Александр Дьячков родился в 1923 году в селе Зеленовка Гавриловского района Тамбовской области, в семье крестьянина. Окончил 8 классов средней школы. С 1941 года в Красной Армии. В 1942 году успешно окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков.

С Июня 1943 года сержант А. А. Дьячков в действующей армии. По Сентябрь 1944 года воевал в 297-м ИАП (с Августа 1944 года - 179-й Гвардейский ИАП); по Январь 1945 года - в 177-м Гвардейском ИАП; по Март 1945 года - в 179-м Гвардейском ИАП. Сражался под Курском и над Днепром, в небе Молдавии и Венгрии.

К боевой работе А. А. Дьячков приступил в канун Курской битвы (тогда 297-й истребительный авиационный полк входил в состав 302-й истребительной авиационной дивизии). Весь свой боевой путь он прошёл на самолётах Ла-5. Позднее участвовал в боях при форсировании Днепра нашими войсками. Сражался на 2-м Украинском фронте во время освобождения Харькова и Кривого Рога, а также в Яссо - Кишинёвской операции.

21 Августа 1944 года в ожесточённой схватке с большой группой вражеских бомбардировщиков, шедших под сильной охраной истребителей, Александр Дьячков смело ринулся в атаку и точной очередью сбил самолёт FW-190.

В Сентябре 1944 года дивизия стала Гвардейской (14-я ГвИАД), а все её полки также получили звания Гвардейских. Последующие бои лётчики вели в уже небе Румынии и Венгрии.

6 Октября 1944 года шестёрка истребителей под командованием Героя Советского Союза Гвардии капитана Н. С. Артамонова барражировала в районе Дъюла, Сокодор, Бекешчаба, когда в небе появились бомбардировщики в сопровождении Ме-109. Ведущий группы по радио приказал паре Гвардии старшего лейтенанта К. С. Мальцева связать боем "Мессеров", а сам со своей четвёркой атаковал головную шестёрку "Юнкерсов". В первой же атаке Артамонов сбил Ju-87, ведущий второй пары ударной группы Гвардии старший лейтенант П. Я. Мордухович уничтожил ещё один бомбардировщик.

Вскоре ведущий сковывающей группы Гвардии старший лейтенант К. С. Мальцев поджёг 3-й вражеский самолёт. Преследуя бомбардировщики, Гвардии капитан Н. С. Артамонов, Гвардии старшие лейтенанты А. А. Дьячков и П. Я. Мордухович сбили ещё по одному Ju-87. Всего шестёрка Артамонова уничтожила за один боевой вылет 7 вражеских самолётов.

Вскоре ведущий сковывающей группы Гвардии старший лейтенант К. С. Мальцев поджёг 3-й вражеский самолёт. Преследуя бомбардировщики, Гвардии капитан Н. С. Артамонов, Гвардии старшие лейтенанты А. А. Дьячков и П. Я. Мордухович сбили ещё по одному Ju-87. Всего шестёрка Артамонова уничтожила за один боевой вылет 7 вражеских самолётов.

К Марту 1945 года лётчик 179-го Гвардейского истребительного авиационного полка (14-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 5-я Воздушная армия) Гвардии старший лейтенант А. А. Дьячков совершил 217 боевых вылетов, провёл 54 воздушных боя, в которых сбил лично 27 самолётов противника и 1 в группе с товарищами.

Соратники запомнили исключительную собранность, аккуратность и дисциплинированность Александра Алексеевича, которые почти в полном соответствии с крылатыми чеховскими словами находили проявление и в его лице, и в одежде, и в отношениях с товарищами, и в боевой работе.

В Марте 1945 года Гвардии старший лейтенант А. А. Дьячков был осуждён военным трибуналом за уголовное преступление и разжалован в рядовые.

31 Марта 1945 года отважный лётчик погиб в авиационной катастрофе под Будапештом. К тому времени он совершил более 250 боевых вылетов и провёл более 60 воздушных боёв. На его счету 31 сбитый самолёт противника: 30 лично и 1 в составе группы.

За образцовое выполнение боевых заданий командования, мужество, отвагу и геройство, проявленные в борьбе с немецко - фашистскими захватчиками, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 Мая 1946 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Награждён орденами: Ленина, Красного Знамени (дважды), Отечественной войны 1-й степени; медалями.