Размышляя о том, стоит ли сразу задрать градус и начать писать про сложные вещи, каждый раз одергиваю себя, т.к. описывая понятным языком простые вещи, обнаруживаю, насколько они сложные. Но к ним (точнее к одной из их сторон) все настолько привыкли, что складывается иллюзия их понимания. Поэтому перед фракталами всё-таки придется отвлечься на манипуляции с единицами измерения.

 

Предположим, нам нужно выбрать единицу измерения для деления на части. Делить будем круг. Причем делить заранее, точно не зная, на сколько равных частей в результате нужно разделить.

 

С одной стороны число частей не должно быть очень большим. С другой – из равных кусочков должно получаться как можно больше различных вариантов.

 

Например, у нас есть торт и зачем-то нам понадобилось разрезать его на куски до прихода гостей. Гостей ожидается пятеро. Сколько их сможет придти – точно неизвестно. Может трое, может четверо, а может придут все. На сколько частей нужно разрезать торт, чтобы по возможности не осталось лишнего кусочка независимо от количества гостей? Нужно число, которое делится на 4, 5 и 6. В математике оно называется наименьшее общее кратное. Для приведенных  чисел это, к сожалению 60. Так что с тортом лучше дождаться гостей т.к. задача нормального решения не имеет – не кромсать же торт на такое количество кусочков.

 

Но для практического применения единица измерения должна быть именно такой.

 

Давайте посмотрим, из чего можно выбирать. Если посмотреть на делители чисел в википедии, можно заметить, что чисел с большим количеством делителей не так много. Если посмотреть  вдумчиво на часть из них (первых 30-ти достаточно), то в кандидаты на универсальное делимое годятся не все: 

 

 

Например, у чисел 12,18,20 и 28 число делителей одинаково. Поэтому число 12 среди них в качестве универсально делимого предпочтительнее. «Просеяв» по этому принципу все числа до 360 с большим количеством делителей, получим следующий набор кандидатов:

 

 

То, что число хорошо делится – это замечательно. Но мир сложнее, чем одно измерение. Как в примере с гостями и тортом может оказаться, что надо решать вопрос во чтобы то ни стало. Для этого пригодится возможность делить делители. Если они, конечно, делятся. Вот что важно.

 

Если внимательно посмотреть таблицу делителей на википедии, то можно заметить в примечаниях их свойства:

 

«…избыточное, весьма избыточное, составное, весьма составное, супер весьма составное…»

 

Несмотря на кажущуюся бредовость некоторых названий, у каждого из этих терминов есть своё определение и предназначение. Для нашего случая интересны последние два свойства:

весьма составное – это значит, что у числа делителей больше, чем у предыдущих чисел. Именно по этому параметру мы сделали первый отсев кандидатов.

 

Объяснять понятие «сверх весьма составное» я не буду, а то любителям нумерологии придется повеситься от тонны интересных закономерностей, обнаруженных математиками. Просто поверьте, что в плане делителей такие числа еще удобнее. 

 

Вот мы и выбрались на два действительно важных параметра, которыми должна обладать единица измерения - удобство и простота. Поэтому число должно быть по возможности меньше, а делителей иметь больше. 

 

Теперь внимательно посмотрим на перечень делителей: 2,3,4,6

Пропуск в 5 портит всю идиллию. Значит нужно его добавить. Как? Очень просто. Умножаем 12 на 5 и получаем число 60, у которого первые пять делителей идут непрерывно. Помимо этого оно имеет аж 10 делителей. Добавим его к нашей таблице кандидатов в универсальное делимое:

 

 

 

Вавилонская система счисления. 

 

Сложно сказать какие условия быта были в древнем вавилоне, но начиналось все просто и незамысловато.  Чтобы это понять, достаточно посмотреть на реконструкцию города и прочих атрибутов. В космос они точно не летали. Но тем не менее, впечатляет достигнутый ими результат в плане единиц измерения. Дойти до шестидесятиричной системы исчисления вам не тут, не здесь и не там.

 

Но такие сложности не появляются с нуля. Они растут и усложняются постепенно. Кроме того полезно определить причину и следствие. Если внимательно посмотреть на их систему записи чисел:

 

 

то можно заметить, что она совсем не шестидесятиричная. Разряды десяти присутствуют (от использования десяти пальцев для счета еще никто не уходил). Таким образом можно было зафигачить и еще один значок, чтобы перевалить за сотню и тысячу. Значит дело не в том, что чисел шестьдесят, а в том, что они на них остановились. 

 

Если посмотреть на способ записи чисел еще внимательнее, то можно заметить, что и десять им далось с трудом т.к. чтобы записывать однотипные значки нужно место. И они нашли вариант сделать запись компактней – группировать по три. В том числе и десятки. Тогда тем более неясно, почему остановились на шестидесяти. 

 

А всё дело  в том, что им был нужен отсчет числа 60. Любым способом. Даже таким кривым в виде троек и отдельных десятков. 

 

Для чего? Делить на равные части, чтобы потом из частей можно было собрать как можно большее число групп. Т.е. для решения бытовых вопросов использовалось число 60.

 

Зачем это могло понадобиться? Делить. Делить круг на разное количество равных частей. Только так возникают меры и вообще все остальное. То же самое касается деления круга на 360 частей.

