрани-ка одну кружку с пивом!
Трикс понюхал кружки и отодвинул одну в сторону.
– Простой и наглядный эксперимент, – пояснил Щавель. – Хочешь сказать, что если я сменю свой выбор, то глотну настойки?
– Да, шансов на это станет больше в два раза, – печально сказал Трикс.
Щавель глотнул. Поморщился, занюхал рукавом и велел повторить эксперимент. Остановился он только после десятого глотка.
– Мешать крепкие напитки с пивом в такой пропорции – вредно для здоровья, – признал он. – Да, ты прав! Но я не пойму, почему так… почему? Разбуди меня через два часа, – вставая и направляясь к кровати, велел волшебник. – Или даже через три… Все-таки в этом скрыта какая-то ужасная, терзающая разум тайна…
– Арифметика, – упрямо сказал Трикс. Но Щавель уже его не слышал. Семь добрых глотков настойки и три глотка пива сделали свое дело – усталый и переволновавшийся волшебник крепко уснул.
Трикс взял одну из недопитых кружек пива и уселся у окна.

Возможно, барон Исмунд был и не самым хорошим человеком, но слово свое он держал. Вечером того же дня огромная карета барона, запряженная четверкой лошадей, двинулась в сторону Столицы. Ее сопровождали пятеро конных стражников сурового вида, на козлах восседали двое возниц, не был забыт и повар. Разделенная на две части, для господ и для слуг, карета двигалась, может, и не очень быстро, но очень мягко. Щавель и Трикс обосновались в господском отделении кареты, где стояли два диванчика и стол. Через стенку, в более скромном помещении ехали повар, Иен с Халанбери и примкнувшая к ним Аннет. Маленькая дверь позволяла на ходу перейти из одной части кареты в другую.
Была в карете и небольшая печка, отапливающая обе части кареты (причем дымовая труба проходила под козлами, согревая возниц). Щавель, придирчиво осмотрев карету, остался доволен.
– Это куда лучше, чем идти пешком. Хорошо, что ты провел барона…
– Но я…
Щавель поморщился:
– Знаю, знаю. Арифметика. Я убедился. Но так и не понял до конца, в чем тут дело.
– Да все очень просто, – сказал Трикс. – Вы представьте себе, что это не барон открывал вторую дверь. Вы представьте, что я вначале выбрал и указал ту дверь, которую точно открывать не собирался – а потом открыл две другие! Вот вам и два шанса к одному!
– А… – сказал Щавель. – А! А!!!
Волшебник хлопнул себя ладонью по лбу.
– Как же я сразу…