Наткнулась на эту задачу совершенно случайно. У меня знакомая через год после окончания магистратуры снова решила учиться и начала готовиться к поступлению. А значит что-то нужно просто повторить и вспомнить, ну и разобраться с чем-то новым. Вот сидела она над какой-то задачей, я проходила мимо. Задача показалась весьма простой (школьного уровня), но надо немного подумать.

Итак, рассматриваемая здесь задача звучит так: даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезки, имеющие концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьший периметр.

Задачка является частью доказательства задачи Фаньяно.




Первые мысли, которые приходят в голову, это, наверное, построить перпендикуляры (как кратчайшее расстояние до сторон). Отображаем точку $$ симметрично относительно $$ и $$ (получаем точки $$ и $$).

У некоторых сразу же может возникнуть искушение соединить точки пересечения перпендикуляров и сторон угла $$. После чего появляется ложное впечатления «я сделяль», и кажется, что $$ — это тот самый треугольник.

Всё не так. Тот факт, что две стороны треугольника — кратчайшие (перпендикуляры до прямой), еще не делает периметр треугольника минимальным.

На самом деле поиск треугольника с наименьшим периметром использует утверждение: кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая. Дополнительные построения должны привести к тому, чтобы все длины сторон искомого треугольника оказались на прямой. Соединяем точки $$ и $$. Точки пересечения прямой $$ со сторонами угла и есть оставшиеся искомые вершины треугольника.



$$ и $$ являются медианами и высотами(точка $$ симметрично отображена относительно сторон угла) треугольников $$ и $$ соответственно, значит треугольники $$ и $$ — равнобедренные. Видно, что периметр треугольника $$ равен длине отрезка $$. Треугольник с меньшим периметром найден.

Возьмем какие-нибудь другие точки($$ и $$) на сторонах угла.


Периметр этого треугольника $$ оказывается больше, чем длина отрезка $$.

Вот и все. Удачи всем поступающим!

https://habrahabr.ru/post/330130/