 

Копнём сразу поглубже. Ровно до того момента, когда не было построено развитых для того времени городов и сложной инфраструктуры. А люди были, причём нужно было взаимодействовать и, что примечательно для нас, вопрос дележа возникал постоянно. Неприглядная человеческая природа не меняется на всем протяжении существования человека. Формы и проявления ещё как-то меняются, а сама природа нет. Поэтому первая схема - "я и все остальные" появилась достаточно рано. На худой конец её разновидность "мы и все остальные", в случае, если набор полезных качеств (сила, подлость, жадность и т.п.) не обнаруживался в отдельно взятом персонаже. Первая часть этой схемы Я/МЫ  может быть интересна разве что как причина возникновения темы - "денег нет, но вы там держитесь". И пока работающие социальные механизмы манипуляции/управления ещё не найдены, идея равенства для всех остальных вполне себе работает. А для неё нужен удобная и понятная для всех единица измерения.

 

Возьмём более раннюю стадию зарождения такой схемы.

 

История одного вавилонянина, рассказанная им самим.

 

Группа вольных каменщиков тружеников общим количеством 13 (почему бы и нет) в очередной раз добыла жратву. Причём крайне удачно - 13 лепёшек хлеба. Удачно, потому что не будет конфликта при дележе - все и так прекрасно делится. Дело было вечером и трапезу отложили до утра. Самый нетерпеливый съел свою лепёшку, пока все спали. А по доброте душевной и из других высоких побуждений сожрал ещё одну. После переваривания и глубокого осмысления пословицы «сытый голодного не разумеет», но в данном случае перевёрнутой ровно наоборот, он осознал, что жить ему оставалось ровно до утра. А тут ещё полная луна висит, намекая немым укором на съеденную чужую лепёшку. Сидя в размышлениях и медитируя на луну, новоиспечённый кандидат в философы размышлял на тему «что делать?». Выход был найден – разделить оставшиеся лепёшки на 12 и найти объяснение, зачем он это сделал. Внутренний голос подсказывал, что придумать отмазку – не проблема. Проблема разделить 11 на 12. Нацело оно не делится, надо было что-то придумать. Ночь была длинная, в голову лезло всякое. В том числе «а если бы осталась только одна лепешка?». Вполне возможно раньше так и происходило и худо/бедно делили, но делали это как придётся, то есть не совсем поровну. А тут вопрос щепетильный – нужно было именно поровну. 

 

Не будем уточнять откуда у него взялись палочки. Предположим, что у них имелся какой-то простейший инвентарь. И складывая из палочек различные фигуры он замечал, что треугольник складывается быстро и просто: 

 

 

Кроме того, треугольник напоминал кусок отрезанной лепёшки. Неважно, сколько стадий ему потребовалось, чтобы сложить из треугольников круг. Точнее полукруг – палочек было мало и хватило только на полкруга: 

 

 

Вторая половина была дорисована прямо на песке. Важно, что вполне состоявшийся философ получил способ деления круга на шесть равных частей с небывалой точностью. Это не 12, но всё-таки красиво. Медитируя над хексагоном, вписанным в круг (не забываем, что дело было на песке и все необходимые построения дорисовывались по месту):

 

 

юный гений математики обнаружил, что от 6 частей до 12 всего один шаг. Точнее шесть разрезов пополам каждого треугольника. Додуматься до ровного разреза треугольника пополам после уже пройденных упражнений с треугольником было делом простым и нехитрым:

 

 

Найденный способ позволял не просто разделить круг на 12 частей, а сделать это быстро и очень точно. И, наверно самое важное – доходчиво объяснить это каждому обделённому:

 

 

И если бы не гнетущие обстоятельства, по ночной пустыне пронесся бы радостный вопль - ЭВРИКА. До рассвета оставалось немного, а еще нужно было успеть решить пару технических вопросов - расфигачить оставшиеся 11 лепешек на 132 части и разложить их на 12 кучек попутно придумывая правдоподобную версию, зачем он это сделал. 

 

Вполне возможно, что история повторилась не один раз, пока очередная группа товарищей оказалась достаточно толерантна, чтобы не запинать насмерть полуночного изыскателя и обнаружить в таком подходе рациональное зерно – делить поровну на нужное количество частей то, что до этого не делилось. 

 

Важно, что было обнаружено число, всего на 2 превышающее количество пальцев рук. И это число имело большее число делителей по сравнению с используемым для счета:

 

12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12

 

10 → 1, 2, 5, 10

 

Казалось бы, небольшой прирост. Однако, если вспомнить про сложение (вычитание сложнее, до него еще нужно добраться), то картина получается совсем другая:

 

12 → 1, 2, 3, 4, 5 (2+3), 6, 7 (3+4), 8 (2+6), 9 (3+6), 10 (4+6), 11 (1+4+6), 12

 

10 → 1, 2, 3 (1+2), 5, 6 (1+5), 7 (2+5), 8 (1+2+5), 10

 

С учетом сложения у числа 12 (в отличие от 10) получался непрерывный ряд любых делителей от 1 до 12. Проблема была только в том, что система счисления десятичная, а тут 12. Хрень полная. Да еще напрягало отсутствие прямого, а не составного делителя на 5.

 

Сам подход, которым могло быть найдено число 12, провоцировал на дальнейшие поиски – 24, 36, 48. Но они были заведомо хуже 12 так как не обладали волшебным признаком «сверх весьма составное».

 

Следующими такими числами являются 60, 120 и 360. Но до них еще нужно было добраться.

 

Продолжение следует…

 

 

* - термин, удачно подобранный автором альманаха о семилетней войне для передергиваний, встречающихся в википедии