"Наша система образования в области математики одна из лучших в мире, если не просто самая лучшая", - уверен один из ведущих математиков мира академик Владимир Арнольд
Андрей Ваганов

Из досье "НГ"


Владимир Игоревич Арнольд - академик РАН, президент Московского математического общества 1996 года, в 1995-1998 гг. вице-президент, сейчас - член исполкома Международного математического союза, почетный член Лондонского математического общества, иностранный член Парижской АН, член Американского философского общества, Американской академии искусств и наук, Лондонского королевского общества, Accademia dei Lincei в Риме, почетный доктор университетов Пьера и Мари Кюри (Париж), Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Complutense (Мадрид). Лауреат премии Московского математического общества (1958), Ленинской премии - вместе со своим учителем, знаменитым российским математиком, академиком А.Н. Колмогоровым (1965), Крафоордской шведской Королевской АН (1982), Лобачевского РАН (1992), Харвиевской премии Техниона (Хайфа, 1994), Вольфа (2001), Американского института физики (2001) - премии Д.Хайнемана по математической физике. Международный астрономический союз назвал его именем планету "Владарнольдо". В настоящее время - председатель попечительского совета Московского независимого университета, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН и профессор университета Париж-Дофин.

-Владимир Игоревич, вы много времени уделяете преподавательской деятельности. В связи с этим как вы оцениваете предлагаемую и проводящуюся уже фактически реформу образования в России - и в целом, и в части, касающейся преподавания математики?

- Древний римский сенат постановил: "Предками нашими установлено, чему детей учить и в какие школы ходить; новшества же, творимые теперь вопреки обычаю и нраву предков, представляются неправильными и нежелательными" (Гай Светоний Транквилл, "О риторах", в книге "Жизнь двенадцати Цезарей", М.: Правда, 1991, стр. 303).

Наша "реформа", как я прочел в хвалящих ее газетах, предназначена для того, чтобы нашим школьникам стало так же приятно в школе, как американским: ничего не надо знать, ничего не надо учить, никаких экзаменов. Мой племянник заканчивал среднюю школу в США и радостно заменил себе курс алгебры курсом истории джаза. Статистика, опубликованная Американским математическим обществом, показывает, что среди учителей математики разделить число 1х1/2 на число 1/4 у них правильно может, помнится, не то один процент, не то два процента всех учителей.

Наши школьники до сих пор понимают, почему 1/2+1/3 - совсем не 2/5, как предпочитают складывать дроби американские студенты. Пуанкаре давно уже объяснил, что есть только два способа учить дробям: разрезать, хотя бы мысленно, либо яблоко, либо круглый пирог. Современные "реформаторы", отвергая как яблоко, так и пирог, заменяют их либо компьютерами, либо сверхабстрактными теориями вроде так называемого "кольца Гротендика": "дробь - это класс эквивалентности пар целых чисел, считаемых эквивалентными, если...".

Многочисленные проверки (например, международными олимпиадами) показывают, что наша система образования, особенно в области математики, одна из лучших в мире, если не просто самая лучшая. Дело в том, что всюду прошло "реформирование", отучающее думать и уничтожившее математическую (да и иную) культуру, а мы пока еще сохранили лучший уровень. Боюсь, что и мы пойдем по этому всемирному пути уничтожения науки и культуры.

Штат Калифорния принял недавно постановление требовать при поступлении в вузы умения делить 111 на 3 без компьютера (что было для большинства поступающих неодолимым препятствием). Федеральное правительство обвинило калифорнийцев в антиконституционной чрезмерной требовательности. Надеюсь, что наша реформа не понизит математический уровень наших школьников и студентов до американского, хотя объявленная цель реформирования именно такова.

- Ваше отношение к ползучему внедрению тестовой системы контроля и оценки знаний учащихся?

- Тесты вроде "чему равна сумма 2+3" кажутся безвредными, но в действительности даже они опасны. Французский министр науки и образования получил на этот вопрос от младшеклассника, хорошо проходившего тесты, ответ: "3+2, так как сложение коммутативно" (а считать он не умел). В Америке много лет школьники успешно справлялись с тестом "найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой в 10 дюймов длиной и опущенной на нее высотой длиной в 6 дюймов". Я надеюсь, что наши школьники пока еще ясно видят, что таких треугольников не бывает, но переход к тестам, вероятно, низведет их до американского уровня: S=ah/2=10х6/2=30 квадратных дюймов.

