Как нарисовать 3-D иллюзию
Ну, это совсем просто . Можно
поставить на лист бумаги, допу-
стим, проволочный каркас куба и,
глядя из фиксированной точки A,
отметить на листе точки, лежащие
на одной прямой с каждой из вер-
шин куба и точкой A. Затем куб можно убрать, а отмеченные вершины соединить отрезками прямых линий (на рисунке они изображены синим цветом). Тогда при взгляде на рисунок из точки A будет создаваться иллюзия куба. Способом, похожим на этот, пользуется известный художник Джулиан Бивер. Когда он рисует свои картины, то постоянно заглядывает в объектив, установленный на штативе. А еще можно установить в точку A точечный источник света и обвести тень куба… А еще можно посчитать… Ну, разумеется, у этого способа масса преимуществ, поскольку это позволит работать не только с контурами простых предметов, но создавать куда более сложные картинки.
Зачем нужны 3-D иллюзии?
Это так увлекательно! Но если отбросить эмоции в сторону, то с образовательной точки зрения проекты, связанные с построением 3D-иллюзий, имеют немало достоинств:
Они могут быть описаны моделью, доступной для понимания школьникам.
Они очень эффектны.
Их можно выполнять совместно с учителем математики (точки взаимодействия — параметрическое уравнение прямой, переход из одной системы координат в другую).
Их можно выполнять совместно с учителем рисования (если на обработанной с помощью программы картинке дорисовывать что-либо от руки или стилусом прямо на экране, то можно получать весьма интересные изображения, кроме того, можно изобразить иллюзию во дворе школы или украсить стены школы картинками).
Из них можно “выращивать” масштабные программные продукты, например, создать графиче-
ский редактор, “заточенный” именно под создание 3D-иллюзий в плоскости (актуально для интересующихся детей).
Алгоритмизация достаточно проста, но зато можно развивать технические навыки, включая навыки про-
ектирования графических интерфейсов. Справедливости ради отметим, что параметрические уравнения прямой в пространстве (а нам они пригодятся) не изучаются в школьном курсе математики.
Немного о графических файлах
Нам предстоит обрабатывать графические файлы, поэтому уместно сказать несколько слов (самый ми-
нимум) об их структуре. В файле растровой графики содержится информация, необходимая компьютеру для воссоздания изображения.
Существует несколько форматов файлов растровой графики, и каждый формат предусматривает собственный способ кодирования информации о точках. Изображение, которое мы видим на экране ком-
пьютера, состоит из точек. У каждой точки есть координаты (обозначим их (i; j)) и цвет. Система координат изображения имеет началом левый верхний угол, нумерация начинается с нуля. Координата i возрастает
при перемещении слева направо, а координата j — при перемещении сверху вниз.
На рисунке схематически изображен пример растро-
вого файла размера 4 на 3 пикселя (каждый квадра-
тик — один пиксель) и отмеченыкоординаты некото-
рых пикселей. В частности, левыйверхний пиксель -
этого изображения имеет координаты (0; 0), а правый
нижний — (3; 2).
Важнейшее свойство пикселя — его цвет. В общемслучае он задается 3-байтовым (или, это зависит от файла, 4-байтовым) шестнадцатеричным числом. Три (младших) разряда которого представляют собой интенсивности синего, зеленого и красного цветов (четвертый отвечает за прозрачность рисунка, но нам это
не потребуется). Например, черному цвету пикселя соответствует значение 0.
…и еще меньше о параметрических уравнениях прямой
Параметрическое представление функции — это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными введением вспомогательных переменных, которые принято называть
“параметрами”. Особенно важно такое представление для пространственных кривых, поскольку
обеспечивает более легкий способ построения графиков.
Рассмотрим декартову систему координат в пространстве и точки A(x0; y0; z0), B(x1; y1; z1). Параметрические уравнения прямой, проходящей через точкиA(x0; y0; z0), B(x1; y1; z1), имеют вид:
x = x0 + t · (x1 – x0),
y = y0 + t · (y1 – y0),
z = z0 + t · (z1 – z0),
где t — параметр, принимающий все значения из множества действительных чисел. Подставляя конкретное значение t* параметра в уравнения, мы получаем координаты (x(t*); y(t*); z(t*)) точки, лежащей на прямой. Если параметр про-
бегает все действительные числа, то получаем все точки прямой.
Математическая модель 3-D иллюзии
Точка Bс координатами (i;j)на первом изображении имеет координаты (x1;y1;z1)в пространстве 0xyz,
где x1= W – i, y1= j,z1= 0.
