По заданным уравнениям движения устоновите вид для момента времени t=t1,найдите положение точки на траектории,скорость,ускорение,полное касательное,нормальное ускорение, а так же радиус кривизны в данной точке,по полученным данным сделать рисунок.
x=x(t)
3(t*t)-t+1
y=y(t)
5(t*t)-5t/3-2
ti=1
Решение.
Пусть
x = 3t2 – t + 1,
y = 5t2 – 5t/3 – 2.
При t = 1 получаем
x(1) = 3 · 12 – 1 + 1 = 3 (м),
y(1) = 5 · 12 – 5 · 1/3 – 2 = 4/3 ≈ 1,33 (м).
Следовательно, в момент времени t = 1 с координаты точки равны (3; 1,33).
Для нахождения вида траектории найдем время и координаты точек, в которых одна из координат обращается в нуль и принимает экстремальные значения. Если x = 0, то
3t2 – t + 1 = 0,
D = (-1)2 – 4 · 3 · 1 = -11 < 0,
следовательно, траектория точки не пересекает ось абсцисс.
Если y = 0, то
5t2 – 5t/3 – 2 = 0,
D = (-5/3)2 – 4 · 5 · (-2) = 25/9 + 40 = 385/9 ≈ 42,78,
t1 = (5/3 - √(385/9))/(2 · 5) < 0,
t2 = (5/3 + √(385/9))/(2 · 5) ≈ 0,82 (с),
x(0,82) = 3 · (0,82)2 – 0,82 + 1 ≈ 2,20 (м).
Следовательно, в момент времени t ≈ 0,82 с координаты точки равны (2,20; 0).
Координата x принимает экстремальные значения в точках, где dx/dt = 0. Дифференцируя выражение для x и приравнивая производную нулю, получим
6t – 1 = 0,
t = 1/6 ≈ 0,17 (с),
x(0,17) = 3 · (0,17)2 – 0,17 + 1 ≈ 0,92 (м),
y(0,17) = 5 · (0,17)2 – 5 · (0,17)/3 – 2 ≈ -2,14 (м).
При t > 0,17 с производная dx/dt является положительной величиной, поэтому точка (0,92; -2,14) соответствует минимальному значению координаты x.
Координата y принимает экстремальные значения в точках, где dy/dt = 0. Дифференцируя выражение для y и приравнивая производную нулю, получим
10t – 5/3 = 0,
t = 5/30 = 1/6 ≈ 0,17 (с),
x(0,17) ≈ 0,92 (м),
y(0,17) ≈ -2,14 (м).
При t > 0,17 с производная dy/dt является положительной величиной, поэтому точка (0,92; -2,14) соответствует минимальному значению координаты y.
Зададимся еще несколькими значениями t (например, t = 0 с, t = 2 с и t = 3 с) и найдем соответствующие значения координат:
x(0) = 3 · 02 – 0 + 1 = 1 (м),
y(0) = 5 · 02 – 5 · 0/3 – 2 = -2 (м),
x(2) = 3 · 22 – 2 + 1 = 11 (м),
y(2) = 5 · 22 – 5 · 2/3 – 2 ≈ 14,67 (м),
x(3) = 3 · 32 – 3 + 1 = 25 (м),
y(3) = 5 · 32 – 5 · 3/3 – 2 ≈ 38 (м).
Сводим полученные данные в таблицу
t, с
x, м
y, м
0
1
-2
0,17
0,92
-2,14
0,82
2,20
0
1
3
1,33
2
11
14,67
3
2538
По полученным координатам Вы можете построить траекторию движения точки.
Находим скорость точки в момент времени t = 1 с:
vx(1) = (dx/dt)(1) = 6 · 1 – 1 = 5 (м/с) – проекция скорости на ось абсцисс,
vy(1) = (dy/dt)(1) = 10 · 1 – 5/3 ≈ 8,33 (м/с) – проекция скорости на оь ординат,
v(1) = √((vx(1))2 + (vy(1))2) = √(52 + (8,33)2) ≈ 9,72 (м/с) – полная скорость точки.
Находим ускорения точки:
ax = dvx/dt = d2x/dt2 = 6 (м/с2),
ay = dvy/dt = d2y/dt2 = 10 (м/с2),
проекции ускорения точки на координатные оси постоянны, а полное ускорение точки равно
a = √(ax2 + ay2) = √(62 + (10)2) ≈ 11,67 (м/с2)
в любой момент времени, в том числе и при t = 1 с.
Аналитическое выражение для скорости имеет вид
v = √((dx/dt)2 + (dy/dt)2) = √((6t – 1)2 + (10t – 5/3)2) = √(36t2 – 12t + 1 + 100t2 – 100t/3 + 25/9) =
= √(136t2 – 136t/3 + 34/9).
Значит, выражение для тангенциального ускорения имеет вид
aτ = dv/dt = 1/(2√(136t2 – 136t/3 + 34/9)) · (272t – 136/3).
Находим ускорения тангенциальное aτ и нормальное an ускорения точки в момент времени t = 1 с:
aτ(1) = 1/(2√(136 ·12 – 136 · 1/3 + 34/9)) · (272 · 1 – 136/3) ≈ 11,67 (м/с2),
an(1) = √((a(1))2 – (aτ(1))2) = 0 (м/с2).
Поскольку нормальное ускорение в момент времени t = 1 с равно нулю, то радиус кривизны траектории R = ∞.
