Леонид Быков родился 12 декабря 1928 года в селе Знаменское Донецкой области в семье Фёдора Ивановича и Зинаиды Панкратовны Быковых. В 1929 году родители переехали в город Краматорск, где Быков окончил среднюю школу № 6, там же впервые вышел на сцену местного ДК имени Ленина. Во время Великой Отечественной войны Леонид вместе с семьёй находился в эвакуации в Барнауле. С детства он мечтал об авиации и дважды поступал в лётные училища. Первый раз — в Ойрот-Туре (в 1943 г.), куда была в 1942 году эвакуирована 2-я Ленинградская школа военных лётчиков, но туда его не взяли из-за приписанного себе возраста и маленького роста. Второй раз — в Ленинграде (в 1945 г.), во 2-ю спецшколу для лётчиков, которая была чуть позже расформирована по причине окончания войны.
В театральный институт в Киеве принят не был, но поступил и окончил актёрский факультет Харьковского театрального института (1951). В 1951—1960 — актёр Харьковского государственного академического театра им. Т. Шевченко. В театре начинается его актёрская карьера, Быков играет в комедии «Улица трёх соловьёв, 17» стилягу — советского модника.[2] В 1960—1968 — актёр и режиссёр киностудии «Ленфильм», с 1969 — актёр и режиссёр киностудии имени Довженко. Автор сценария сатирического киножурнала «Фитиль».
В кино свою первую роль Леонид Быков сыграл в 1952 году в фильме «Судьба Марины». Следующую роль он получил в фильме «Укротительница тигров», где сыграл Петю Мокина. В 1955 году — главная роль в фильме «Максим Перепелица».
В числе лучших ролей Леонида Быкова в кино можно назвать Богатырёва («Дорогой мой человек», 1958), Акишина («Добровольцы», 1958), Алёшки («Алёшкина любовь», 1960), Гаркуши («На семи ветрах», 1962).
В конце 60-х годов вместе с Евгением Оноприенко и Александром Сацким был создан сценарий фильма о лётчиках, который долго не пропускала цензура, из-за его «негероичности». После долгого ожидания, в 1972 году Быков начал снимать кинокартину «В бой идут одни „старики"», в которой сыграл главную роль.
В 1977 году был снят ещё один фильм — «Аты-баты, шли солдаты». В 1978 году начались съёмки фантастического сатирического фильма «Пришелец» по повести Евгения Шатько «Пришелец-73», в котором Леонид Быков принимал участие в качестве автора сценария, режиссёра и исполнителя главной роли инопланетянина Глоуза. К 1979 году были уже отсняты две части фильма на видеоплёнку, представлены суду критиков. Картину ожидал успех, но судьба разрушила планы.