Я всегда относился к математике, в первую очередь, как к инструменту познания жизни. Меня поражала глубина мыслей людей, связанных с математикой, объективность их мировоззрения. Обычно после общения с ними создаётся впечатления, что мир прост и справедлив, что всё в нём можно рассчитать, и быть уверенным в завтрашнем дне.

Поэтому мне было интересно полистать (вот детально почитать почему-то так терпения и не хватило) работы Д. Пойа, А. Пуанкаре и др.; а ещё я всегда с интересом слушаю учителей и преподавателей.

Решил сейчас ещё что-то поискать по этой теме.

Так вот:

1. По таланту, богатству полученных результатов и широте мышления немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) был уникальной фигурой даже среди самых блестящих математических умов. Он оставил заметный след во многих областях математики, создал новые направления математических исследований и обогатят культуру XX века важными и глубокими работами, посвященными теории познания, роли и месту математики в системе современной науки, природе математической истины, аксиоматическому методу и взаимосвязи теоретического мышления и опыта. Выступая в 1900 году на Международном математическом конгрессе в Париже, Гильберт сформулировал знаменитые двадцать три проблемы, которые, по его мнению, математика XIX века завещала математике XX века. С тех пор на протяжении почти целого столетия многие существенные продвижения в математической науке связаны с решением проблем Гильберта - такова была мощь его интеллекта, острота прозрения и широта кругозора, глубина понимания задач, стоявших перед математикой и точным естествознанием. С его слов:

"Познание природы и жизни - наша первейшая задача. На ее решение направлены все усилия и вся воля человечества, и чем дальше, тем плодотворнее становятся эти усилия. За последние десятилетия нам удалось расширить и углубить наши знания о природе больше, чем за столько же столетий в прошлом. Сегодня мы хотим воспользоваться столь благоприятным положением, чтобы рассмотреть старую философскую проблему, а именно - многократно обсуждавшийся вопрос о том, какая доля нашего знания приходится, с одной стороны, на мышление, а с другой - на опыт. Этот старый вопрос вполне обоснован потому, что ответить на него по существу - означает установить, какова вообще природа нашего естественнонаучного знания и в каком смысле знание, которое мы получаем, занимаясь естественными науками, есть истина.

Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь не исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода - геометрия Евклида. Но я хотел бы кратко пояснить суть аксиоматического метода на весьма ярком примере из современной биологии.
Дрозофила - это крохотная плодовая мушка, но наш интерес к ней велик; она стала объектом обширнейших, кропотливейших и успешнейших экспериментов по селекции. Обычно это мушка серого цвета, красноглазая, без пятен, с закругленными длинными крыльями. Но встречаются также желтые, а не серые мушки с белыми, а не красными глазами и т. д. Обычно пять перечисленных выше отличительных признаков взаимосвязаны, то есть если мушка желтая, то у нее к тому же белые глаза, она пятнистая, ее крылья имеют вырезы и скошены. Если у мушки косые крылья, то она к тому же желтая, имеет белые глаза и т. д. При подходящих скрещиваниях у потомства появляются в небольшом числе отклонения от этих обычных комбинаций признаков, причем в постоянной пропорции. Характеризующие такие отклонения числа находятся экспериментально. Они удовлетворяют евклидовой аксиоме конгруэнтности и аксиоме о геометрическом понятии "между", поэтому законы наследственности выступают как одно из приложений аксиом линейной конгруэнтности, то есть элементарных геометрических теорем об отрезках, откладываемых на прямой, причем с такой удивительной точностью, о которой нельзя было бы мечтать в самых смелых фантазиях.
А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области. Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове "логика" у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Рассмотрим, например, общий процесс отрицания и особенно понятие "бесконечность". Что касается этого понятия, то необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла и без более подробного исследования лишена всякого смысла, так как существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же действие по своей природе дискретно и существует только квантами. Не существует ничего континуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпускулярной, атомистической структурой, как и действие. Наша Вселенная, по моему глубокому убеждению, обладает лишь конечной протяженностью, и астрономы когда-нибудь сообщат нам, на сколько километров простирается мировое пространство в длину, высоту и ширину. И хотя в реальных случаях встречаются очень большие числа, например расстояния до звезд в километрах, или число потенциально возможных существенно различных шахматных партий, тем не менее нескончаемость, или бесконечность, поскольку она представляет собой отрицание того состояния, которое доминирует повсюду, есть чудовищная абстракция, которая реализуется только путем сознательного или несознательного применения аксиоматических методов. Подобная точка зрения на бесконечность, которую я обосновал подробными исследованиями, позволила решить ряд принципиальных вопросов, в частности кантовские антиномии о пространстве и о бесконечной делимости становятся беспредметными, и следовательно, разрешаются возникавшие в связи с антиномиями трудности. Обратимся теперь к интересующей нас проблеме взаимосвязи природы и мышления. Мы хотели бы обсудить три главные точки зрения. Первая из них связана с только что упоминавшейся проблемой бесконечности. Мы видим, что бесконечность нигде не реализуется; она не существует в природе и недопустима без особых оговорок как основа нашего мышления. Я усматриваю в этом важный параллелизм природы и мышления, основополагающее совпадение опыта и теории. Мы воспринимаем также еще один параллелизм: наше мышление исходит из единства и стремится создать единство; мы наблюдаем единство вещества и материи и повсюду констатируем единство законов природы. При этом природа весьма охотно идет нам навстречу в наших исследованиях, как бы с готовностью раскрывая свои тайны. Сильно разреженное распределение массы в мировом пространстве способствовало открытию и уточнению закона всемирного тяготения Ньютона. Несмотря на огромную величину скорости света, Майкельсон сумел достоверно установить, что при достаточно быстром обращении Земли вокруг Солнца не выполняется закон сложения скоростей ньютоновской механики. Меркурий, чтобы доставить нам удовольствие, движется так, что его перигелий прецессирует, и, измеряя величину прецессии, мы получаем возможность проверить теорию Эйнштейна. Луч света от неподвижных звезд проходит вблизи Солнца, что позволяет нам наблюдать его искривление. Но еще больше обращает на себя внимание то, что мы в несколько ином смысле, чем Лейбниц, называем предустановленной гармонией, которая является воплощением и реализацией математической мысли. Старыми примерами предустановленной гармонии служат конические сечения, ставшие предметом изучения задолго до того, как мы догадались, что планеты и даже электроны движутся по эллиптическим орбитам. Но самым грандиозным и чудеснейшим примером предустановленной гармонии может служить знаменитая теория относительности Эйнштейна.
Такое совпадение между природой и мышлением, экспериментом и теорией можно понять только в том случае, если принять во внимание формальный элемент и связанный с ним механизм с обеих сторон - природы и нашего разума. Математический процесс элиминации, или исключения приводит, как нам кажется, к точкам покоя и остановкам, в которых пребывают как тела в реальном мире, так и идеи в мире духовном, и тем самым становятся доступными контролю и сравнению.
Между тем даже эта предустановленная гармония отнюдь не исчерпывает взаимосвязи между природой и мышлением и не открывает глубочайшие тайны нашей проблемы. Чтобы разобраться в ней, рассмотрим весь комплекс физико-астрономических знаний. В современной науке мы отмечаем одну точку зрения, далеко выходящую за рамки старых постановок вопроса и цели нашей науки. Заключается она в том, что современная наука учит не только определять в смысле классической механики по данным существующего ныне настоящего будущие движения и ожидаемые явления, но и подсказывает, что реально существующие ныне состояния материи на Земле и во Вселенной не случайны или произвольны, а следуют из физических законов.

Инструментом, посредством которого осуществляется взаимосвязь теории и практики, мышления и наблюдения, служит математика; она наводит мосты и неусыпно следит за тем, чтобы те не утратили способность выдерживать нагрузку. Отсюда следует, что в основе всей нашей современной культуры, поскольку она направлена на постижение природы разумом и использование природы на благо человеку, лежит математика. Еще Галилей сказал: "Понять Природу может лишь тот, кто знает язык, на котором она говорит с нами и его письмена; язык же ее - математика, письмена - математические фигуры". Канту принадлежит следующее высказывание: "Я утверждаю, что в каждой области естествознания собственно науки, столько, сколько в ней математики". И действительно, любой естественнонаучной теорией мы не овладеваем до тех пор, пока не выделим в ней математическое ядро и не раскроем его полностью. Без математики невозможны современная астрономия и физика; эти науки в своих теоретических частях растворяются в математике. Помимо них существуют также многочисленные другие приложения, снискавшие благодаря математике признание - в той мере, в какой широкая публика использует математику.

Тем не менее математики отказываются судить о достоинствах математики по ее приложениям. Такого же мнения придерживался и князь математиков Гаусс, бывший непревзойденным знатоком прикладной математики и создавший целые науки (например, теорию ошибок и геодезию), в которых математика была призвана играть главную роль. Когда астрономы потеряли астероид Цереру (одно из наиболее важных и интересных небесных тел) и никак не могли найти его снова, Гаусс разработал математическую теорию и на основе ее предсказал, где должна находиться Церера. Гауссу принадлежит также изобретение телеграфа и других практических устройств. Чистая теория чисел - та область математики, которая пока не нашла применения. Но именно теорию чисел Гаусс называл царицей математики, и именно теория чисел владела умами почти всех великих математиков, включая самого Гаусса. Того же мнения придерживаемся и все мы.

