Работать можно сразу или с начала месяца, как решит компания. Если в штат взяли, трудовую оформит предприятие. С медицинской книжкой геморройнее бывает из-за беготни по врачам, потому, чтобы было быстро и без нервотрепок, ее лучше делать за деньги.

p.s.: По срокам ничего не скажу, ибо это сугубо вопрос везения.