Цитата сообщения Оксана_Лютова Золотое сечение


БОЖЕСТВЕННЫЕ ПРОПОРЦИИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Вели-кий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Анхель де Куатьэ




Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение было известно древним грекам. Вряд ли можно сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить хотя бы Парфенон.


Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих золотое сечение, числом j Буква (фи) - первая буква в имени великого Фидия, который, по преданию, часто использовал золотое сечение в своих скульптурах.

Одной из причин, по которой пифагорейцы избрали пентаграмму, или пятиконечную звезду, символом своего тайного ордена, является то обстоятельство, что любой отрезок в этой фигуре находится в золотом отношении к наименьшему соседнему отрезку.

Многие математики, жившие в средние века и в эпоху Возрождения, были настолько увлечены исследованием необычайных свойств числа j, что это походило на легкое помешательство.Примером могут служить слова Кеплера: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - теорема Пифагора, другое - деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно назвать мерой золота, втрое же больше напоминает драгоценный камень». В эпоху Возрождения отношение, выражаемое числом j, называли «божественной пропорцией» или, следуя Евклиду, «средним и крайнем отношением».



Термин «золотое сечение» вошел в употребление лишь в девятнадцатом веке. Много замечательных свойств j, проявляющихся в различных плоских и пространственных фигурах, было собрано в трактате Луки Пачоли, вышедшем в 1509 году под названием «De Divina Proportione» («О божественной пропорции») с иллюстрациями Леонардо да Винчи. Число j выражает, например, отношение радиуса окружности к стороне правильного вписанного десятиугольника. Расположив три «золотых» прямоугольника (то есть прямоугольники, стороны которых относятся в «золотом» соотношении) так, чтобы каждый симметрично пересекался с двумя другими (под прямым углом к каждому из них), мы увидим, что вершины «золотых» прямоугольников совпадают с 12 вершинами правильного икосаэдра и в то же время указывают положение центров 12 граней правильного додекаэдра. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток). Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника BD и первого отрезаемого вертикального AC. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.



Во все времена математики, художники и философы занимались вопросами, связанными с золотым сечением. Однако вновь "открыто" и представлено ученым и художникам золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. В своем объемистом (457 страниц) труде Адольф Цейзинг доказывает, что из всех пропорций именно золотое сечение дает наибольший художественный эффект и доставляет наибольшее удовольствие при восприятии. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. Именно в золотом сечении, по Цейзингу, кроется ключ к пониманию всей морфологии (в том числе строения человеческого тела), искусства, архитектуры и даже музыки. Другой немецкий ученый физиолог Густав Фехнер пытался практически обосновать взгляды Цейзинга. Для этого он измерил отношения сторон у тысяч окон, картинных рам, игральных карт, книг и других прямоугольных предметов, проверил, в каком отношении поперечные перекладины могильных крестов на кладбищах делят вертикальные основания, и обнаружил, что в большинстве случаев полученные им числа мало отличаются от j. Фехнер разработал целый ряд остроумных тестов, в которых испытываемому предлагалось выбрать «милый его сердцу» прямоугольник из большого набора прямоугольников с различными соотношениями сторон, нарисовать самый «приятный» многоугольник, выбрать место перекладины и т.д. И здесь многократно проведенные опыты показали, что испытуемые отдают предпочтение отношениям, близким к j.



Дополнительные сведения из истории Золотого сечения можно найти на http://bullbear.msm/ru/rus/fr_main513.htm Интересная статья Теодора Ландшейдта «Космическая функция золотого сечения», опубликованная в журнале Международного общества астрологических исследований (ISAR) «KOSMOS». В ней автор прослеживает связь таких несопоставимых явлений, как колебания солнечной оси, процент поверхности, пораженной засухой, активность питания термитов, интенсивность действия обезболивающих препаратов, индекс военной активности, вероятности рождения мальчиков - и везде колебания рассматриваемых величин находятся в отношении золотого сечения. Доктор Теодор Ландшейдт является директором Института исследований циклов солнечной активности в Канаде. Всемирно известный эксперт по вопросам солнечно-земных связей, он был отмечен премией Калифорнийского Института циклов в знак признания выдающихся достижений в этой области исследований. Особенно примечательно, что он не обошел и фрагменты фрактальных рисунков множества Мандельброта, связав увиденную там логарифмическую спираль с фрактально-хаотическими закономерностями жизни Вселенной. Ознакомиться с необычной статьей можно на http://astrologic.ru/library/golden.htm