Наш великий кенигсбергский математик Якоби думал так же; Якоби, чье имя стоит рядом с именем Гаусса и произносится с благоговением всеми, кто занимается нашей наукой. Знаменитый Фурье сказал однажды, что основная цель математики заключается в объяснении природных явлений, и Якоби обрушился на Фурье за это высказывание со всей мощью своего необузданного темперамента. Такой философ, как Фурье, возглашал Якоби, должен был бы знать, что единственная цель всей науки состоит в возвеличивании человеческого духа и что с этой точки зрения любая задача чистой теории чисел столь же достойна внимания, как и любая проблема, служащая приложениям.

Тот, кто способен почувствовать истинность возвышенного склада мышления и взгляда на мир, отчетливо слышных в этих словах Якоби, не поддастся отступническим и бесплодным сомнениям; тот не поверит тем, что ныне с философской миной на лице и глубокомысленным тоном пророчествует о закате культуры и склоняется к мысли о непознаваемости мира. Для математика не существует непознаваемого, как, по моему мнению, его не существует и для естествоиспытателя. Философ Кант сказал както (указав в качестве примера неразрешимой проблемы), что науке никогда не удастся установить химический состав небесных тел. А через несколько лет Кирхгоф и Бунзен решили эту проблему с помощью спектрального анализа, и сегодня мы можем рассматривать самые далекие звезды как важнейшие физические и химические лаборатории, равных которым мы не можем найти на Земле. Истинная причина, по которой Канту не удалось найти неразрешимую проблему, по моему мнению, состоит в том, что неразрешимых проблем вообще не существует. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: Мы должны знать, мы будем знать."

2. Неймарк Ю.И. рассматривает математику как "операционную систему и модели". С его слов:

"Я хочу поделиться с Вами мыслями о математике. История математики насчитывает более 25 веков. За это время менялось ее содержание и стоящие перед ней цели и задачи. Математика древних греков, математика XVII - XIX веков и современная математика XX века на пороге XXI очень разные.

Древние греки учились 10 - 15 лет, чтобы умножать наши трехзначные числа, а теперь это легко делает ученик начальной школы. Их ум увяз в непостижимости бесконечности: быстроногий Ахилл не мог перегнать медлительной черепахи только потому, что ему нужно было для этого пробежать половину расстояния до нее, потом еще половину и так далее до бесконечности, а бесконечность действий осуществить невозможно (в противоречии с очевидностью). Не могли постичь греки и иррациональные числа: Что такое ? Это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с единичными катетами, а числа такого нет. Но они открыли теорему Пифагора, правильные многогранники, законы подобия и многое другое.

МАТЕМАТИКА - ЭТО ЯЗЫК

Математика настолько разрослась и стала настолько разнообразной, что едва ли поддается содержательному описанию, но ее можно охарактеризовать с функциональной точки зрения как язык естествознания и техники, как язык и инструмент познания окружающего нас мира и нас самих.

С русским надо говорить по-русски, с англичанином - по-английски, с французом - по-французски, а с природой - на математическом языке. Только на нем природа открывает нам свои тайны.

Возможно, впервые эту мысль в прошлом веке высказал великий физик Виллард Гиббс. Шло ученое заседание, на котором горячо дебатировался вопрос о роли языков и значении математики в преподавании. Одни отстаивали языки, другие говорили о важности математики. Дискуссия длилась долго. Вдруг обычно молчаливый В. Гиббс, основатель статистической физики, утверждавший, что скопище миллиардов молекул проще замысловатого движения одной молекулы, попросил слова и сказал: "Математика тоже язык". После чего сел и не проронил ни слова.

Как же устроен математический язык? Прежде всего он язык абстрактный в противоположность нашим конкретным языкам, где каждое слово имеет свое конкретное значение. Представьте, что Вы идете по улице и видите на заборе надписи:

Глокая куздра икает справдо

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

Вначале вам кажется первая фраза бессмысленной. Но затем вы начинаете понимать, что речь идет о куздре, которая икает и делает это справдо, а сама по себе - глокая. При этом, что такое куздра, икает, справдо и глокая, остается неясным, так же как и в следующих двух математических фразах, чему равны a и b.

Язык в широком смысле - это словарь, грамматика, рассказы, повести, пьесы и романы, написанные на этом языке. Что же в математическом языке является аналогом слов и грамматики, а что - рассказов и повестей? Аналогом слов и грамматики является математическая операционная система, а рассказов, повестей и прочего - математические модели.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИОННАЯ СИСТЕМА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Множество абстрактных элементов и действий с ними образуют то, что можно назвать операционной системой. Элементы - это числа, векторы, функции, матрицы, ..., действия (операции) - сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование, ...

У операционной системы есть четкие внутренние побудительные мотивы развития и цели: это расширение и выполнимость операций, и охват всего того, что мы хотим описать. Проиллюстрируем их беглым описанием истории становления и развития математической операционной системы, при этом мы будем придерживаться не хронологии событий, а логики их следования.

Все начиналось с целых чисел. Затем возникли действия с ними: сложение и обратное действие - вычитание; умножение и деление. Невыполнимость деления была преодолена введением дробных чисел, вычитания - отрицательных чисел.