Тесты могут помогать учить правила уличного движения или таблицу умножения, но они воспитывают не умение мыслить, а скорее быстроту реакции на стандартные раздражители. Если мы хотим воспитывать и учить киллеров, то, возможно, тестовая система и поможет. Науке, культуре и элементарному школьному образованию они, очевидно, противопоказаны. Экзамены (выработанные многотысячелетним китайским опытом как необходимое средство для отбора государственных чиновников) никак нельзя заменить тестами.

Вот еще образчик американского теста (для поступления в аспирантуру по любой специальности): "Что ближе всего к паре "угол-градус" из пар "молоко-пинта", "время-час", "площадь-квадратный дюйм".

Объявленное стандартное решение: "площадь-квадратный дюйм", так как квадратный дюйм - минимальная мера площади, а градус - угла, в то время как час делится на минуты, а пинта на миллиметры". Американский профессор, блестяще справившийся с этим тестом, объяснил мне (думавшему, что ответ "время", так как и час и градус делятся на 60 минут), что справиться с тестом можно, только если правильно представляешь себе степень идиотизма его составителей. Да минует наших детей чаша сих тестов! (Подробный обзор проблемы имеется в статье Игоря Шарыгина в "Школьном обозрении", 2000, # 1).

- В 1998 году вы принимали участие в работе сессии Папской академии наук в Ватикане. В числе прочих там обсуждалась такая, на мой взгляд, несколько парадоксальная тема: нужно ли учить детей складывать дроби? К какому выводу пришло высокое научное собрание и ваше мнение по этому вопросу? Чем вообще была вызвана его постановка?

- О дробях я уже рассказал выше. На этом заседании меня больше всего поразил своей разумностью сам папа Иоанн Павел II, который сделал доклад о взаимодействии науки (которая, по его словам, одна имеет средства для отыскания истины) и Церкви (которая, он думает, квалифицированнее решает вопрос о том, в каком направлении использовать научные открытия вроде атомных бомб). Папа Иоанн-Павел со мной говорил по-русски. Он сказал мне, что мое предложение реабилитации Джордано Бруно принять нельзя, так как Бруно в отличие от Галилея осужден за неверное теологическое утверждение, будто его учение о множественности обитаемых миров не противоречит Священному Писанию. "Вот, дескать, найдите инопланетян - тогда теория Бруно будет подтверждена и вопрос о реабилитации можно будет обсудить". Там же я узнал и об обвинении Галилея. Оказывается основное инкриминируемое ему утверждение состояло не в том, что Земля вертится, а в том, что, по его словам, "теория Коперника не противоречит Библии". Галилей (в основном) реабилитирован, ибо справедливость его утверждения теперь признана Ватиканом.

Предложение реабилитировать Джордано Бруно я делал в ответ на предложение вступить в Ватиканскую Академию, в которую я из-за этого отказа и не стал вступать. Джордано Бруно был, говорят, другом Шекспира, который, по- видимому, описал его в виде Просперо в "Буре" и в виде Бирона (или Байрона?) в "Напрасных усилиях любви". Бруно некоторое время работал в Оксфорде и вообще сменил много профессий (в том числе наборщика в типографии, учителя и священника, последнее было для него роковым).

- В одном из своих выступлений вы заявили: "Расцвет математики в уходящем столетии сменяется тенденцией подавления науки и научного образования обществом и правительствами большинства стран мира… Математика сейчас, как и две тысячи лет назад, - первый кандидат на уничтожение". С другой стороны, сегодня мы постоянно слышим чуть ли не заклинания о том, что мир вступает в эпоху экономики, основанной на знаниях. Понятие "инновационная модель развития" стало чуть ли не официальной доктриной многих государств. Но эта инновационная модель развития, насколько я понимаю, просто невозможна без развития математики - достаточно только взглянуть на те невероятно сложные устройства, которые стали уже неотъемлемой частью нашего быта. Как вы объясните этот парадокс?

