Донышко, на самом деле, может быть любым: лен, джинс, трикотаж, хоть флис  
Можно скроить донышко из того, что имеем под рукой! Отлично подойдет даже старая мужская рубашка! Ткань рубашечная легкая и несыпучая, даже край обрабатывать не придется.
Схемы обвязки тоже разнообразные. Я выложу 3 варианта. Можно и свою фантазию применить и выдумать что-то на свой вкус. 

Берет первый

схема и описание: 
 

Перекрещенные ССН: столбик с накидом провязать над 3-й петлёй основания (не считая крайней), следующий столбик с накидом прикрепить во 2-ю петлю основания позади 1-го столбика и 3-й столбик с накидом в 1-ю петлю основания впереди двух первых столбиков и т. д.
Либо упрощенный вариант: 2 ССН, пропуская первую петлю, третий ССН в эту первую пропущенную петлю. 

Берет второй. Вязался не на мою матрёшку, на девочку помладше, поэтому на моей он немного маловат... хотя кому как...: 
 

Берет третий. Извиняйте, за фото не на модели. Головка, на которую вязался берет, отдыхает в деревне у бабушки 

Еще один связался 
 

Теперь подробно: 

1. Выбираем ткань для донышка. Лен рекомендую, протыкается крючком очень хорошо, можно шитье, легкий джинс, хлопок. В общем, на ваш вкус.
Если выбрали лен. Обязательно ткань предварительно постирать и отпарить, т. к. он часто сильно садится! Ну, и после стирки он станет мягче. 
2. Вырезаем круг. Напомню правила. Если хотите берет, то диаметр круга должен быть равен объему головы деленному на 2. Если шапочка: объем головы, деленный на число ПИ, т. е. на 3,14. Учтите, если Вы выбираете что-то очень тягучее, эластичный трикотаж и тому подобное, диаметр лучше сделать немного меньше, на 1-2 см. Если ткань сыпучая и нужно обработать предварительно край, делайте припуски 1 см.
В моем случае круг вырезался 25 см. 

3. Рекомендую донышко отпарить. Потом хорошенько прогладить изделие будет затруднительно 

4. Льняное донышко я обрабатываю на машинке, зигзагом. В данном случае я решила еще и простегать в тон, прострочку сделать, фигурным швом. Хоть крестиком вышивайте... все на Ваш вкус 

5. Теперь начинаем обвязывать край. Крючок выбирайте потоньше, поострее. Если ткань тяжело протыкается, можно предварительно шилом протыкать, чтоб дырочки были аккуратнее. Но мой лен протыкается отлично. Крючок 1,25. Пряжа Violet, YarnArt.
Первый ряд, столбики без накида. Край с прострочкой зигзагом подворачиваем вовнутрь по ходу вязания.
Число сбн надо набирать интуитивно. Нитки, ткань и размер донышка у всех разные, плотность вязания тоже.
Можно связать образец из ниточек, набрать 30 воздушных петель, например, и провязать пару поворотных рядов сбн. Посмотрите, на каком расстоянии у вас получаются сбн в образце друг от друга, вот на таком же примерно и обвязывайте. 

обратная сторона

На всякий случай, видео-урок 

Вот, что получилось в итоге: 
 

Изнанка 
 

6. Далее вяжем по схеме. Глубину делаете, какую надо, но в последних 2-х рядах очень рекомендую использовать нить-резинку, ее еще называют шпульной резинкой. Последний ряд обязательно сбн! Объясню почему: если предыдущий с резинкой идет ССН, резинка ложится у основания столбиков, а не по краю. И если закончить так, на лбу эти столбики нормально лежать не будут, а будут волниться. Не вяжите плотно последние ряды, не перетягивайте, резинка сама сделает свое дело и будет держать хорошо, а свободные столбики сделают край мягче для детской головки.
Не натягивайте ее слишком сильно, чтобы она потом не врезалась в детскую головку. 
Если используете резиночку, не бойтесь ошибиться с размером донышка, можно сделать его с запасом, прибавив даже пару сантиметров, шапочка будет просто попышнее, но на головке будет держаться хорошо.
Лично я ее ввязываю сразу, так удобнее и аккуратнее.
Но на всякий случай креплю инструкцию 

Вот и готово 

Наш альбом с воплощениями