Действительные числа - камень преткновения древних греков - получили обоснование, успокоившее математиков, только в сечениях рациональных чисел Дедекинда и сходящихся их последовательностей Вейерштрасса. Так пришли к действительным числам, с которыми всегда выполнимы операции сложения, вычитания, умножения, деления, нахождения предела, которые обозначаются соответственно знаками

+, -, i, :, lim

(исключения с делением на нуль и пределом неограниченно возрастающей последовательности не в счет: на то и исключения, хотя и их избегают в так называемом нетрадиционном математическом анализе).

После действительных чисел появились комплексные - как замыкание операции решения квадратных уравнений. С их введением любое алгебраическое уравнение стало разрешимым. Потом Гамильтон (1805 - 1865) придумал кватернионы как расширение комплексных чисел. Они не привились, но их частный случай - векторы и действия с ними (сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения) вошли в широкий обиход математики.

Потребность в описании эволюционных процессов изменения привела к появлению переменных величин, а затем и функций от них, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений.

Возникли множества и действия с ними (объединение, пересечение, дополнение, произведение) и многое-многое другое.

Как общий прием расширения операционной системы, помимо отмеченного уже расширения для выполнимости операций, можно указать перевод функций как операций в элементы, операций над функциями-элементами опять в элементы, с которыми, в свою очередь, также можно производить операции. Так операционная система пополнилась современным функциональным анализом и теорией операторов, причем операционная система обрела, исходя из своих внутренних законов развития, теорию линейных операторов раньше, чем она потребовалась физике для описания явлений микромира.

Помимо принципиальной выполнимости операций, огромное значение имеет ее фактическая выполнимость, простота и доступность этой выполнимости. Так, древние греки с трудом вычисляли произведение, например, наших чисел 473 и 328 потому, что записывали их в виде CDLXXIII и CCCXXVIII.

Оливер Хевисайд (1850 - 1925), не признанный своими современниками, сделал операцию интегрирования очень легко выполнимой и сводимой к делению на комплексное число p. Это позволило ему решить очень много задач, не решенных ранее. Он был великим ученым: предсказал наличие в верхних слоях атмосферы ионизированного слоя, отражающего радиоволны; подсчитал излучение движущегося электрона; указал формулу E = mc2, известную в науке как знаменитая формула Эйнштейна.

Современные ЭВМ и методы вычислений и программирования в обсуждаемом плане следует рассматривать как новые эффективные средства реализации трудных операций математической операционной системы.

Математической моделью, с формальной точки зрения, можно назвать любую совокупность элементов и связывающих их операций. С содержательной точки зрения интересны модели, являющиеся изоморфным отображением реальных или реализуемых объектов, процессов и явлений. С математическими моделями непосредственно связан математический метод познания отображаемых моделью объектов.

Математическими моделями являются, например, квадратные уравнения

x2 + px + q = 0.

Их элементами являются x, p и q, причем p и q предполагаются известными и называются параметрами, а x - неизвестное.

Соотношение между элементами s, g, t и 2:

также математическая модель, ее можно рассматривать как отображение явления свободного падения тела в поле силы тяжести.

Соотношение между элементами a, b и c, выражаемое формулой

a + b = c,

- это математическая модель. Она изоморфно отображает операцию объединения двух куч камней с их числами a и b в общую кучу камней, которых окажется c = a + b. В этом смысле операция сложения отвечает объединению двух куч в одну, а модель a + b = c изоморфна этому слиянию. При этом,не объединяя кучи и не считая в ней камней, можно предсказать, что их будет ровно c.

Этот элементарный пример поясняет общий математический метод познания. Он состоит в построении для изучаемого объекта, процесса или явления изоморфной математической модели (на основе элементов и операций операционной системы), в изучении этой математической модели (для чего требуется выполнимость используемых в ней операций) и переносе в силу изоморфизма результатов, полученных для модели, на исходный изучаемый объект.

В этом направлении математика не только создала свои разнообразные внутренние модели алгебры, геометрии, функции комплексного переменного, дифференциальных уравнений, теории меры и др., но и помогла естествознанию в построении великих математических моделей механики, электродинамики, термодинамики, химической кинетики, микромира, пространства-времени и тяготения, вероятностей, передачи сообщений, управления, логического вывода и др. В создании своих моделей математика часто опережала потребности естествознания и техники.

Реализация описанного универсального математического метода познания и есть, по-видимому, основная цель и задача современной математики. Она включает в первую очередь построение новых неведомых математических моделей, в частности в биологии, для познания жизни и деятельности мозга, мироздания и микромира, новых фантастических технологий и техники, а также познание экономических и социальных явлений опять же с помощью математических моделей. Не следует забывать и о дальнейшем расширении и обогащении операционной системы и ее реальных возможностей, гигантски усиливаемых вычислительными методами, вычислительными машинами и средствами программирования."

