Чадо - от чать, зачать, начать. Когда чать за – это зачатие; когда чать на – это начало, когда чать в «о» - это уже чадо, дитя, ребёнок.
Что же такое тогда: чать*? Чать – часть чего-то, ещё не целое, а только часть...

Уд-ру-чать –Уд- внешний, ру(ка) чать – часть – удручает внешняя мысль:
Ру- чат- ель-ство – ру(ка) ча(да) ель (бог) с тво(рцом) – т.е поручиться за кого-то – это ответить перед богом за того, за кого поручился, рука чада божьего с Творцом.
Поручиться – пор – у-чить-ся; по- рука – протянуть руку – это порука, помощь;
Учиться –у-чить-ся – у ча(да) с «я» - учатся внутри у чада божьего, который в «о»;
Фа-миль-яр-ни-чать
Не принадлежать к фамилии – семье, не быть чадом семьи, а вести себя, как «чать», т.е требовать такого же отношения.

Домо-чадцы – те, чада, что принадлежат данному дому; дом – «о»- чад-цы – часть - дом «о»;

***

«Чать - , вводное слово (обл.). Тоже, что чай 2. И не знаю, жива ли она... чать, уж где быть в живых! Чернышевский.;»

«уд-ру-чать

Глагол, несовершенный вид, переходный, тип спряжения по классификации А. Зализняка — 1a. Соответствующий глагол совершенного вида — удручить.»

«Фамильярничать фа-миль-яр-ни-чать

Происходит от прил. фамильярный, из лат. familiaris «домашний, семейный; приятельский», далее из familia «домочадцы, челядь», от famulus «слуга, служитель»