- Рубить сук, на котором сидишь, не новое занятие. Президент Российской академии наук Юрий Сергеевич Осипов сказал как-то, что некоторые думают, что собирать яблоки станет гораздо удобнее, если яблоню срубить.

Бюрократы - естественные враги более квалифицированных специалистов, деловой конкуренции с которыми они никак бы не выдержали. Уже Лев Толстой явно говорил, что всякое правительство автоматически начинает бороться против наук, и прежде всего против образования своего народа, опасаясь понимания народом своих поступков.

- Ваше мнение по поводу работы Московского центра независимого математического образования и Независимого университета? В эти дни как раз отмечается его десятилетний юбилей...

- И Независимый университет и центр процветают. Я имел удовольствие преподавать в июле 2001 года в Дубне их студентам и школьникам (победителям олимпиад) - уровень удивительно высокий, особенно если учесть огромные финансовые трудности.

Преподаватели этих школ замечательно квалифицированно выполняют практически бесплатно огромную работу, за которую им следовало бы (по мировым ценам) платить в сотни раз больше. Неспособность нашего начальства осуществить это неизбежно приведет в конце концов к вырождению российской науки, за которым последует и техническая, и военная отсталость. Но тогда будет уже поздно исправлять положение.

В древних Афинах была замечательная научная культура, в особенности математическая. А что теперь? Если имеющаяся у нас недооценка науки и культуры обществом и правителями сохранится, то нас ждет судьба греческой математики и науки вообще.

Точно так же в век Леонардо и Микеланджело, Рафаэля и Боттичелли итальянская живопись достигла уровня неповторимого, несохранившегося после окончания эпохи меценатов.

- Как, по вашему мнению, следует учить математике в вузах в XXI веке?

- По моему мнению, фундаментальным остается принцип, высказанный Эйнштейном в его "творческой автобиографии": "Кажется почти чудом, что современные методы обучения еще не совсем удушили святую любознательность... Здоровое хищное животное отказалось бы от мясной пищи, если бы его заставляли есть ударами бича, особенно если принудительно предлагаемая пища не была им самим выбрана".

От удушения любознательности ударами бича следует перейти к поощрению самостоятельных открытий. Главное в преподавании не зубрежка, а решение задач. В книге "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман" великий физик критикует современное преподавание под видом физики в Бразилии, но его критика относится и к математическому преподаванию в Европе.

В применении прежде всего к математике я подробно описал свои идеи о том, как это осуществить, в статье "Математический тривиум" ("Успехи математических наук", 1991, т. 46, в. 1, с. 225-232; ч. II: 1993, т. 48, в. 1, с. 211- 222). Эта статья подобна минимуму Ландау, но для математиков. Она была приготовлена первоначально для Физтеха. Но тамошние математики заявили, что умеют решать только 10 задач из ста задач этого тривиума, и потому отвергли его. Вторая часть статьи содержит сравнение с заграничными экзаменами по математике. Другая моя статья - "О преподавании математики" ("Успехи математических наук", 1998, т. 53, # 1, с. 229-234) - анализирует в основном французскую систему образования (недостатки которой заразны и угрожают и нам).

Мои американские коллеги объяснили мне, что предметы, которым они обучают своих студентов, тем совершенно не нужны, неинтересны и никогда не понадобятся. Единственная цель этого, по словам Ричарда Фейнмана, "самораспространяющегося псевдообразования" - установить иерархию способностей, которая проявляется в чем угодно (хотя бы и при изучении "эфиопских склонений"): тот, кто сумел в университете пробиться через нелепые требования ненужных тестов, уже по одному этому научился преодолевать трудности, и следовательно, легче научится и своему нужному делу, когда начнет работать.

Наше обучение традиционно следовало иному пути: сеять разумное, доброе, вечное. Я надеюсь, что мы с этого пути не свернем.

P.S. Представленный выше текст - только часть, касающаяся системы математического образования, из большого интервью, которое Владимир Игоревич Арнольд дал нашей газете. Оставшуюся часть интервью мы планируем опубликовать в одном из ближайших выпусков рубрики "Наука".