3. Янов Ю.И. пишет:

0. Введение. Если спросить человека, далёкого от науки,  об истинности математических теорем, то скорее всего он скажет, что они абсолютно истинны. Напротив, многие высказывания, опубликованные людьми науки на эту тему, утверждают невозможность определённого ответа на этот вопрос. Причиной такого разногласия является прежде всего различие взглядов на природу математических понятий, откуда вытекает и различное понимание истинности математических теорем. С другой стороны, понятие истинности теорем является метаматематическим и потому до тех пор, пока соответствующий раздел  метаматематики не был формализован и тем самым превращён в часть математики, обсуждение этого вопроса могло носить только философский характер. Однако, если выбор философской концепции, в основном - дело вкуса, то от математики требуется определённая объективность решений.

Насколько актуален вопрос об истинности математических теорем в наше время, когда человечеством накоплен большой опыт, подтверждающий, с одной стороны, стабильность математических знаний, а с другой стороны - неизменную успешность применения математики в самых разнообразных областях науки и техники? Как это ни покажется странным, в свете внутреннего развития математики этот вопрос приобрёл ныне особую значимость в связи с произошедшим в последнее время изменением трактовки некоторых важных математических и метаматематических понятий.

 Начиная с древности и до последнего времени существуют учёные, которые считают математику естественной наукой, предназначенной для изучения свойств реального мира, и критерием истинности математических утверждений полагают их соответствие «реальным фактам». Последнее и является главной причиной их пессимизма, поскольку вопрос об адекватности математических моделей реальным ситуациям всегда будет находиться за пределами математики и, более того, - за пределами достоверных знаний. В то же время математика отличается от других наук абстрактным характером и идеальностью своих понятий, что даёт основание считать её теоремы абсолютно истинными.

Целью настоящей работы является по возможности объективный ответ на вопрос об истинности математических теорем, для чего необходимо уточнить само понятие истинности в математике. Это мы постараемся сделать в п.6, но прежде необходимо рассмотреть эволюцию некоторых математических понятий. 

Математика, как и всякая наука, представляет собой систему понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) в определенном языке. Однако, в отличие от всех остальных наук, семантика математического языка не является фрагментом реального мира, но является элементом самой математики. Поэтому можно сказать, что математика является наукой, замкнутой в самой себе. При всём том значительная часть математики используется для решения задач, возникающих при изучении реального мира, что дало основание считать математику естественной наукой.

Вопрос об истинности математических теорем зависит прежде всего от взгляда на природу самой математики, а также от понятия доказательства и некоторых других математических и метаматематических понятий. На эти понятия в научной и  философской среде существуют разные точки зрения. 20-й век явился переломным в трактовке многих математических и философских вопросов в математике, хотя  бы потому, что значительная часть метаматематики была математизирована и такие понятия, как доказательство и логика, используемая для его построения, приобрели вполне определённый формальный смысл. Эти достижения позволяют нам взглянуть на вопрос об истинности математических утверждений с совершенно новых позиций. При этом надо сказать, что пессимистические высказывания в адрес математики появились в основном в конце 19-го начале 20-го веков, когда обнаруженные антиномии в традиционно построенной теории множеств поколебали веру в непогрешимость математической интуиции. 

С античных времен существуют различные взгляды на природу и назначение математики. В соответствии с отношением к реальному миру их можно разделить на два вида, которые мы условно назовем  прагматическим и идеальным. С прагматической точки зрения математика является естественной наукой, служащей для познания  закономерностей материального мира и черпающей из него свои понятия и задачи, причём последним критерием истинности математических постулатов и теорем считается их соответствие  каким-либо реальным аналогам. Однако, по самой природе естественнонаучного знания, не существует возможности установить или опровергнуть наличие такого соответствия, во-первых, потому, что все естественнонаучные знания имеют индуктивный характер, и во-вторых,  потому, что мы не можем гарантировать адекватного истолкования наших наблюдений и экспериментов. Кроме того, математический язык настолько универсален, что пригоден для описания многих виртуальных миров, в частности, несовместимых с «реальным». Поэтому говорить о каком-то особом соответствии математического языка именно реальному миру необоснованно. Существуют и другие трудности сопоставления математических закономерностей реальным фактам, о чём будет сказано в дальнейшем.

С идеальной точки зрения математика является независимой наукой, развивающейся по своим собственным закономерностям и непосредственно с материальным миром не связанной. Здесь, правда, возникает вопрос о причинах успешной применимости математических теорем к реальному миру, на который можно дать различные ответы. С античных времен и вплоть до 19-го века была широко распространена точка зрения, согласно которой мир был создан в соответствии с математическими законами, познавая которые, мы познаём и свойства реального мира. В книге [Кла], по этому поводу сказано следующее: «В трудах Коперника, Кеплера, Декарта, Галилея и Паскаля было доказано, что некоторые явления природы протекают в соответствии с математическими законами. Все эти ученые не только были глубоко убеждены в том, что Бог сотворил Вселенную по математическому плану, но и утверждали, что математическое мышление человека согласуется с божественными предначертаниями и потому пригодно для расшифровки этого плана». В новое время такое объяснение стало недостаточным, но никакой более подходящей альтернативы предложено не было...