Желающие размяться в философских изысканиях могут отправиться на http://www.radiant.ru/~kbb/Page_Gold_midl.htm за статьей «Философское обоснование понятия Золотая пропорция», впрочем, на наш взгляд, не особенно глубокой.

Интересный пример использования золотого сечения для получения гармоничного фотоснимка приведен на страничке, посвященной фотоискусству www.photoline.ru/tcomp1.htm Он основан на подмеченном психологами и искусствоведами правиле - расположении основных компонентов кадра в особых точках - зрительных центрах. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Человек всегда акцентирует свое внимание на этих точках, независимо от формата кадра или картины. Чему же равно j? Напомним определение: большая часть относится к меньшей как все к большей. Если меньший отрезок принять за единицу, то можно записать пропорцию: ( Х+1 ) / Х = Х / 1, которая сводится к обычному квадратному уравнению Х2-Х-1=0, положительный корень которого равен . Это число одновременно выражает длину отрезка Х и значение величины j. Его десятичное разложение имеет вид 1,61803398… Если за единицу принять больший отрезок, то длина Х будет выражаться величиной, обратной j, то есть 1/j. Любопытно, что 1/j=0,61803398… Число j - единственное положительное число, которое переходит в обратное ему при вычитании единицы. Так же, это число тесно связано с метрическими свойствами некоторых правильных многоугольников и многогранников - пятиугольника, десятиугольника, додекаэдра, икосаэдра, - так как оно равно 2COS(p/5). Подобно числу p, j можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер j:j j= Число j иррациональное, не представляемое в виде простой дроби. Однако, если воспользоваться первой из приведенных формул, обрывая нашу дробь на первом, втором, третьем и т.д. знаке плюс, то получим ряд дробей, постепенно, то сверху, то снизу приближающийся к j: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …



Интерес к золотому сечению подогревается и периодическими всплесками популярности пирамид. Например, на www.rcom.ru/tvv/Dm/str6.htm можно найти, среди прочих знамений пирамиды Хеопса, и содержащееся в ее пропорциях золотое сечение. Не обходится и без курьезов. На упоминаемой уже странице http://bullbear.msm/ru/rus/fr_main513.htm находим: «Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды - 484.4 фута (147.6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи.» Весь юмор в том, что древние египтяне вряд ли измеряли что-либо в дюймах (вот метры - другое дело j), и появление здесь чисел Фибоначчи объяснить без мистики ну никак невозможно. Интересующимся современным пирамидостроением и необычными явлениями, происходящими в пирамидах, рекомендую статью энтузиаста пирамид Александра Голода «Пирамиды в пропорциях Золотого Сечения - генератор жизни», расположенную на http://www.slavaiv.narod.ru/ . Самая большая Пирамида высотой 44 метра построена в конце 1999 года недалеко от Москвы на 38 км шоссе Москва-Рига, ее не раз показывали по ТВ, рассказывали о происходящих в ней чудесах. Можно и не говорить, что пропорции пирамиды подчиняются рассмотренным нами соотношениям. Ну вот и все. Теперь вы не только интуитивно выберите пропорции строящегося вами дворца, но и уточните их, доведя до золотого сечения. Задание на дом. Мартин Гарднер, ведущий рубрики занимательной математики в журнале Scientific American, получил письмо от своих читателей с сообщением, что в среднем отношение роста человека к высоте пупка равно j. Надо бы это проверить, причем, женщины могут замеряться на каблуках. И для самых-самых утонченных любителей - как изменятся результаты работы трех приведенных программ, если вычисления начинать не с единицы, а, например, со ста?