В первую очередь имело бы смысл посетить собор св. Петра. Он стоит по преданию на мощах святых Первоверховных апостолов.
В Италии много святынь неразделенной церкви.
О них можно узнать в православном русском храме в Риме.
Как себя подобает вести? Благоговейно.
В Италии святыни практически в каждой церкви на каждом углу. Советую купить толстый путеводитель и передвигаться с ним, я делала именно так, иначе не поймешь что зачем и почему, так много всего. Пантеон, Колизей это места гибели первых христиан, места важные. Аппиева дорога это тоже очень хорошее место но надо знать куда и как идти. Куча мощей везде и всюду, запомнить не возможно, только прочитать и пройти. Удачи вам.
Вообще в Италии хорошая инфраструктура транспортная, можно в Риме сесть на электричку и смотать в Бари, жд вокзал на метро Тибуртина. Все просто главное не бояться. На Тибуртине же и автовокзал.