4. Интересна также мысль:

"Если бесконечное, поскольку оно бесконечно, непознаваемо, то и бесконечное по количеству или величине непознаваемо, сколь оно велико, и бесконечное по виду непознаваемо, каково оно по качеству. Поскольку начала бесконечны и по количеству и по виду, то познать образованные из них [вещи] невозможно: ведь мы только тогда полагаем, что познали сложную вещь, когда узнаем, из каких и из скольких [начал] она состоит..." Аристотель, "Физика",4гл..

Одно время существовала очевидная на первый взгляд и простая теорема, доказывающая бесконечность ряда натуральных чисел, который в свою очередь символизирует само понятие бесконечности (по Кантору) - примерно такая: "Если, следуя от противного, принять за N - конечное число последовательности натуральных чисел (1,2,3,...,N.), то достаточно к числу N прибавить единицу, чтобы доказать, что  N не является конечным натуральным числом. Такое действие можно продолжать постоянно, что доказывает бесконечность натурального ряда". Но здесь проявилась явная некорректность доказательства. Выражение: "сколь угодно" , "непрерывно", "постоянно" и подобные лингвистические формы являются смысловыми синонимами понятия бесконечности, а поэтому недопустимы для доказательства этого понятия. Более того, если в первоначальном условии теоремы принято конечное число N, то оно распространяется и на количество арифметических действий. Да,  число N не является конечным натуральным числом, но конечное число операций с конечным числом элементов всегда будет в итоге  давать другое, пусть много большее, но обязательно конечное число M.  Т.е. при правильной формулировке эта теорема скорее отвергает введение понятие бесконечности, чем его доказывает.

Вначале всем показалось, что теория Гёгеля о неполноте касается каких-то отдалённых, неведомых областей математики, но 1963 году математик Пауль Коэн выступил с сенсационным сообщением: ему удалось доказать неразрешимость одного из основных понятий математики - понятия континуума!.. (Как тут не вспомнить слова Парменида, утверждающего, что понятие бесконечности и движение бытия - ложно, т.к.  ведёт к неразрешимым противоречиям в логике.).  Казалось бы, что ничего страшного не произошло, ведь недоказуемость гипотезы континуума её не опровергает, но с точки зрения концепции платонизма математические сущности, подобно платоновым идеям должны объективно существовать (например, в качестве логических возможностей), а значит все их свойства должны быть однозначно определены. Но как раз это полностью противоречит теореме Гёделя. Казавшаяся неколебимой со времён Платона общепринятая философия математики вдруг дала трещину...

 Уже в XVIII-IXX веках такие исследователи как Гаусс, Лобачевский, Риман, Лоренц, Пуанкаре, Минковский, Гёдель сделали много, чтобы пересмотреть роль и суть понятия бесконечности. Немецкий математик, логик и философ Г.Фреге (1848-1925гг) с целью определения основ математики выдвинул идею строгой формализации математических рассуждений с абстрактным подходом к сути математики как не интерпретированному исчислению (формальной системе). Эта идея была поддержана  многими математиками во главе с Гильбертом.... Неудачные попытки создания непротиворечивых основ математики в XX веке,  вызвавшие серьёзные сомнения в её непогрешимости и безупречности, как основного инструмента познания окружающего мира, пробудили настроения скепсиса и нигилизма, в чём-то похожие на проблемы середины V века до н.э. времён софизма. Такое впечатление, что выбранная когда-то, как единственно возможная, философия математики зашла в тупик. Всё чаще звучат прагматические предложения отказаться от строгости доказательств, считая приоритетной ценностью конечный практический результат вычислений, или принимать за таковые, например, полный пересчёт возможных вариантов решения задачи на ЭВМ. Вот несколько высказываний известных исследователей математики: 

“Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах – можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос – невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота больше не представляется разумной амбицией." Дж. Пассмор.

 "В XX веке самая точная из точных наук испытала перелом, который принципиально меняет характер получаемых в ней результатов.
... Математика столкнулась с проблемой практически непреодолимой сложности доказательств. Решение важной задачи, которая формулируется в нескольких предложениях, может занимать десятки тысяч страниц, что фактически делает невозможным его полную запись и понимание. Если в 1875 году каждый человек, способный к математике, мог за несколько месяцев полностью разобраться в доказательстве большинства известных теорем. К 1975 году большинство математиков еще могло полностью понять доказательство любой доказанной теоремы. К 2075 году многие области чистой математики будут зависеть от теорем, которые не понимает никто из математиков — ни индивидуально, ни коллективно. ... Обычным делом станет формальная верификация сложных доказательств, но при этом будет много результатов, признание которых будет основано на социальном консенсусе в не меньшей мере, чем на строгом доказательстве... Подобно инженерам, математики станут говорить не о твердом знании, а о степени уверенности в надежности своих результатов. Это может сблизить математику с другими дисциплинами и, возможно, приведет к снятию философского вопроса об особом онтологическом статусе математических объектов...». Брайан Дэвис "Куда идёт математика?"