Уравнения прямой AB:
x= x0+ t·( W –i–x0), (1)
y= y0+ t·(y1–y0), (2)
z= z0·(1–t ). (3)
Найдем координаты (x2;y2;z2) точки С пересечения прямой AB с плоскостью второго изображения. Уравнение этой плоскости имеет вид: y = b. Тогда координата y 2 точки
С равна b. Подставив это значение в уравнение (2), получим значение параметра для точки пересечения:
tc= (b–y0)/(j –y0). (4)
Подставим tcв уравнения (1) и (3). Тогда координаты искомой точки:
x2= x0+ tc·( W– i–x0), (5)
z2= z0·(1–tc) (6)
Переходим к координатам (k;l) второго изображения. Введем масштабирующий коэффициент m, чтобы менять размеры второго изображения. Формулы перехода:
k:= (a– x2)/m, (7)
l:= (c– z2)/m. (8)
Координаты пикселей имеют целочисленный тип, поэтому значения координат (k;l) нужно округлить.
Программа для построения 3D-иллюзии работает так:
• перебираются пиксели изображения 1,
• для каждого пикселя вычисляется значение tc(формула (4)),
• вычисляются x2, z2по формулам (5)и (6),
• по формулам (7)и (8)вычисляются координаты k, l,
• цвет пикселя с координатами (i;j) первого изображения меняется на цвет,
который имеет пиксель с координатами (k;l)второго.
Ещё немного о 3-D иллюзиях
Эти иллюзии работают над одним стереотипом мышления человека, выраженного в том, что в любом 2D-изображении человек пытается увидеть объем. Именно об "издевательствах" над этими стереотипами мы и поговорим.
Белый, черный и… или просто цвет с различными степенями яркости
Почему элементы интерфейса смотрятся объемно? То есть мы явно ощущаем, что нажимаем на кнопки, двигаем слайдеры и так далее. На самом деле мы сталкиваемся ни с чем иным, как с эмуляцией 3D, которая знакома большинству программистов-разработчиков интерфейсов.
Этот пример используется при создании ActiveX-элементов, типа 3D Label (3D-надписи). Делались они очень просто: брались три одинаковых элемента Label (текст в 2D) и ставились с небольшим смещением относительно друг друга, а потом для каждого в отдельности выбирался свой цвет (см. на рисунок). Из чего после формировался эффект объемности объекта. Кстати, таким же образом можно было рисовать кнопки, выделять фигурные графические элементы. Они могут быть как вдавленными, так и выпуклыми.
Теперь рассмотрим немного другую тему. Если у вас на рабочем столе установлена стандартная схема Windows, то можно заметить, что в палитре для создания 3D-эффекта используется три цвета: белый, черный и серый. Или же можно "перевернуть" и сказать, что использован серый цвет с различными степенями яркости. Меняем серый на зеленый. Объемная картина сохранится. То есть, мы просто работаем с разными степенями яркости одного и того же цвета. И получаем иллюзию присутствия источника света, обращенного к экрану. И создается эта иллюзия путем "наложения" плоских элементов друг на друга таким образом, чтобы картинка получилась объемной. Почему нельзя нарисовать все тени и объекты сразу? Разделение на плоские объекты более приемлемо, так как таким образом удобнее менять свойства этих объектов. Например, при нажатии на кнопку в программе меняется не картинка, а просто "плоские" объекты, составляющие эту кнопку, меняют свои свойства. Схему применения смены нарисованных элементов можно увидеть во множестве реализаций кнопок в интернет-ресурсах, но это громоздко. И как вы думаете: программистам Quake лучше рисовать каждую стену или же создать ее из компонентов, а потом просто управлять их свойствами? Мы говорим об автоматизации схемы 3D.
Идеальная картина - та, которую мы наблюдаем в природе. Если, например, источник освещает желтую стену, то мы видим огромное количество цветов (от самого яркого желтого до самого темного желтого, если не брать в учет цвет, сообщаемый самим источником). В компьютере это более минимизировано, хотя в современных играх столкнулись с тем, что видео, создававшегося ранее, в основном, для ПО и 2D-игр, не хватает. Поэтому мы и имеем наличие мощных "движков" по поддержке цвета. Огромное внимание уделено оттенкам, теням. Система максимально оптимизирована. Попросту говоря, если на расстоянии трех точек друг от друга находятся белая и черная точки, то эти три точки между ними заполняются различными оттенками серого. И мы говорим о сглаживании цвета, вернее, об эмуляции природного процесса. Поэтому для современных игр рекомендованы видеокарты с максимальными параметрами.