 "Зачастую нет смысла философствовать по поводу математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в математике, – это деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое математика, не имеют отношения к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след... Работающий математик всю неделю сознает себя формалистом, и лишь по воскресеньям – платонистом." Р.Херш.

"Философия пошла по неверному пути, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно математике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различными. Отношения философии и богини Разума всегда были скорее отношениями вынужденного сожительства, нежели отношениями романтической связи, которая всегда существовала между математикой и богиней Разума. ...Заключения философов часто диктуются эмоциями и разум в этих заключениях играет лишь вспомогательную роль. А поиски философией окончательного ответа на свои вопросы вылилась в рабскую имитацию математики. Апелляция к математической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что логика больше не является частью философии. Математическая логика является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии”." Ж.К.Рота.

"Некоторые из глубочайших проблем философии состоят в примирении естественных, но несовместимых онтологий. Нигде такой конфликт не является столь старым, как в философии математики. Платон героически пытался найти правдоподобную эпистемологию для своей теории форм. Платонизм правдоподобен, когда вы мыслите о математической истине, но становится невозможным, когда речь идет о математическом познании. Так что стоит переосмыслить основные проблемы теории познания, коль скоро причинность, холизм и натурализованная эпистемология заняли место чувственных данных и аналитичности. Нашим интеллектуальным долгом является прогресс не просто в математической логике, но и в эпистемологии”У.Харт.

"Если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? ...Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации." П.Бенацерраф.

Для полной аналогии с ситуацией сложившейся во времена раннего софизма не хватает только появления нового Демокрита с альтернативной философией, способной разрешить возникшие проблемы, затрагивающие не только внутренние вопросы математики, но и мировоззренческие стороны гуманитарных и естественных наук. Впрочем, почему не хватает?

 В 1973 году чешский математик П.Вопенка предложил на рассмотрение альтернативную теорию множеств (AST), суть которой является изменение классического взгляда на понятие бесконечности в математике. Идея автора новой теории заключается в том, чтобы как постулат признать альтернативную бесконечность чем-то условно, неопределённо конечным! В качестве наглядного примера это можно сравнить с неким горизонтом, естественным образом ограничивающим наш взгляд на мир. Горизонт не является неподвижной или непреодолимой границей, не имеет определённого положения - он постоянно перемещается от нас по мере приближения к нему,  но невозможно попасть за горизонт, как бы мы не старались. Горизонт является как бы временной остановкой всегда ограничивающей наш взгляд, наши знания о чём-либо. Принятие теории "естественной бесконечности"  как принципа условной границы, остановки при рассмотрении математических процессов, решает практически все проблемы теории множеств и снимает противоречия в большинстве логических  парадоксов.

Блестящая идея П.Вопенка считается на сегодняшний день одной из самых перспективных теорий, но кажется всё это уже было 2,5 тыс. лет тому назад (см. "Ретроспекция бесконечности, или воспоминание о будущем"). Неужели Левкипп и Демокрит всё же оказались правы, ведь введение постулата дискретности, или условной конечности деления (при теоретической бесконечности) - их идея !? (Напомню, что по словам Аристотеля на введение такого постулата в геометрии задумывались и платонисты!)

Но возможно ли примирить в рамках одной философии два совершенно противоположных  по смыслу понятия - бесконечности и конечности чего-либо? Не вызовет ли это новые волны противоречий? Конечно, бесконечность в математике - понятие абсолютно идеализированное и абсолютно абстрактное, т.к. в реальном физическом мире ему нельзя найти ассоциаций, но многие математики считают, что теория не сильно пострадает, если чуть поступится принципом, принять вместо понятия "бесконечно большого (малого)" -  понятие "неопределённо большого (малого)", или, к примеру, "сколь угодно большого (малого)" , предполагая двойной смысл, в том числе и как конечное количество (действие). Или, например, принятие дифференциала ничтожно малой, но величиной, нисколько не повредит ни теории, ни практике, а наоборот узаконит понятие интегрирования. 

  Может быть приемлем третий путь, который принят в других разделах науки - это признание т.н. дуализма познания, позволяющего параллельно в равных правах использовать, казалось бы, противоречивые методы. Проявление такого эффекта дуализма изначально заложено в структуру нашего сознания самой природой в виде двух полушарий мозга, отвечающих:: одно - за пространственно-образное, другое - за  логико-вербальное восприятие окружающего мира, что определяет суть самого процесса мышления - это абстрактное воображение и логический анализ. Поэтому тысячелетний философский  вопрос о том, что первично и истинно: логика или интуиция, опыт или предчувствие - вообще является не корректным, т.к. не серьёзно спорить о том, какому полушарию мозга можно доверять в большей степени. Да и в принципе различия теорий Парменида и Гераклита носят только относительный характер.

Апории Зенона в первую очередь показали, что невозможно отделить измерение пространства от измерения времени. Но дело в том, что мировоззренческая модель  Парменида и его последователей оставляет наблюдателя внутри рассматриваемой системы, тем самым время и пространство остаются синхронизированы между собой, что позволяет просто и логично решать  реальные математические задачи реального мира. Сторонники теории Гераклита рассматривают мир как бы со стороны, а для наблюдателя производящего измерения в своей собственной системе отсчёта,  вносится поправка, (которая, как известно, задаётся преобразованиями Лоренца). Но точка наблюдения у Гераклита  не определена, а потому даёт только общее, теоретическое представление об объектах рассматриваемой системы, а значит для этой теории используются неопределённые понятия, типа бесконечности. Демокрит же предложил некий компромисс (инвариантность) - вводить для стороннего наблюдателя пусть и внесистемные, но определённые и неподвижные точки наблюдения (точки отсчета), что позволяет  рассматривать эти объекты всеобъемлюще, дискретно, соединяя теорию и практику. Поэтому спор о том, какая из математических теорий истинна или законна, мне кажется,  бессмысленный, так как они являются составными и необходимыми элементами единой системы познания.

Ещё один интересный пример проявления дуализма двух теорий  в математике: в 18-ом веке Лобачевский, осознав недоказуемость постулата параллельности двух прямых, построил необычную геометрию, в которой допускалась существования множества прямых, проходящих через одну точку и параллельных данной прямой,- и, как известно, новая геометрия оказалась непротиворечивой!  Но самое интересное, что постулат Лобачевского о множестве параллельных возможен только в случае, если принять плоскость конечной,-  для бесконечной плоскости все эти прямые, кроме двух, должны пересекаться. Так какова же истинная геометрия нашего мира?..

Конечно, введение атомиской геометрии Демокрита на современном этапе невозможно, в первую очередь потому, что её уже (или ещё нет), и пока не понятно, как эта геометрия решала вопросы кривых (-неделимые отрезки, вещественные дифференциалы?) или, например, иррациональных? Хотя известно, что и пифагорейцы, и Демокрит эти проблемы всё-таки как-то решали,- очевидно у них было своё, принципиально отличное от Евклида, видение геометрии мира.

ПРОКЛ. Комм. к Евклиду, 65, 11 Friedl. = ЕВДЕМ. История геометрии, фр. 133 W. (начало см. 11 А 11, ср. 86 В 12): Следующим после него [Фалеса], кто предался занятиям геометрией, предание называет Мамерка, брата поэта Стесихора: После них Пифагор преобразовал занятия геометрией в свободную дисциплину, изучая ее высшие основания и рассматривая теоремы in abstracto [собств. 'в отвлечении от материи'] и ноэтически. Он же открыл теорию иррациональных и конструкцию космических фигур [=правильных многогранников].
ЯМВЛИХ. О пифагорейской жизни, 246: Как сообщают, к тому, кто первым открыл недостойным посвящения в учения природу соизмеримости и несоизмеримости, [пифагорейцы] прониклись такой ненавистью и отвращением, что не только изгнали его из своего общества и общежития, но и соорудили ему гробницу в знак того, что они считают своего бывшего товарища ушедшим из жизни... Некоторые же утверждали, что это случилось с тем, кто разгласил учение об иррациональности и несоизмеримости.
ЭЛИАС, CAG 18, 1. с. 125 Busse: Кто-то из пифагорейцев, обнародовавший однотомное сочинение 'Об иррациональных линиях', попал в кораблекрушение за то, что выдал тайну.

Но как бы там ни было, История совершила свой круг и создала все предпосылки внимательнее присмотреться ретроспективным взглядом на идеи прошлого.  Очевидно, что разрозненные остатки атомиской теории находится сейчас в малопригодном для современной математике состояние, которое в принципе можно было бы поправить, если бы на её восстановление и обработку было бы направлено столько же воли и усилий, сколько, например, на обоснование понятия бесконечности в математике. Может быть предложенное выше гипотетическое решение Антифонта по квадратуре круга (совершенно незаконное с точки зрения современной математики), которое  формулой (конечным рядом) отображает трансцендентное число - есть только малая крупинка тех утраченных знаний первых материалистов Древней Греции? И как знать, может когда-нибудь альтернативная математика займёт своё законное место среди разнообразных методов познания...

http://www.elib.org.ua/philosophy/ua_show_archives...mp;start_from=&ucat=1&

http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/26.html

http://www.keldysh.ru/papers/2006/prep77/prep2006_77.html